蘇教版八年級數(shù)學(xué)下冊期末試卷
抓好復(fù)習(xí)也要多多休息，相信你的努力不會讓你失望，預(yù)祝：八年級數(shù)學(xué)期末考試時能超水平發(fā)揮。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家精心推薦的蘇教版八年級數(shù)學(xué)下冊期末試卷，希望能夠?qū)δ兴鶐椭?/p>
蘇教版八年級數(shù)學(xué)下冊期末試題
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
1.若式子 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是( )
A.x≠1 B.x>1 C.x≥1 D.x≤1
2.下列電視臺圖標中，屬于中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.下列事件中最適合使用普查方式收集數(shù)據(jù)的是( )
A.了解某班同學(xué)的身高情況
B.了解全市每天丟棄的廢舊電池數(shù)
C.了解50發(fā)炮彈的殺傷半徑
D.了解我省農(nóng)民的年人均收入情況
4.下列計算正確的是( )
A. = B. × = C. =4 D. =
5.下列無理數(shù)中，在﹣2與1之間的是( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
6.如圖，一個正六邊形轉(zhuǎn)盤被分成6個全等的正三角形.任意旋轉(zhuǎn)這個轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針指向陰影區(qū)域的概率是( )
A. B. C. D.
7.如圖，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分線交CD于點M，且MC=2，▱ABCD的周長是14，則DM等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如圖，點A是雙曲線y= 在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運動，則這個函數(shù)的解析式為( )
A.y=﹣ x B.y=﹣ x C.y=﹣ D.y=﹣
二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)
9.若分式 的值為零，則x= .
10.若一個數(shù)與 是同類二次根式，則這個數(shù)可以是 .
11.菱形的兩條對角線長分別為6和8，則這個菱形的邊長為 .
12.分式 ，﹣ ， 的最簡公分母是 .
13.方程 = 的解是 .
14.在一個不透明的盒子中裝有2個白球，1個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同，若從中隨機摸出一個球，則摸出的一個球是白球的概率為 .
15.如圖，過矩形ABCD的對角線BD上一點K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ，那么圖中矩形AMKP的面積S1與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是S1 S2;(填“>”或“<”或“=”)
16.已知x=2﹣ ，則代數(shù)式x2﹣2x﹣1的值為 .
17.設(shè)函數(shù)y= 與y=x﹣1的圖象的交點坐標為(a，b)，則 的值為 .
18.如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為 .
三、解答題(本大題共9小題，共76分)
19.計算：
(1)( +1)( )
(2)0﹣ + .
20.先化簡，再求值： ÷(1﹣ )，其中a=2+ .
21.如圖，將▱ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F，連接AC、BE.
(1)求證：四邊形ABEC是平行四邊形;
(2)若AE=AD，求證：四邊形ABEC是矩形.
22.若反比例函數(shù)y= 的圖象如圖所示.
(1)求常數(shù)k的取值范圍;
(2)在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而 ;
(3)若點B(﹣2，y1)、C(1，y2)、D(3，y3)在該函數(shù)的圖象上，試比較y1、y2、y3的大小.(直接寫出結(jié)果，結(jié)果用“<”連接起來)
23.在“世界家庭日”前夕，某校團委隨機抽取了n名本校學(xué)生，對“世界家庭日”當(dāng)天所喜歡的家庭活動方式進行問卷調(diào)查.問卷中的家庭活動方式包括：
A.在家里聚餐; B.去影院看電影; C.到公園游玩; D.進行其他活動
每位學(xué)生在問卷調(diào)查時都按要求只選擇了其中一種喜歡的活動方式，該校團委收回全部問卷后，將收集到的數(shù)據(jù)整理并繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：
(1)求n的值;
(2)四種方式中最受學(xué)生喜歡的方式為 (用A、B、C、D作答);選擇該種方式的學(xué)生人數(shù)占被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)的百分比為 .
(3)根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，估計該校1800名學(xué)生中喜歡C方式的學(xué)生比喜歡B方式的學(xué)生多的人數(shù).
24.甲、乙兩公司各為“見義勇為基金會”捐款30 000元，已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且甲公司的人數(shù)比乙公司的人數(shù)多20%.問甲、乙兩公司各有多少人?
25.如圖，反比例函數(shù)y= (k<0)的圖象與矩形ABCD的邊相交于E、F兩點，且BE=2AE，E(﹣1，2).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)連接EF，求△BEF的面積.
26.正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E為BD上一點，延長AE到點N，使AE=EN，連接CN、CE.
(1)求證：AE=CE.
(2)求證：△CAN為直角三角形.
(3)若AN=4 ，正方形的邊長為6，求BE的長.
27.如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，連接BD，∠PBQ=60°，將∠PBQ繞點B任意旋轉(zhuǎn)，交邊AD，CD分別于點E、F(不與菱形的頂點重合)，設(shè)菱形ABCD的邊長為a(a為常數(shù))
(1)△ABD和△CBD都是 三角形;
(2)判斷△BEF的形狀，并說明理由;
(3)在運動過程中，四邊形BEDF的面積是否變化，若不變，求出其面積的值(用a表示);若變化，請說明理由.
(4)若a=3，設(shè)△DEF的周長為m，直接寫出m的取值范圍.
蘇教版八年級數(shù)學(xué)下冊期末試卷參考答案
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
1.若式子 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是( )
A.x≠1 B.x>1 C.x≥1 D.x≤1
【考點】二次根式有意義的條件.
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，就可以求解.
【解答】解：由 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，得
x﹣1≥0，
解得x≥1，
故答案為：x≥1.
2.下列電視臺圖標中，屬于中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點】中心對稱圖形.
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解即可.
【解答】解：A、不是中心對稱圖形，本選項錯誤;
B、不是中心對稱圖形，本選項錯誤;
C、不是中心對稱圖形，本選項錯誤;
D、是中心對稱圖形，本選項正確.
故選D.
3.下列事件中最適合使用普查方式收集數(shù)據(jù)的是( )
A.了解某班同學(xué)的身高情況
B.了解全市每天丟棄的廢舊電池數(shù)
C.了解50發(fā)炮彈的殺傷半徑
D.了解我省農(nóng)民的年人均收入情況
【考點】全面調(diào)查與抽樣調(diào)查.
【分析】由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似.
【解答】解：A、了解某班同學(xué)的身高情況適合普查，故A正確;
B、了解全市每天丟棄的廢舊電池數(shù)，調(diào)查范圍廣，適合抽樣調(diào)查，故B錯誤;
C、了解50發(fā)炮彈的殺傷半徑，調(diào)查具有破壞性，適合抽樣調(diào)查，故C錯誤;
D、了解我省農(nóng)民的年人均收入情況，調(diào)查范圍廣適合抽樣調(diào)查，故D錯誤;
故選：A.
4.下列計算正確的是( )
A. = B. × = C. =4 D. =
【考點】二次根式的加減法;二次根式的乘除法.
【分析】分別根據(jù)二次根式的加減法則和乘法法則求解，然后選擇正確選項.
【解答】解：A、 和 不是同類二次根式，不能合并，故錯誤;
B、 × = ，原式計算正確，故正確;
C、 =2 ，原式計算錯誤，故錯誤;
D、 ﹣ =2﹣ ，原式計算錯誤，故錯誤.
故選B.
5.下列無理數(shù)中，在﹣2與1之間的是( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
【考點】估算無理數(shù)的大小.
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義進行估算解答即可.
【解答】解：A. ，不成立;
B.﹣2 ，成立;
C. ，不成立;
D. ，不成立，
故答案為：B.
6.如圖，一個正六邊形轉(zhuǎn)盤被分成6個全等的正三角形.任意旋轉(zhuǎn)這個轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針指向陰影區(qū)域的概率是( )
A. B. C. D.
【考點】幾何概率.
【分析】首先確定在圖中陰影區(qū)域的面積在整個面積中占的比例，根據(jù)這個比例即可求出指針指向陰影區(qū)域的概率.
【解答】解：∵圓被等分成6份，其中陰影部分占1份，
∴落在陰影區(qū)域的概率= .
故選D.
7.如圖，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分線交CD于點M，且MC=2，▱ABCD的周長是14，則DM等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】平行四邊形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)BM是∠ABC的平分線和AB∥CD，求出BC=MC=2，根據(jù)▱ABCD的周長是14，求出CD=5，得到DM的長.
【解答】解：∵BM是∠ABC的平分線，
∴∠ABM=∠CBM，
∵AB∥CD，
∴∠ABM=∠BMC，
∴∠BMC=∠CBM，
∴BC=MC=2，
∵▱ABCD的周長是14，
∴BC+CD=7，
∴CD=5，
則DM=CD﹣MC=3，
故選：C.
8.如圖，點A是雙曲線y= 在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運動，則這個函數(shù)的解析式為( )
A.y=﹣ x B.y=﹣ x C.y=﹣ D.y=﹣
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征;等腰直角三角形;軌跡.
【分析】根據(jù)題意做出合適的輔助線，然后證明三角形全等，設(shè)出點C的坐標，從而可以得到點C所在函數(shù)的解析式，本題得以解決.
【解答】解：作AD⊥x軸與點D，連接OC，作CE⊥y軸于點E，
∵△ABC為等腰直角三角形，點O時AO的中點，
∴OC=OA，CO⊥AO，
∴∠COE=∠AOD，
∵∠OEC=∠ODA=90°，
∴△OEC≌△ODA(AAS)，
∴OD=OE，AD=CE，
設(shè)點C的坐標為(x，y)，則點A為(﹣y，x)，
∵點A是雙曲線y= 上，
∴﹣yx=4，
∴xy=﹣4，
∴點C所在的函數(shù)解析式為：y= ，
故選C.
二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)
9.若分式 的值為零，則x= 2 .
【考點】分式的值為零的條件.
【分析】根據(jù)分式的值為零的條件可以求出x的值.
【解答】解：由分式的值為零的條件得x﹣2=0且x﹣1≠0，
由x﹣2=0，解得x=2，
故答案為2.
10.若一個數(shù)與 是同類二次根式，則這個數(shù)可以是 2 .
【考點】同類二次根式.
【分析】根據(jù)同類二次根式的定義解答即可.
【解答】解： 的同類二次根式有無數(shù)個，其中一個為2 ，
故答案為：2 .
11.菱形的兩條對角線長分別為6和8，則這個菱形的邊長為 5 .
【考點】菱形的性質(zhì).
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由菱形ABCD中，AC=6，BD=8，即可得AC⊥BD，OA= AC=3，OB= BD=4，然后利用勾股定理求得這個菱形的邊長.
【解答】解：∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，OA= AC=3，OB= BD=4，
∴AB= =5.
即這個菱形的邊長為：5.
故答案為：5.
12.分式 ，﹣ ， 的最簡公分母是 12x2y3 .
【考點】最簡公分母.
【分析】確定最簡公分母的方法是：
(1)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);
(2)凡單獨出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個因式;
(3)同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母.
【解答】解：分式 ，﹣ ， 的分母分別是x、3x2y、12y3，故最簡公分母是12x2y3;
故答案為12x2y3.
13.方程 = 的解是 x=6 .
【考點】解分式方程.
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解.
【解答】解：去分母得：3x﹣6=2x，
解得：x=6，
經(jīng)檢驗x=6是分式方程的解.
故答案為：x=6
14.在一個不透明的盒子中裝有2個白球，1個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同，若從中隨機摸出一個球，則摸出的一個球是白球的概率為 .
【考點】概率公式.
【分析】直接利用概率公式求解.
【解答】解：摸出的一個球是白球的概率= = .
故答案為 .
15.如圖，過矩形ABCD的對角線BD上一點K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ，那么圖中矩形AMKP的面積S1與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是S1 = S2;(填“>”或“<”或“=”)
【考點】矩形的性質(zhì);三角形的面積.
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知△ABD的面積等于△CDB的面積，△MBK的面積等于△QKB的面積，△PKD的面積等于△NDK的面積，再根據(jù)等量關(guān)系即可求解.
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，四邊形MBQK是矩形，四邊形PKND是矩形，
∴△ABD的面積=△CDB的面積，△MBK的面積=△QKB的面積，△PKD的面積=△NDK的面積，
∴△ABD的面積﹣△MBK的面積﹣△PKD的面積=△CDB的面積﹣△QKB的面積=△NDK的面積，
∴S1=S2.
故答案為S1=S2.
16.已知x=2﹣ ，則代數(shù)式x2﹣2x﹣1的值為 1﹣2 .
【考點】二次根式的化簡求值.
【分析】先對原代數(shù)式進行恰當(dāng)?shù)幕啠缓蟠肭笾导纯?
【解答】解：原式=x2﹣2x+1﹣2
=(x﹣1)2﹣2
=(2﹣ ﹣1)2﹣2
=(1﹣ )2﹣2
=1+2﹣2 ﹣2
=1﹣2 .
故答案為：1﹣2 .
17.設(shè)函數(shù)y= 與y=x﹣1的圖象的交點坐標為(a，b)，則 的值為 ﹣1 .
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】把A的坐標代入兩函數(shù)得出ab=1，b﹣a=﹣1，把 化成 ，代入求出即可.
【解答】解：∵函數(shù)y= 與y=x﹣1的圖象的交點坐標為(a，b)，
∴ab=3，b﹣a=﹣1，
∴ = = =﹣1，
故答案為：﹣1.
18.如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為 2 .
【考點】軸對稱-最短路線問題;正方形的性質(zhì).
【分析】由于點B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BD，與AC的交點即為F點.此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結(jié)果.
【解答】解：連接BD，與AC交于點F.
∵點B與D關(guān)于AC對稱，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
∵正方形ABCD的面積為12，
∴AB=2 .
又∵△ABE是等邊三角形，
∴BE=AB=2 .
故所求最小值為2 .
故答案為：2 .
三、解答題(本大題共9小題，共76分)
19.計算：
(1)( +1)( )
(2)0﹣ + .
【考點】二次根式的混合運算;零指數(shù)冪.
【分析】(1)利用平方差公式計算;
(2)根據(jù)零指數(shù)冪的意義和二次根式的性質(zhì)得到原式=1﹣(2﹣ )+ ×2 ，然后去括號后合并即可.
【解答】解：(1)原式=3﹣1
=2;
(2)原式=1﹣(2﹣ )+ ×2
=1﹣2+ +
=2 ﹣1.
20.先化簡，再求值： ÷(1﹣ )，其中a=2+ .
【考點】分式的化簡求值.
【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把a的值代入計算即可求出值.
【解答】解：原式= ÷ = • = ，
當(dāng)a=2+ 時，原式= = .
21.如圖，將▱ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F，連接AC、BE.
(1)求證：四邊形ABEC是平行四邊形;
(2)若AE=AD，求證：四邊形ABEC是矩形.
【考點】矩形的判定;平行四邊形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AB∥CD，求出AB∥CE，AB=CE，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可;
(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，求出AE=BC，根據(jù)矩形的判定得出即可.
【解答】證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵CE=CD，
∴AB∥CE，AB=CE，
∴四邊形ABEC是平行四邊形;
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，
∵AE=AD，
∴AE=BC，
∵由(1)知：四邊形ABEC是平行四邊形，
∴四邊形ABEC是矩形.
22.若反比例函數(shù)y= 的圖象如圖所示.
(1)求常數(shù)k的取值范圍;
(2)在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而 減小 ;
(3)若點B(﹣2，y1)、C(1，y2)、D(3，y3)在該函數(shù)的圖象上，試比較y1、y2、y3的大小.(直接寫出結(jié)果，結(jié)果用“<”連接起來)
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】(1)由反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，可得出k﹣2>0，解不等式即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可找出反比例函數(shù)在每個象限內(nèi)單調(diào)遞減，從而得出結(jié)論;
(3)根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.
【解答】解：(1)由圖象知：反比例函數(shù)y= 的圖象位于第一、三象限，
∴k﹣2>0，解得：k>2.
∴常數(shù)k的取值范圍為k>2.
(2)∵反比例函數(shù)y= 中k﹣2>0，
∴反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.
故答案為：減小.
(3)∵點B(﹣2，y1)、C(1，y2)、D(3，y3)在該函數(shù)的圖象上，
∴y1<0，y2>y3>0，
∴y1
23.在“世界家庭日”前夕，某校團委隨機抽取了n名本校學(xué)生，對“世界家庭日”當(dāng)天所喜歡的家庭活動方式進行問卷調(diào)查.問卷中的家庭活動方式包括：
A.在家里聚餐; B.去影院看電影; C.到公園游玩; D.進行其他活動
每位學(xué)生在問卷調(diào)查時都按要求只選擇了其中一種喜歡的活動方式，該校團委收回全部問卷后，將收集到的數(shù)據(jù)整理并繪制成如圖所示的統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：
(1)求n的值;
(2)四種方式中最受學(xué)生喜歡的方式為 C (用A、B、C、D作答);選擇該種方式的學(xué)生人數(shù)占被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)的百分比為 35% .
(3)根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，估計該校1800名學(xué)生中喜歡C方式的學(xué)生比喜歡B方式的學(xué)生多的人數(shù).
【考點】條形統(tǒng)計圖;用樣本估計總體.
【分析】(1)根據(jù)條形圖，把A，B，C，D的人數(shù)加起來，即可解答;
(2)C的學(xué)生人數(shù)最多，即為四種方式中最受學(xué)生喜歡的方式;用C的人數(shù)÷總?cè)藬?shù)，即可得到百分比;
(3)分別計算出喜歡C方式的學(xué)生人數(shù)、喜歡B方式的學(xué)生的人數(shù)，作差即可解答.
【解答】解：(1)n=30+40+70+60=200.
(2)∵C的學(xué)生人數(shù)最多，
∴四種方式中最受學(xué)生喜歡的方式為C，
×100%=35%，
故答案為：C，35%.
(3)1800× =270(人)，
答：該校1800名學(xué)生中喜歡C方式的學(xué)生比喜歡B方式的學(xué)生多的人數(shù)為270人.
24.甲、乙兩公司各為“見義勇為基金會”捐款30 000元，已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且甲公司的人數(shù)比乙公司的人數(shù)多20%.問甲、乙兩公司各有多少人?
【考點】二元一次方程組的應(yīng)用.
【分析】本題的等量關(guān)系是：甲公司的人均捐款+20=乙公司的人均捐款.
甲公司的人數(shù)=乙公司的人數(shù)×(1+20%).根據(jù)這兩個等量關(guān)系可得出方程組求解.
【解答】解：設(shè)甲公司有x人，乙公司有y人.
依題意有： ，
解得： ，
經(jīng)檢驗： 是原方程組的解.
答：甲公司300人，乙公司250人.
25.如圖，反比例函數(shù)y= (k<0)的圖象與矩形ABCD的邊相交于E、F兩點，且BE=2AE，E(﹣1，2).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)連接EF，求△BEF的面積.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)將E(﹣1，2)代入y= ，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式;
(2)由矩形的性質(zhì)及已知條件可得B(﹣3，2)，再將x=﹣3代入y=﹣ ，求出y的值，得到CF= ，那么BF=2﹣ = ，然后根據(jù)△BEF的面積= BE•BF，將數(shù)值代入計算即可.
【解答】解：(1)∵反比例函數(shù)y= (k<0)的圖象過點E(﹣1，2)，
∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣ ;
(2)∵E(﹣1，2)，
∴AE=1，OA=2，
∴BE=2AE=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3，
∴B(﹣3，2).
將x=﹣3代入y=﹣ ，得y= ，
∴CF= ，
∴BF=2﹣ = ，
∴△BEF的面積= BE•BF= ×2× = .
26.正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E為BD上一點，延長AE到點N，使AE=EN，連接CN、CE.
(1)求證：AE=CE.
(2)求證：△CAN為直角三角形.
(3)若AN=4 ，正方形的邊長為6，求BE的長.
【考點】正方形的性質(zhì).
【分析】(1)由四邊形ABCD是正方形，易證得△ABE≌△CBE，繼而證得AE=CE.
(2)由AE=CE，AE=EN，即可證得∠ACN=90°，則可判定△CAN為直角三角形;
(3)由AN=4 ，正方形的邊長為6，易求得CN的長，然后由三角形中位線的性質(zhì)，求得OE的長，繼而求得答案.
【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，
在△ABE和∠CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE;
(2)證明：∵AE=CE，AE=EN，
∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，
∴∠ECN=∠N，
∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，
∴∠ACE+∠ECN=90°，
即∠ACN=90°，
∴△CAN為直角三角形;
(3)解：∵正方形的邊長為6，
∴AC=BD=6 ，
∵∠ACN=90°，AN=4 ，
∴CN= =2 ，
∵OA=OC，AE=EN，
∴OE= CN= ，
∵OB= BD=3 ，
∴BE=OB+OE=4 .
27.如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，連接BD，∠PBQ=60°，將∠PBQ繞點B任意旋轉(zhuǎn)，交邊AD，CD分別于點E、F(不與菱形的頂點重合)，設(shè)菱形ABCD的邊長為a(a為常數(shù))
(1)△ABD和△CBD都是 等邊 三角形;
(2)判斷△BEF的形狀，并說明理由;
(3)在運動過程中，四邊形BEDF的面積是否變化，若不變，求出其面積的值(用a表示);若變化，請說明理由.
(4)若a=3，設(shè)△DEF的周長為m，直接寫出m的取值范圍.
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60°由等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)由(1)知，△ABD和△CBD都是等邊三角形，于是得到∠EDB=∠DBC=∠C=60°，BD=BC證得∠EBD=∠CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=BF，即可的結(jié)論;
(3)由△ABD是等邊三角形，AB=a，得到AB邊上的高= a，根據(jù)三角形的面積公式得到S△ABD= a2，等量代換即可得到結(jié)論;
(4)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=CF，于是得到DF+DE=DF+CF=3，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BF=EF，得到△DEF的周長<6，當(dāng)BF⊥CD時，求得BF= ，得到△DEF的周長=3+ ，即可得到結(jié)論.
【解答】解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，∠C=∠A=60°
∴△ABD和△CBD都是等邊三角形;
故答案為：等邊;
(2)△BEF是等邊三角形，
理由：由(1)知，△ABD和△CBD都是等邊三角形，
∴∠EDB=∠DBC=∠C=60°，BD=BC
∵∠EBF=60°，
∴∠EBD=∠CBF，
在△BDE與△BCF中， ，
∴△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，
∴△BEF是等邊三角形;
(3)不變，
理由：∵△ABD是等邊三角形，AB=a，
∴AB邊上的高= a，
∴S△ABD= a2，
∵△BDE≌△BCF，
∴S四邊形BFDE=S△ABD= a2，
∴在運動過程中，四邊形BEDF的面積不變化;
(4)∵△BDE≌△BCF，
∴DE=CF，
∴DF+DE=DF+CF=3，
∵△BEF是等邊三角形，
∴BF=EF，
∵BF<3，
∴△DEF的周長<6，
當(dāng)BF⊥CD時，BF= ，
∴△DEF的周長=3+ ，
∴m的取值范圍是3+ ≤m<6.
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