八年級下冊數(shù)學(xué)第17章反比例函數(shù)與三角形測試卷
做八年級數(shù)學(xué)試題好問的人，只做了五分種的愚人;恥于發(fā)問的人，終身為愚人。學(xué)習(xí)啦為大家整理了八年級下冊數(shù)學(xué)第17章反比例函數(shù)與三角形測試卷，歡迎大家閱讀!
八年級下冊數(shù)學(xué)第17章反比例函數(shù)與三角形測試卷及參考答案
一、反比例函數(shù)與等腰三角形結(jié)合
試題1、(2015常州)如圖，反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y= x的圖象交于點A、B，點B的橫坐標(biāo)是4.點P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的動點，且在直線AB的上方.
(1)若點P的坐標(biāo)是(1，4)，直接寫出k的值和△PAB的面積;
(2)設(shè)直線PA、PB與x軸分別交于點M、N，求證：△PMN是等腰三角形;
(3)設(shè)點Q是反比例函數(shù)圖象上位于P、B之間的動點(與點P、B不重合)，連接AQ、BQ，比較∠PAQ與∠PBQ的大小，并說明理由.
【解答】解：(1)k=4，S△PAB=15.
提示：過點A作AR⊥y軸于R，過點P作PS⊥y軸于S，連接PO，
設(shè)AP與y軸交于點C，如圖1，
把x=4代入y= x，得到點B的坐標(biāo)為(4，1)，
把點B(4，1)代入y= ，得k=4.
解方程組 ，得到點A的坐標(biāo)為(﹣4，﹣1)，
則點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴OA=OB，
∴S△AOP=S△BOP，
∴S△PAB=2S△AOP.
設(shè)直線AP的解析式為y=mx+n，
把點A(﹣4，﹣1)、P(1，4)代入y=mx+n，
求得直線AP的解析式為y=x+3，
則點C的坐標(biāo)(0，3)，OC=3，
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
= OCAR+ OCPS
= ×3×4+ ×3×1= ，
∴S△PAB=2S△AOP=15;
(2)過點P作PH⊥x軸于H，如圖2.
B(4，1)，則反比例函數(shù)解析式為y= ，
設(shè)P(m， )，直線PA的方程為y=ax+b，直線PB的方程為y=px+q，
聯(lián)立 ，解得直線PA的方程為y= x+ ﹣1，
聯(lián)立 ，解得直線PB的方程為y=﹣ x+ +1，
∴M(m﹣4，0)，N(m+4，0)，
∴H(m，0)，
∴MH=m﹣(m﹣4)=4，NH=m+4﹣m=4，
∴MH=NH，
∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形;
(3)∠PAQ=∠PBQ.
理由如下：
過點Q作QT⊥x軸于T，設(shè)AQ交x軸于D，QB的延長線交x軸于E，如圖3.
可設(shè)點Q為(c， )，直線AQ的解析式為y=px+q，則有
，
解得： ，
∴直線AQ的解析式為y= x+ ﹣1.
當(dāng)y=0時， x+ ﹣1=0，
解得：x=c﹣4，
∴D(c﹣4，0).
同理可得E(c+4，0)，
∴DT=c﹣(c﹣4)=4，ET=c+4﹣c=4，
∴DT=ET，
∴QT垂直平分DE，
∴QD=QE，
∴∠QDE=∠QED.
∵∠MDA=∠QDE，
∴∠MDA=∠QED.
∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM.
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，
∴∠PAQ=∠PBQ.
試題2、(2016黃岡校級自主招生)如圖，直線OB是一次函數(shù)y=2x的圖象，點A的坐標(biāo)是(0，2)，點C在直線OB上且△ACO為等腰三角形，求C點坐標(biāo).
【解答】解：若此等腰三角形以O(shè)A為一腰，且以A為頂點，則AO=AC1=2.
設(shè)C1(x，2x)，則得x2+(2x﹣2)2=22，
解得 ，得C1( )，
若此等腰三角形以O(shè)A為一腰，且以O(shè)為頂點，則OC2=OC3=OA=2，
設(shè)C2(x′，2x′)，則得x′2+(2x′)2=22，解得 = ，
∴C2( )，
又由點C3與點C2關(guān)于原點對稱，得C3( )，
若此等腰三角形以O(shè)A為底邊，則C4的縱坐標(biāo)為1，從而其橫坐標(biāo)為 ，得C4( )，
所以，滿足題意的點C有4個，坐標(biāo)分別為：( )，( )，( )，C4( ).
試題3、(2011廣西來賓，23，10分)已知反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)圖像交于點A(1，4)和B(m, -2).
(1)求這兩個函數(shù)的關(guān)系式.
(2)如果點C與點A關(guān)于x軸對稱，求△ABC的面積。
(3)點P是X軸上的動點，△AOP是等腰三角形，求點P的坐標(biāo)。
二、反比例函數(shù)與等邊三角形結(jié)合
試題1、如圖，直線y=2x+4與x，y軸分別交于A，B兩點，以O(shè)B為邊在y軸右側(cè)作等邊三角形OBC，將點C向左平移，使其對應(yīng)點C′恰好落在直線AB上，則點C′的坐標(biāo)為 (﹣1，2) .
解：∵直線y=2x+4與y軸交于B點，
∴x=0時，得y=4，∴B(0，4).
∵以O(shè)B為邊在y軸右側(cè)作等邊三角形OBC，
∴C在線段OB的垂直平分線上，
∴C點縱坐標(biāo)為2.
將y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣1.
故答案為：(﹣1，2).
試題2、(2015黃岡校級自主招生)如圖，△AOB和△ACD均為正三角形，且頂點B、D均在雙曲線 (x>0)上，則圖中S△OBP=( )
A. B. C. D.4
【解答】解：∵△AOB和△ACD均為正三角形，
∴∠AOB=∠CAD=60°，
∴AD∥OB，
∴S△ABP=S△AOP，
∴S△OBP=S△AOB，
過點B作BE⊥OA于點E，則S△OBE=S△ABE= S△AOB，
∵點B在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴S△OBE= ×4=2，
∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4.
故選D.
試題3、(2013黃岡模擬)如圖，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，點P1、P2在函數(shù) 的圖象上，斜邊OA1、A1A2都在x軸上，則點A2的坐標(biāo)是( )
A.( ，0) B.( ，0) C.( ，0) D.( ，0)
【解答】解：(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可設(shè)點P1(a，a)，
又y= ，
則a2=4，a=±2(負(fù)值舍去)，
再根據(jù)等腰三角形的三線合一，得A1的坐標(biāo)是(4，0)，
設(shè)點P2的坐標(biāo)是(4+b，b)，又y= ，則b(4+b)=4，
即b2+4b﹣4=0，
又∵b>0，∴b=2 ﹣2，
再根據(jù)等腰三角形的三線合一，
∴4+2b=4+4 ﹣4=4 ，
∴點A2的坐標(biāo)是(4 ，0).
故選C.
三、反比例函數(shù)與直角三角形結(jié)合
試題1、(2015大連模擬)如圖，以Rt△AOB的直角頂點O為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，C為AB的中點，將一個足夠大的三角板的直角頂點與C重合，并繞點C旋轉(zhuǎn)，直角邊CM、CN與邊OB、OA相交于E、F.
(1)如圖1，當(dāng)∠ABO=45°時，請直接寫出線段CE與CF的數(shù)量關(guān)系： CE=CF .
(2)如圖2，當(dāng)∠ABO=30°時，請直接寫出CE與CF的數(shù)量關(guān)系： FC= EC .
(3)當(dāng)∠ABO=α時，猜想CE與CF的數(shù)量關(guān)系(用含有α的式子表示)，并結(jié)合圖2證明你的猜想.
(4)若OA=6，OB=8，D為△AOB的內(nèi)心，結(jié)合圖3，判斷D是否在雙曲線y= 上，說明理由.
【解答】解：(1)如圖1，連接OC，
∵∠AOB=90°，∠MCN=90°，
∴四邊形OFCE共圓，
∵∠ABO=45°，C為AB的中點，
∴∠EOC=∠FOC=45°，
∴CE=CF，
故答案為：CE=CF.
(2)如圖2，連接OC，
∵∠AOB=90°，∠MCN=90°，
∴四邊形OFCE共圓，此圓為⊙G，設(shè)半徑為r，作GP⊥FC，連接GF，
∵∠ABO=30°，C為AB的中點，
∴∠BOC=30°，
∴∠FOC=60°，可得∠FGP=60°，
∴FC=2FP= r，
同理可得EC=r，
∴FC= EC.
故答案為：FC= EC.
(3))如圖2，連接OC，
∵∠AOB=90°，∠MCN=90°，
∴四邊形OFCE共圓，此圓為⊙G，設(shè)半徑為r，作GP⊥FC，連接GF，
∵∠ABO=α，C為AB的中點，
∴∠BOC=α，
∴∠FOC=90°﹣α，可得∠FGP=90°﹣α，
∴FC=2FP=2rsin(90°﹣α)，
同理可得EC=2rsinα，
∴FC：EC=sin(90°﹣α)：sinα，
∴FC= EC.
(4)如圖3，
∵OA=6，OB=8，
∴AB= = =10，
設(shè)OC為x，AC=6﹣x，
∵D為△AOB的內(nèi)心，
∴OE=x，BE=8﹣x，
∴8﹣x+6﹣x=10，
∴x=2，
∴點D(2，2).代入雙曲線y= 不成立，
∴D不在雙曲線y= 上，
四、反比例函數(shù)與等腰直角三角形結(jié)合
試題1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A1，A2，A3…都在x軸上，點B1，B2，B3…都在直線y=x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，則點B2015的坐標(biāo)是( )
A. C.
解：∵OA1=1，∴點A1的坐標(biāo)為(1，0)，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1=1，∴B1(1，1)，
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2=1，B1A2= ，
∵△B2B1A2為等腰直角三角形，
∴A2A3=2，∴B2(2，2)，
同理可得，B3(22，22)，B4(23，23)，…Bn(2n﹣1，2n﹣1)，
∴點B2015的坐標(biāo)是(22014，22014).
故選：A.
試題2、(2015儀征市一模)如圖，點A是雙曲線y= 在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運動，則這個函數(shù)的解析式為 y=﹣ .
【解答】解：連結(jié)OC，作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，如圖，
設(shè)A點坐標(biāo)為(a， )，
∵A點、B點是正比例函數(shù)圖象與雙曲線y= 的交點，
∴點A與點B關(guān)于原點對稱，
∴OA=OB
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∵在△COD和△OAE中
∴△COD≌△OAE(AAS)，
∴OD=AE= ，CD=OE=a，
∴C點坐標(biāo)為(﹣ ，a)，
∵﹣ a=﹣4，
∴點C在反比例函數(shù)y=﹣ 圖象上.
故答案為y=﹣ .
試題2、(2015潮陽區(qū)一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，D是BC的中點，過點D的反比例函數(shù)圖象交AB于E點，連接DE.若OD=5，tan∠COD= .
(1)求過點D的反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△DBE的面積;
(3)x軸上是否存在點P使△OPD為直角三角形?若存在，請直接寫出P點的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
【解答】解：(1)∵四邊形OABC是矩形，
∴BC=OA，AB=OC，
∵tan∠COD= ，
∴設(shè)OC=3x，CD=4x，
∴OD=5x=5，
∴x=1，
∴OC=3，CD=4，
∴D(4，3)，
設(shè)過點D的反比例函數(shù)的解析式為：y= ，
∴k=12，∴反比例函數(shù)的解析式為：y= ;
(2)∵點D是BC的中點，
∴B(8，3)，
∴BC=8，AB=3，
∵E點在過點D的反比例函數(shù)圖象上，
∴E(8， )，
∴S△DBE= BDBE= =3;
(3)存在，
∵△OPD為直角三角形，
∴當(dāng)∠OPD=90°時，PD⊥x軸于P，
∴OP=4，
∴P(4，0)，
當(dāng)∠ODP=90°時，
如圖，過D作DH⊥x軸于H，
∴OD2=OHOP，
∴OP= = .
∴P( ，O)，
∴存在點P使△OPD為直角三角形，
∴P(4，O)，( ，O).
試題3、(2015歷下區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A(﹣2，0)、B(0，d)、C(﹣3，2).
(1)求d的值;
(2)將△ABC沿x軸的正方向平移a個單位，在第一象限內(nèi)B、C兩點的對應(yīng)點B′C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上.請求出這個反比例函數(shù)和此時直線B′C′的解析式;
(3)在(2)的條件下，直線B′C′交y軸于點G，作C′M⊥x軸于M.P是線段B′C′上的一點，若△PMC′和△PBB′面積相等，求點P坐標(biāo).
【解答】解：(1)作CN⊥x軸于點N.
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB(HL)，
則BO=AN=3﹣2=1，
∴d=1;
(2)設(shè)反比例函數(shù)為y= ，點C′和B′在該比例函數(shù)圖象上，
設(shè)C′(a，2)，則B′(a+3，1)
把點C′和B′的坐標(biāo)分別代入y= ，得k=2a;k=a+3，
∴2a=a+3，a=3，
則k=6，反比例函數(shù)解析式為y= .
得點C′(3，2);B′(6，1);
設(shè)直線C′B′的解析式為y=ax+b，把C′、B′兩點坐標(biāo)代入得 ，
解得： ;
∴直線C′B′的解析式為：y=﹣ ;
(3)連結(jié)BB′
∵B(0，1)，B′(6，1)，
∴BB′∥x軸，
設(shè)P(m， )，作PQ⊥C′M，PH⊥BB′
∴S△PC’M= ×PQ×C′M= ×(m﹣3)×2=m﹣3
S△PBB’= ×PH×BB′= ×( )×6=﹣m+6
∴m﹣3=﹣m+6
∴m=
∴P( ， ).
試題4、(2015泰州校級一模)已知點A(m、n)是反比例函數(shù) (x>0)的圖象上一點，過A作AB⊥x軸于點B，P是y軸上一點，
(1)求△PAB的面積;
(2)當(dāng)△PAB為等腰直角三角形時，求點A的坐標(biāo);
(3)若∠APB=90°，求m的取值范圍.
【解答】解：(1)連接OA，
∵AB⊥x軸，
∴AB∥y軸，
∴S△PAB=S△POB，
∵點A(m、n)是反比例函數(shù) (x>0)的圖象上一點，
∴S△PAB=S△POB=2;
(2)若∠ABP=90°，則AB=OB，
則m=n，
∴m= ，
∵x>0，
∴m=2，
∴點A(2，2);
若∠PAB=90°，則PA=AB，同理可得點A(2，2);
若∠APB=90°，則AP=BP，
過點P作PC⊥AB于點C，則AC=BC=PC，
則點A(m，2m)，
∴2m= ，
∵x>0，
∴m= ，
∴點A( ，2 );
綜上，點A的坐標(biāo)為：(2，2)或( ，2 );
(3)∵∠APB=90°，
∴點P是以AB為直徑的圓與y軸的交點，
由(2)可知當(dāng)x= 時，以AB為直徑的圓與y軸相切，當(dāng)x> 時，以AB為直徑的圓與y軸相離，
∴m的取值范圍為：0
五、反比例函數(shù)與全等三角形結(jié)合
試題1、2015韶關(guān)模擬)如圖，點A(2，2)在雙曲線y1= (x>0)上，點C在雙曲線y2=﹣ (x<0)上，分別過A、C向x軸作垂線，垂足分別為F、E，以A、C為頂點作正方形ABCD，且使點B在x軸上，點D在y軸的正半軸上.
(1)求k的值;
(2)求證：△BCE≌△ABF;
(3)求直線BD的解析式.
【解答】(1)解：把點A(2，2)代入y1= ，
得：2= ，
∴k=4;
(2)證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90°，BD=AC，
∴∠EBC+∠ABF=90°，
∵CE⊥x軸，AF⊥x軸，
∴∠CEB=∠BFA=90°，
∴∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠BCE=∠ABF，
在△BCE和△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF(AAS);
(3)解：連接AC，作AG⊥CE于G，如圖所示：
則∠AGC=90°，AG=EF，GE=AF=2，
由(2)得：△BCE≌△ABF，
∴BE=AF=2，CE=BF，
設(shè)OB=x，則OE=x+2，CE=BF=x+2，
∴OE=CE，
∴點C的坐標(biāo)為：(﹣x﹣2，x+2)，
代入雙曲線y2=﹣ (x<0)得：﹣(x+2)2=﹣9，
解得：x=1，或x=﹣5(不合題意，舍去)，
∴OB=1，BF=3，CE=OE=3，
∴EF=2+3=5，CG=1=OB，B(﹣1，0)，AG=5，
在Rt△BOD和Rt△CGA中，
，
∴Rt△BOD≌Rt△CGA(HL)，
∴OD=AG=5，
∴D(0，5)，
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
把B(﹣1，0)，D(0，5)代入得： ，
解得：k=5，b=5.
∴直線BD的解析式為：y=5x+5.
試題2、(2015歷城區(qū)二模)如圖，一條直線與反比例函數(shù)y= 的圖象交于A(1，4)，B(4，n)兩點，與x軸交于點D，AC⊥x軸，垂足為C.
(1)求反比例函數(shù)的解析式及D點的坐標(biāo);
(2)點P是線段AD的中點，點E，F(xiàn)分別從C，D兩點同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CA，DC運動，到點A，C時停止運動，設(shè)運動的時間為t(s).
?、偾笞C：PE=PF.
②若△PEF的面積為S，求S的最小值.
【解答】(1)解：把點A(1，4)代入y= 得：k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y= ;
把點B(4，n)代入得：n=1，
∴B(4，1)
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b得： ，
解得：k=﹣1，b=5，
∴直線AB的解析式為：y=﹣x+5，
當(dāng)y=0時，x=5，
∴D點坐標(biāo)為：(5，0);
(2)①證明：∵A(1，4)，C(1，0 )，D(5，0)，AC⊥x軸于C，
∴AC=CD=4，
∴△ACD為等腰直角三角形，
∴∠ADC=45°，
∵P為AD中點，
∴∠ACP=∠DCP=45°，CP=PD，CP⊥AD，
∴∠ADC=∠ACP，
∵點E，F(xiàn)分別從C，D兩點同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CA，DC運動，
∴EC=DF，
在△ECP和△FDP中， ，
∴△ECP≌△FDP(SAS)，
∴PE=PF;
?、诮猓骸摺鱁CP≌△FDP，
∴∠EPC=∠FPD，
∴∠EPF=∠CPD=90°，
∴△PEF為等腰直角三角形，
∴△PEF的面積S= PE2，
∴△PEF的面積最小時，EP最小，
∵當(dāng)PE⊥AC時，PE最小，
此時EP最小值= CD=2，
∴△PEF的面積S的最小值= ×22=2.
試題3、(2015春淮陰區(qū)期末)已知邊長為4的正方形ABCD，頂點A與坐標(biāo)原點重合，一反比例函數(shù)圖象過頂點C，動點P以每秒1個單位速度從點A出發(fā)沿AB方向運動，動點Q同時以每秒4個單位速度從D點出發(fā)沿正方形的邊DC﹣CB﹣BA方向順時針折線運動，當(dāng)點P與點Q相遇時停止運動，設(shè)點P的運動時間為t.
(1)求出該反比例函數(shù)解析式;
(2)連接PD，當(dāng)以點Q和正方形的某兩個頂點組成的三角形和△PAD全等時，求點Q的坐標(biāo);
(3)用含t的代數(shù)式表示以點Q、P、D為頂點的三角形的面積s，并指出相應(yīng)t的取值.
【解答】解：(1)∵正方形ABCD的邊長為4，
∴C的坐標(biāo)為(4，4)，
設(shè)反比例解析式為y=
將C的坐標(biāo)代入解析式得：k=16，則反比例解析式為y= ; (2分)
(2)當(dāng)Q在DC上時，如圖所示：
此時△APD≌△CQB，
∴AP=CQ，即t=4﹣4t，解得t= ，
則DQ=4t= ，即Q1( ，4);
當(dāng)Q在BC邊上時，有兩個位置，如圖所示：
若Q在上邊，則△QCD≌△PAD，
∴AP=QC，即4t﹣4=t，解得t= ，
則QB=8﹣4t= ，此時Q2(4， );
若Q在下邊，則△APD≌△BQA，
則AP=BQ，即8﹣4t=t，解得t= ，
則QB= ，即Q3(4， );
當(dāng)Q在AB邊上時，如圖所示：
此時△APD≌△QBC，
∴AP=BQ，即4t﹣8=t，解得t= ，
因為0≤t≤ ，所以舍去.
綜上所述Q1( ，4); Q2(4， )，Q3(4， )
(3)當(dāng)0
當(dāng)1≤t≤2時，Q在BC上，則BP=4﹣t，CQ=4t﹣4，AP=t，
則s=S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=16﹣ APAD﹣ PBBQ﹣ DCCQ=16﹣ t×4﹣ (4﹣t)【4﹣(4t﹣4)}﹣ ×4(4t﹣4)═﹣2t2+2t+8
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