人教版八年級數(shù)學(xué)上期末考試模擬試題
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人教版八年級數(shù)學(xué)上期末考試題
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.下列圖標(biāo)是節(jié)水、節(jié)能、低碳和綠色食品的標(biāo)志,其中是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列分式中,無論x取何值,分式總有意義的是( )
A. B. C. D.
3.點(diǎn)M(﹣2,1)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N的坐標(biāo)是( )
A.(2,1) B.(1,﹣2) C.(﹣2,﹣1) D.(2,﹣1)
4.下列運(yùn)算中正確的是( )
A.b3•b3=2b3 B.x2•x3=x6 C.(a5)2=a7 D.a2÷a5=a﹣3
5.下列多項(xiàng)式中,能分解因式的是( )
A.a2+b2 B.﹣a2﹣b2 C.a2﹣4a+4 D.a2+ab+b2
6.已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都相等,一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比是3:1,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( )
A.8 B.9 C.10 D.12
7.若關(guān)于x的方程 無解,則m的值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣3 D.3
8.如圖,AC與BD相交于點(diǎn)O,∠D=∠C.添加下列哪個(gè)條件后,仍不能使△ADO≌△BCO的是( )
A.AD=BC B.AC=BD C.OD=OC D.∠ABD=∠BAC
9.如圖,折疊直角三角形紙片的直角,使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)E處,已知BC=24,∠B=30°,則DE的長是( )
A.12 B.10 C.8 D.6
10.如圖,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D為AC邊上中點(diǎn),過D點(diǎn)作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若S四邊形面積=9,則AB的長為( )
A.3 B.6 C.9 D.18
二、填空題(每題3分,共24分)
11.若分式 的值為零,則x的值等于 .
12.計(jì)算:(a+2b)(2a﹣4b)= .
13.如圖,在△ABC中,∠A=50°,∠ABC=70°,BD平分∠ABC,則∠BDC的度數(shù)是 .
14.三角形的三邊長分別為5,1+2x,8,則x的取值范圍是 .
15.為了創(chuàng)建園林城市,某社區(qū)要清理一個(gè)衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾,租用甲、乙兩車運(yùn)送,兩車各運(yùn)10趟可完成.已知甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾,乙車所運(yùn)的趟數(shù)時(shí)甲車的2倍,則甲車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需要運(yùn)的趟數(shù)為 .
16.如圖,已知△ABC≌△A′BC′,AA′∥BC,∠ABC=70°,則∠CBC′= .
17.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BD于點(diǎn)D,DE∥AC交AB于點(diǎn)E,若AB=8,則DE= .
18.如圖,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=120°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,當(dāng)△AMN周長最小時(shí),∠AMN+∠ANM的度數(shù)是 .
三.解答題(共66分)
19.分解因式:
(1)5x2+10x+5
(2)(a+4)(a﹣4)+3(a+2)
20.先化簡,再求值:( + )÷ ,其中x=1010.
21.解方程:
(1) ﹣ =1
(2) + = .
22.如圖,已知點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上,BF=EC,AB∥ED,AB=DE.求證:∠A=∠D.
23.某超市用4000元購進(jìn)某種服裝銷售,由于銷售狀況良好,超市又調(diào)撥9000元資金購進(jìn)該種服裝,但這次的進(jìn)價(jià)比第一次的進(jìn)價(jià)降低了10%,購進(jìn)的數(shù)量是第一次的2倍還多25件,問這種服裝的第一次進(jìn)價(jià)是每件多少元?
24.如圖,在△ABC中,D為AB的中點(diǎn),DE∥BC,交AC于點(diǎn)E,DE∥AC,交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:DE=BF;
(2)連接EF,請你猜想線段EF和AB有何關(guān)系?并對你的猜想加以證明.
25.如圖,已知點(diǎn)A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上,且AB=AC,AD∥BE,∠GBE的平分線與AD交于點(diǎn)D,連接CD.
(1)求證:①AB=AD;②CD平分∠ACE.
(2)猜想∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關(guān)系?并對你的猜想加以證明.
26.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A(m,0),B(0,n)(n>m>0),點(diǎn)C在第一象限,AB⊥BC,BC=BA,點(diǎn)P在線段OB上,OP=OA,AP的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)M,AB與CP交于點(diǎn)N.
(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為: (用含m,n的式子表示);
(2)求證:BM=BN;
(3)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D,點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為G,求證:D,G關(guān)于x軸對稱.
人教版八年級數(shù)學(xué)上期末考試模擬試題參考答案
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.下列圖標(biāo)是節(jié)水、節(jié)能、低碳和綠色食品的標(biāo)志,其中是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解.
【解答】解:A、不是軸對稱圖形,故本選項(xiàng)錯誤;
B、不是軸對稱圖形,故本選項(xiàng)錯誤;
C、不是軸對稱圖形,故本選項(xiàng)錯誤;
D、是軸對稱圖形,故本選項(xiàng)正確.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合.
2.下列分式中,無論x取何值,分式總有意義的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】分式有意義的條件.
【分析】根據(jù)分母不為零分式有意義,可得答案.
【解答】解:A、x=0時(shí)分式無意義,故A錯誤;
B、無論x取何值,分式總有意義,故B正確;
C、當(dāng)x=﹣1時(shí),分式無意義,故C錯誤;
D、當(dāng)x=0時(shí),分式無意義,故D錯誤;
故選:B.
【點(diǎn)評】本題考查了分式有意義的條件,分母不為零分式有意義.
3.點(diǎn)M(﹣2,1)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N的坐標(biāo)是( )
A.(2,1) B.(1,﹣2) C.(﹣2,﹣1) D.(2,﹣1)
【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點(diǎn),縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答.
【解答】解:點(diǎn)M(﹣2,1)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)N的坐標(biāo)是(2,1).
故選A.
【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo),解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律:
(1)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);
(2)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn),縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù);
(3)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).
4.下列運(yùn)算中正確的是( )
A.b3•b3=2b3 B.x2•x3=x6 C.(a5)2=a7 D.a2÷a5=a﹣3
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法;同底數(shù)冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】結(jié)合選項(xiàng)分別進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方、同底數(shù)冪的除法等運(yùn)算,然后選擇正確答案.
【解答】解:A、b3•b3=b6,原式計(jì)算錯誤,故本選項(xiàng)錯誤;
B、x2•x3=x5,原式計(jì)算錯誤,故本選項(xiàng)錯誤;
C、(a5)2=a10,原式計(jì)算錯誤,故本選項(xiàng)錯誤;
D、a2÷a5=a﹣3,計(jì)算正確,故本選項(xiàng)正確.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方、同底數(shù)冪的除法等知識,掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.
5.下列多項(xiàng)式中,能分解因式的是( )
A.a2+b2 B.﹣a2﹣b2 C.a2﹣4a+4 D.a2+ab+b2
【考點(diǎn)】因式分解的意義.
【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式,可得答案.
【解答】解:A、平方和不能分解,故A錯誤;
B、平方的符號相同,不能因式分解,故B錯誤;
C、平方和減積的2倍等于差的平方,故C正確;
D、平方和加積的1倍,不能因式分解,故D錯誤;
故選:C.
【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的意義,因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式.
6.已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都相等,一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比是3:1,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( )
A.8 B.9 C.10 D.12
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.
【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的外角為x°,則內(nèi)角為3x°,根據(jù)多邊形的相鄰的內(nèi)角與外角互補(bǔ)可的方程x+3x=180,解可得外角的度數(shù),再用外角和除以外角度數(shù)即可得到邊數(shù).
【解答】解:設(shè)這個(gè)多邊形的外角為x°,則內(nèi)角為3x°,
由題意得:x+3x=180,
解得x=45,
這個(gè)多邊形的邊數(shù):360°÷45°=8,
故選A.
【點(diǎn)評】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角,關(guān)鍵是掌握多邊形的相鄰的內(nèi)角與外角互補(bǔ).
7.若關(guān)于x的方程 無解,則m的值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣3 D.3
【考點(diǎn)】分式方程的增根.
【專題】計(jì)算題.
【分析】方程無解,說明方程有增根,只要把增根代入方程然后解出m的值.
【解答】解:∵方程 無解,
∴x=4是方程的增根,
∴m+1﹣x=0,
∴m=3.
故選D.
【點(diǎn)評】本題主要考查方程的增根問題,計(jì)算時(shí)要小心,是一道基礎(chǔ)題.
8.如圖,AC與BD相交于點(diǎn)O,∠D=∠C.添加下列哪個(gè)條件后,仍不能使△ADO≌△BCO的是( )
A.AD=BC B.AC=BD C.OD=OC D.∠ABD=∠BAC
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】三角形全等條件中必須是三個(gè)元素,并且一定有兩組對應(yīng)角相等.在△ADO和△BCO中,已知了∠AOD=∠AOC,∠D=∠C,因此只需添加一組對應(yīng)邊相等即可判定兩三角形全等.
【解答】解:添加AD=CB,根據(jù)AAS判定△ADO≌△BCO,
添加OD=OC,根據(jù)ASA判定△ADO≌△BCO,
添加∠ABD=∠CAB得OA=OB,可根據(jù)AAS判定△ADO≌△BCO,
故選B.
【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法,判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加時(shí)注意:AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等,判定兩個(gè)三角形全等時(shí),必須有邊的參與,若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí),角必須是兩邊的夾角.
9.如圖,折疊直角三角形紙片的直角,使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)E處,已知BC=24,∠B=30°,則DE的長是( )
A.12 B.10 C.8 D.6
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).
【分析】由軸對稱的性質(zhì)可以得出DE=DC,∠AED=∠C=90°,就可以得出∠BED=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)就可以求出BD=2DE,然后建立方程求出其解即可.
【解答】解:∵△ADE與△ADC關(guān)于AD對稱,
∴△ADE≌△ADC,
∴DE=DC,∠AED=∠C=90°,
∴∠BED=90°.
∵∠B=30°,
∴BD=2DE.
∵BC=BD+CD=24,
∴24=2DE+DE,
∴DE=8.
故選:C.
【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用,直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,一元一次方程的運(yùn)用,解答時(shí)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解是關(guān)鍵.
10.如圖,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D為AC邊上中點(diǎn),過D點(diǎn)作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F,若S四邊形面積=9,則AB的長為( )
A.3 B.6 C.9 D.18
【考點(diǎn)】等腰直角三角形;全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】首先連接BD,由已知等腰直角三角形ABC,可推出BD⊥AC且BD=CD=AD,∠ABD=45°再由DE丄DF,可推出∠FDC=∠EDB,又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°,所以△EDB≌△FDC,所以四邊形的面積是三角形ABC的一半,利用三角形的面積公式即可求出AB的長.
【解答】解:連接BD,
∵等腰直角三角形ABC中,D為AC邊上中點(diǎn),
∴BD⊥AC(三線合一),BD=CD=AD,∠ABD=45°,
∴∠C=45°,
∴∠ABD=∠C,
又∵DE丄DF,
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF,
∴∠FDC=∠EDB,
在△EDB與△FDC中,
∵ ,
∴△EDB≌△FDC(ASA),
∴S四邊形面積=S△BDC= S△ABC=9,
∴ AB2=18,
∴AB=6,
故選B.
【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是勾股定理及全等三角形的判定,關(guān)鍵是由已知先證三角形全等,證明四邊形的面積是大三角形的面積一半.
二、填空題(每題3分,共24分)
11.若分式 的值為零,則x的值等于 2 .
【考點(diǎn)】分式的值為零的條件.
【分析】根據(jù)分式的值為零的條件可以求出x的值.
【解答】解:根據(jù)題意得:x﹣2=0,
解得:x=2.
此時(shí)2x+1=5,符合題意,
故答案是:2.
【點(diǎn)評】本題主要考查了分式值是0的條件,若分式的值為零,需同時(shí)具備兩個(gè)條件:(1)分子為0;(2)分母不為0.這兩個(gè)條件缺一不可.
12.計(jì)算:(a+2b)(2a﹣4b)= 2a2﹣8b2 .
【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則,可表示為(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,計(jì)算即可.
【解答】解:(a+2b)(2a﹣4b)
=2a2﹣4ab+4ab﹣8b2
=2a2﹣8b2.
故答案為:2a2﹣8b2.
【點(diǎn)評】本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則.注意不要漏項(xiàng),漏字母,有同類項(xiàng)的合并同類項(xiàng).
13.如圖,在△ABC中,∠A=50°,∠ABC=70°,BD平分∠ABC,則∠BDC的度數(shù)是 85° .
【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理.
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠C=60°,再利用角平分線得出∠DBC=35°,進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和得出∠BDC的度數(shù).
【解答】解:∵在△ABC中,∠A=50°,∠ABC=70°,
∴∠C=60°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=35°,
∴∠BDC=180°﹣60°﹣35°=85°.
故答案為:85°.
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的定義,三角形內(nèi)角和定理等知識,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠C=60°,再利用角平分線得出∠DBC=35°.
14.三角形的三邊長分別為5,1+2x,8,則x的取值范圍是 1
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系.
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系:任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.
【解答】解:由題意,有8﹣5<1+2x<8+5,
解得:1
【點(diǎn)評】考查了三角形的三邊關(guān)系,還要熟練解不等式.
15.為了創(chuàng)建園林城市,某社區(qū)要清理一個(gè)衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾,租用甲、乙兩車運(yùn)送,兩車各運(yùn)10趟可完成.已知甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾,乙車所運(yùn)的趟數(shù)時(shí)甲車的2倍,則甲車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需要運(yùn)的趟數(shù)為 15 .
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【分析】假設(shè)甲車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)x趟,則乙車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)2x趟,根據(jù)總工作效率 得出等式方程求出即可.
【解答】解:設(shè)甲車單獨(dú)運(yùn)完這堆垃圾需運(yùn)x趟,則乙車單獨(dú)運(yùn)完這堆垃圾需運(yùn)2x趟,由題意得,
+ =
解得,x=15,
經(jīng)檢驗(yàn),x=15是所列方程的解,且符合題意,
答:甲車單獨(dú)運(yùn)完這堆垃圾需運(yùn)15趟.
故答案為:15.
【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用,關(guān)鍵是正確理解題意,利用工作總量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出方程解決問題.
16.如圖,已知△ABC≌△A′BC′,AA′∥BC,∠ABC=70°,則∠CBC′= 40° .
【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A′AB=∠ABC=70°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BA=BA′,∠A′BC=∠ABC=70°,計(jì)算即可.
【解答】解:∵AA′∥BC,
∴∠A′AB=∠ABC=70°,
∵△ABC≌△A′BC′,
∴BA=BA′,∠A′BC=∠ABC=70°,
∴∠A′AB=∠AA′B=70°,
∴∠A′BA=40°,
∴∠ABC′=30°,
∴∠CBC′=40°,
故答案為:40°.
【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì),掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.
17.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BD于點(diǎn)D,DE∥AC交AB于點(diǎn)E,若AB=8,則DE= 4 .
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠CAD=∠BAD,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得∠CAD=∠ADE,然后求出∠ADE=∠BAD,根據(jù)等角對等邊可得AE=DE,然后根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD=∠BDE,根據(jù)等角對等邊可得DE=BE,從而得到DE= AB.
【解答】解:∵AD是∠BAC的平分線,
∴∠CAD=∠BAD,
∵DE∥AC,
∴∠CAD=∠ADE,
∴∠ADE=∠BAD,
∴AE=DE,
∵BD⊥AD,
∴∠ADE+∠BDE=∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ABD=∠BDE,
∴DE=BE,
∴DE= AB,
∵AB=8,
∴DE= ×8=4.
故答案為:4.
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的定義,平行線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),以及等角的余角相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖,準(zhǔn)確找出圖中相等的角是解題的關(guān)鍵.
18.如圖,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=120°,在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N,當(dāng)△AMN周長最小時(shí),∠AMN+∠ANM的度數(shù)是 120° .
【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.
【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小,即利用點(diǎn)的對稱,使三角形的三邊在同一直線上,作出A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′,A″,即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°,進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″),即可得出答案.
【解答】解:作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′,A″,連接A′A″,交BC于M,交CD于N,則A′A″即為△AMN的周長最小值.作DA延長線AH,
∵∠DAB=120°,
∴∠HAA′=60°,
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°,
∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°,
【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題,涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識,根據(jù)已知得出M,N的位置是解題關(guān)鍵.
三.解答題(共66分)
19.分解因式:
(1)5x2+10x+5
(2)(a+4)(a﹣4)+3(a+2)
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用;因式分解-十字相乘法等.
【專題】計(jì)算題;因式分解.
【分析】(1)原式提取5,再利用完全平方公式分解即可;
(2)原式整理后,利用十字相乘法分解即可.
【解答】解:(1)原式=5(x2+2x+1)=5(x+1)2;
(2)原式=a2﹣16+3a+6=a2+3a﹣10=(a﹣2)(a+5).
【點(diǎn)評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用,以及因式分解﹣十字相乘法,熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵.
20.先化簡,再求值:( + )÷ ,其中x=1010.
【考點(diǎn)】分式的化簡求值.
【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡,再把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可.
【解答】解:原式= •
= ,
將x=1010代入,得原式= = .
【點(diǎn)評】本題考查的是分式的化簡求值,熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵.
21.解方程:
(1) ﹣ =1
(2) + = .
【考點(diǎn)】解分式方程.
【專題】計(jì)算題;分式方程及應(yīng)用.
【分析】兩分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.
【解答】解:(1)方程兩邊同乘以(x﹣1),得2﹣(x+2)=x﹣1,
解得:x= ,
經(jīng)檢驗(yàn)x= 是分式方程的解;
(2)去分母得:x+3x﹣9=x+3,
移項(xiàng)合并得:3x=12,
解得:x=4,
經(jīng)檢驗(yàn)x=4是分式方程的解.
【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.解分式方程一定注意要驗(yàn)根.
22.如圖,已知點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上,BF=EC,AB∥ED,AB=DE.求證:∠A=∠D.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】由BF=EC,可得BC=EF,由已知AB∥ED,可得∠B=∠E,易證△ABC≌△DEF,即可得出∠A=∠D.
【解答】證明:∵BF=EC,
∴BF+FC=EC+FC,
∴BC=EF,
∵AB∥ED,
∴∠B=∠E,
∵AB=DE,
在△ABC與△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠A=∠D.
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì),解題的關(guān)鍵是證出△ABC≌△DEF.
23.某超市用4000元購進(jìn)某種服裝銷售,由于銷售狀況良好,超市又調(diào)撥9000元資金購進(jìn)該種服裝,但這次的進(jìn)價(jià)比第一次的進(jìn)價(jià)降低了10%,購進(jìn)的數(shù)量是第一次的2倍還多25件,問這種服裝的第一次進(jìn)價(jià)是每件多少元?
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【分析】首先設(shè)這種服裝第一次進(jìn)價(jià)是每件x元,則第一次進(jìn)價(jià)是每件(1﹣10%)x元,根據(jù)題意得等量關(guān)系:第二次購進(jìn)的數(shù)量=第一次購進(jìn)數(shù)量×2+25,根據(jù)等量關(guān)系列出方程,再解即可.
【解答】解:設(shè)這種服裝第一次進(jìn)價(jià)是每件x元,根據(jù)題意,得:
= +25,
解得:x=80,
經(jīng)檢驗(yàn)x=80是原分式方程的解,
答:這種服裝第一次進(jìn)價(jià)是每件80元.
【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用,關(guān)鍵是正確理解題意,找出題目中的等量關(guān)系,設(shè)出未知數(shù),列出方程,注意不要忘記檢驗(yàn).
24.如圖,在△ABC中,D為AB的中點(diǎn),DE∥BC,交AC于點(diǎn)E,DE∥AC,交BC于點(diǎn)F.
(1)求證:DE=BF;
(2)連接EF,請你猜想線段EF和AB有何關(guān)系?并對你的猜想加以證明.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)得到相等的角,證明△ADE≌△DBF,即可得到DE=BF.
(2)EF∥AB且 EF= AB,證明△DBF≌△FED,得到EF=BD= AB,∠BDF=∠DFE,所以EF∥AB.
【解答】(1)∵D為AB的中點(diǎn),
∴AD=DB,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∵DF∥AC,
∴∠DFB=∠C,
∴∠AED=∠DFB,
在△ADE和△DBF中,
∴△ADE≌△DBF,
∴DE=BF.
(2)EF∥AB且 EF= AB,如圖,
∵DE∥BC,
∴∠EDF=∠DFB,
在△DBF和△FED中,
∴△DBF≌△FED
∴EF=BD= AB,∠BDF=∠DFE,
∴EF∥AB.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理,解決本題的關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)得到相等的角證明三角形全等.
25.如圖,已知點(diǎn)A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上,且AB=AC,AD∥BE,∠GBE的平分線與AD交于點(diǎn)D,連接CD.
(1)求證:①AB=AD;②CD平分∠ACE.
(2)猜想∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關(guān)系?并對你的猜想加以證明.
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì);平行線的性質(zhì).
【分析】(1)①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠DBC,由角平分線的定義得到∠ABD=∠DBC,等量代換得到∠ABD=∠ADB,根據(jù)等腰三角形的判定即可得到AB=AD;②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADC=∠DCE,由①知AB=AD,等量代換得到AC=AD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACD=∠ADC,求得∠ACD=∠DCE,即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC= ∠ABC,∠DCE= ∠ACE,由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+ ∠ABC=∠ACE,由∠BAC+∠ABC=∠ACE,于是得到∠DC+ ∠ABC= ∠ABC+ ∠BAC,即可得到結(jié)論.
【解答】解:(1)①∵AD∥BE,
∴∠ADB=∠DBC,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD;
?、凇逜D∥BE,
∴∠ADC=∠DCE,
由①知AB=AD,
又∵AB=AC,
∴AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,
∴∠ACD=∠DCE,
∴CD平分∠ACE;
(2)∠BDC= ∠BAC,
∵BD、CD分別平分∠ABE,∠ACE,
∴∠DBC= ∠ABC,∠DCE= ∠ACE,
∵∠BDC+∠DBC=∠DCE,
∴∠BDC+ ∠ABC=∠ACE,
∵∠BAC+∠ABC=∠ACE,
∴∠BDC+ ∠ABC= ∠ABC+ ∠BAC,
∴∠BDC= ∠BAC.
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì),角平分線的定義,平行線的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
26.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A(m,0),B(0,n)(n>m>0),點(diǎn)C在第一象限,AB⊥BC,BC=BA,點(diǎn)P在線段OB上,OP=OA,AP的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)M,AB與CP交于點(diǎn)N.
(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為: (n,m+n) (用含m,n的式子表示);
(2)求證:BM=BN;
(3)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D,點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為G,求證:D,G關(guān)于x軸對稱.
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.
【分析】(1)過C點(diǎn)作CE⊥y軸于點(diǎn)E,根據(jù)AAS證明△AOB≌△BEC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)的性質(zhì)和等量代換可得∠1=∠2,根據(jù)ASA證明△ABM≌△CBN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到BM=BN;
(3)根據(jù)SAS證明△DAH≌△GAH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解.
【解答】(1)解:過C點(diǎn)作CE⊥y軸于點(diǎn)E,
∵CE⊥y軸,
∴∠BEC=90°,
∴∠BEC=∠AOB,
∵AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBE=90°,
∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CBE=∠BAO,
在△AOB與△BEC中,
,
∴△AOB≌△BEC(AAS),
∴CE=OB=n,BE=OA=m,
∴OE=OB+BE=m+n,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(n,m+n).
故答案為:(n,m+n);
(2)證明:∵△AOB≌△BEC,
∴BE=OA=OP,CE=BO,
∴PE=OB=CE,
∴∠EPC=45°,
∠APC=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABM與△CBN中,
,
∴△ABM≌△CBN(ASA),
∴BM=BN;
(3)證明:∵點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D,點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為G,
∴AD=AC,AG=AC,
∴AD=AG,
∵∠1=∠5,∠1=∠6,
∴∠5=∠6,
在△DAH與△GAH中,
,
∴△DAH≌△GAH(SAS),
∴D,G關(guān)于x軸對稱.
【點(diǎn)評】考查了幾何變換綜合題,涉及的知識點(diǎn)有:全等三角形的判定和性質(zhì),關(guān)于直線對稱的性質(zhì).關(guān)鍵是AAS證明△AOB≌△BEC,ASA證明△ABM≌△CBN,SAS證明△DAH≌△GAH.
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