初中八年級上冊數(shù)學第2章特殊三角形單元測試題
初中八年級上冊數(shù)學第2章特殊三角形單元測試題
做八年級數(shù)學單元測試題前要先審題,保持平常心,考出最高分;以下是學習啦小編為大家整理的初中八年級上冊數(shù)學第2章特殊三角形單元測試題,希望你們喜歡。
初中八年級上冊數(shù)學第2章特殊三角形單元試題
一、選擇題
1.正三角形△ABC的邊長為3,依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1,使AA1=BB1=CC1=1,則△A1B1C1的面積是( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以點C為圓心,CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點D,則AC=( )
A.5 B. C. D.6
3.將一副直角三角尺如圖放置,若∠AOD=20°,則∠BOC的大小為( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,邊AB的垂直平分線DE交AB于點E,交BC于點D,CD=3,則BC的長為( )
A.6 B.6 C.9 D.3
5.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜邊AC,交AB于D,E是垂足,連接CD.若BD=1,則AC的長是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
6.如圖,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分線交AB于點E,垂足為D,CE平分∠ACB.若BE=2,則AE的長為( )
A. B.1 C. D.2
7.如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點M與點C被湖隔開.若測得AM的長為1.2km,則M,C兩點間的距離為( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
8.如圖,一個矩形紙片,剪去部分后得到一個三角形,則圖中∠1+∠2的度數(shù)是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
9.如圖,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足為D,CD=1,則AB的長為( )
A.2 B. C. D.
10.在一個直角三角形中,有一個銳角等于60°,則另一個銳角的度數(shù)是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
11.將四根長度相等的細木條首尾相接,用釘子釘成四邊形ABCD,轉(zhuǎn)動這個四邊形,使它形狀改變,當∠B=90°時,如圖1,測得AC=2,當∠B=60°時,如圖2,AC=( )
A. B.2 C. D.2
12.將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上.另一個頂點在紙帶的另一邊沿上,測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角,如圖,則三角板的最大邊的長為( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
13.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30°,AE=6cm,那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
14.如圖,已知∠AOB=60°,點P在邊OA上,OP=12,點M,N在邊OB上,PM=PN,若MN=2,則OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于點D,E為AB上一點,連接DE,則下列說法錯誤的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
二、填空題
16.由于木質(zhì)衣架沒有柔性,在掛置衣服的時候不太方便操作.小敏設計了一種衣架,在使用時能輕易收攏,然后套進衣服后松開即可.如圖1,衣架桿OA=OB=18cm,若衣架收攏時,∠AOB=60°,如圖2,則此時A,B兩點之間的距離是 cm.
17.在△ABC中,∠B=30°,AB=12,AC=6,則BC= .
18.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于點D,若CD=1,則BD= .
19.如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,對角線AC與BD相交于點O,點E在DC邊的延長線上.若∠CAE=15°,則AE= .
20.在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,若∠AOB=60°,AC=10,則AB= .
初中八年級上冊數(shù)學第2章特殊三角形單元測試題參考答案
一、選擇題(共15小題)
1.正三角形△ABC的邊長為3,依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1,使AA1=BB1=CC1=1,則△A1B1C1的面積是( )
A. B. C. D.
【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】依題意畫出圖形,過點A1作A1D∥BC,交AC于點D,構(gòu)造出邊長為1的小正三角形△AA1D;由AC1=2,AD=1,得點D為AC1中點,因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D= ;同理求出S△CC1B1=S△BB1A1= ;最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得結(jié)果.
【解答】解:依題意畫出圖形,如下圖所示:
過點A1作A1D∥BC,交AC于點D,易知△AA1D是邊長為1的等邊三角形.
又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2,AD=1,
∴點D為AC1的中點,
∴S△AA1C1=2S△AA1D=2× ×12= ;
同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1= ,
∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1= ×32﹣3× = .
故選B.
【點評】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì),難度不大.本題入口較寬,解題方法多種多樣,同學們可以嘗試不同的解題方法.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以點C為圓心,CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點D,則AC=( )
A.5 B. C. D.6
【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直角三角形;勾股定理.
【專題】計算題;壓軸題.
【分析】連結(jié)CD,直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CD=DA=DB,利用半徑相等得到CD=CB=DB,可判斷△CDB為等邊三角形,則∠B=60°,所以∠A=30°,然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系先計算出BC,再計算AC.
【解答】解:連結(jié)CD,如圖,
∵∠C=90°,D為AB的中點,
∴CD=DA=DB,
而CD=CB,
∴CD=CB=DB,
∴△CDB為等邊三角形,
∴∠B=60°,
∴∠A=30°,
∴BC= AB= ×10=5,
∴AC= BC=5 .
故選C.
【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì):三邊都相等的三角形為等邊三角形;等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.
3.將一副直角三角尺如圖放置,若∠AOD=20°,則∠BOC的大小為( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
【考點】直角三角形的性質(zhì).
【分析】利用直角三角形的性質(zhì)以及互余的關(guān)系,進而得出∠COA的度數(shù),即可得出答案.
【解答】解:∵將一副直角三角尺如圖放置,∠AOD=20°,
∴∠COA=90°﹣20°=70°,
∴∠BOC=90°+70°=160°.
故選:B.
【點評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì),得出∠COA的度數(shù)是解題關(guān)鍵.
4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,邊AB的垂直平分線DE交AB于點E,交BC于點D,CD=3,則BC的長為( )
A.6 B.6 C.9 D.3
【考點】含30度角的直角三角形;線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等可得AD=BD,可得∠DAE=30°,易得∠ADC=60°,∠CAD=30°,則AD為∠BAC的角平分線,由角平分線的性質(zhì)得DE=CD=3,再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BD=2DE,得結(jié)果.
【解答】解:∵DE是AB的垂直平分線,
∴AD=BD,
∴∠DAE=∠B=30°,
∴∠ADC=60°,
∴∠CAD=30°,
∴AD為∠BAC的角平分線,
∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴DE=CD=3,
∵∠B=30°,
∴BD=2DE=6,
∴BC=9,
故選C.
【點評】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì),角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì),直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì),熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
5.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜邊AC,交AB于D,E是垂足,連接CD.若BD=1,則AC的長是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
【考點】含30度角的直角三角形;線段垂直平分線的性質(zhì);勾股定理.
【分析】求出∠ACB,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出AD=CD,推出∠ACD=∠A=30°,求出∠DCB,即可求出BD、BC,根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出AC即可.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,
∴∠ACB=60°,
∵DE垂直平分斜邊AC,
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠A=30°,
∴∠DCB=60°﹣30°=30°,
在Rt△DBC中,∠B=90°,∠DCB=30°,BD=1,
∴CD=2BD=2,
由勾股定理得:BC= = ,
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC= ,
∴AC=2BC=2 ,
故選A.
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,含30度角的直角三角形性質(zhì)的應用,解此題的關(guān)鍵是求出BC的長,注意:在直角三角形中,如果有一個角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
6.如圖,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分線交AB于點E,垂足為D,CE平分∠ACB.若BE=2,則AE的長為( )
A. B.1 C. D.2
【考點】含30度角的直角三角形;角平分線的性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE=2,故可得出∠B=∠DCE=30°,再由角平分線定義得出∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°,然后在Rt△CAE中根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出AE= CE=1.
【解答】解:∵在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分線交AB于E,BE=2,
∴BE=CE=2,
∴∠B=∠DCE=30°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°.
在Rt△CAE中,∵∠A=90°,∠ACE=30°,CE=2,
∴AE= CE=1.
故選B.
【點評】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),角平分線定義,三角形內(nèi)角和定理,求出∠A=90°是解答此題的關(guān)鍵.
7.如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點M與點C被湖隔開.若測得AM的長為1.2km,則M,C兩點間的距離為( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
【考點】直角三角形斜邊上的中線.
【專題】應用題.
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,可得MC=AM=1.2km.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M為AB的中點,
∴MC= AB=AM=1.2km.
故選D.
【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì):在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半.理解題意,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解題的關(guān)鍵.
8.如圖,一個矩形紙片,剪去部分后得到一個三角形,則圖中∠1+∠2的度數(shù)是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【考點】直角三角形的性質(zhì).
【專題】常規(guī)題型.
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余解答.
【解答】解:由題意得,剩下的三角形是直角三角形,
所以,∠1+∠2=90°.
故選:C.
【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
9.如圖,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足為D,CD=1,則AB的長為( )
A.2 B. C. D.
【考點】含30度角的直角三角形;勾股定理;等腰直角三角形.
【分析】在Rt△ACD中求出AD,在Rt△CDB中求出BD,繼而可得出AB.
【解答】解:在Rt△ACD中,∠A=45°,CD=1,
則AD=CD=1,
在Rt△CDB中,∠B=30°,CD=1,
則BD= ,
故AB=AD+BD= +1.
故選D.
【點評】本題考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性質(zhì),要求我們熟練掌握這兩種特殊直角三角形的性質(zhì).
10.(2014•海南)在一個直角三角形中,有一個銳角等于60°,則另一個銳角的度數(shù)是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
【考點】直角三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解.
【解答】解:∵直角三角形中,一個銳角等于60°,
∴另一個銳角的度數(shù)=90°﹣60°=30°.
故選:D.
【點評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
11.將四根長度相等的細木條首尾相接,用釘子釘成四邊形ABCD,轉(zhuǎn)動這個四邊形,使它形狀改變,當∠B=90°時,如圖1,測得AC=2,當∠B=60°時,如圖2,AC=( )
A. B.2 C. D.2
【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì);勾股定理的應用;正方形的性質(zhì).
【分析】圖1中根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長,圖2根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可求得.
【解答】解:如圖1,
∵AB=BC=CD=DA,∠B=90°,
∴四邊形ABCD是正方形,
連接AC,則AB2+BC2=AC2,
∴AB=BC= = = ,
如圖2,∠B=60°,連接AC,
∴△ABC為等邊三角形,
∴AC=AB=BC= .
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì),勾股定理以及等邊三角形的判定和性質(zhì),利用勾股定理得出正方形的邊長是關(guān)鍵.
12.將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上.另一個頂點在紙帶的另一邊沿上,測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角,如圖,則三角板的最大邊的長為( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
【考點】含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.
【分析】過另一個頂點C作垂線CD如圖,可得直角三角形,根據(jù)直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半,可求出有45°角的三角板的直角邊,再由等腰直角三角形求出最大邊.
【解答】解:過點C作CD⊥AD,∴CD=3,
在直角三角形ADC中,
∵∠CAD=30°,
∴AC=2CD=2×3=6,
又∵三角板是有45°角的三角板,
∴AB=AC=6,
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72,
∴BC=6 ,
故選:D.
【點評】此題考查的知識點是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形問題,關(guān)鍵是先求得直角邊,再由勾股定理求出最大邊.
13.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30°,AE=6cm,那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
【考點】含30度角的直角三角形.
【專題】常規(guī)題型.
【分析】根據(jù)在直角三角形中,30度所對的直角邊等于斜邊的一半得出AE=2ED,求出ED,再根據(jù)角平分線到兩邊的距離相等得出ED=CE,即可得出CE的值.
【解答】解:∵ED⊥AB,∠A=30°,
∴AE=2ED,
∵AE=6cm,
∴ED=3cm,
∵∠ACB=90°,BE平分∠ABC,
∴ED=CE,
∴CE=3cm;
故選:C.
【點評】此題考查了含30°角的直角三角形,用到的知識點是在直角三角形中,30度所對的直角邊等于斜邊的一半和角平分線的基本性質(zhì),關(guān)鍵是求出ED=CE.
14.如圖,已知∠AOB=60°,點P在邊OA上,OP=12,點M,N在邊OB上,PM=PN,若MN=2,則OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考點】含30度角的直角三角形;等腰三角形的性質(zhì).
【專題】計算題.
【分析】過P作PD⊥OB,交OB于點D,在直角三角形POD中,利用銳角三角函數(shù)定義求出OD的長,再由PM=PN,利用三線合一得到D為MN中點,根據(jù)MN求出MD的長,由OD﹣MD即可求出OM的長.
【解答】解:過P作PD⊥OB,交OB于點D,
在Rt△OPD中,cos60°= = ,OP=12,
∴OD=6,
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,
∴MD=ND= MN=1,
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5.
故選:C.
【點評】此題考查了含30度直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于點D,E為AB上一點,連接DE,則下列說法錯誤的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
【考點】含30度角的直角三角形;角平分線的性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì).
【專題】幾何圖形問題.
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB,求出∠CAD=∠BAD=∠B,推出AD=BD,AD=2CD即可.
【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD=30°,
∴∠CAD=∠BAD=∠B,
∴AD=BD,AD=2CD,
∴BD=2CD,
根據(jù)已知不能推出CD=DE,
即只有D錯誤,選項A、B、C的答案都正確;
故選:D.
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,等腰三角形的判定,含30度角的直角三角形的性質(zhì)的應用,注意:在直角三角形中,如果有一個角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
二、填空題
16.由于木質(zhì)衣架沒有柔性,在掛置衣服的時候不太方便操作.小敏設計了一種衣架,在使用時能輕易收攏,然后套進衣服后松開即可.如圖1,衣架桿OA=OB=18cm,若衣架收攏時,∠AOB=60°,如圖2,則此時A,B兩點之間的距離是 18 cm.
【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì).
【專題】應用題.
【分析】根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行解答即可.
【解答】解:∵OA=OB,∠AOB=60°,
∴△AOB是等邊三角形,
∴AB=OA=OB=18cm,
故答案為:18
【點評】此題考查等邊三角形問題,關(guān)鍵是根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行分析.
17.在△ABC中,∠B=30°,AB=12,AC=6,則BC= 6 .
【考點】含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】由∠B=30°,AB=12,AC=6,利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半易得△ABC是直角三角形,利用勾股定理求出BC的長.
【解答】解:∵∠B=30°,AB=12,AC=6,
∴△ABC是直角三角形,
∴BC= = =6 ,
故答案為:6 .°
【點評】此題考查了含30°直角三角形的性質(zhì),以及勾股定理,熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.
18.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于點D,若CD=1,則BD= 2 .
【考點】含30度角的直角三角形;角平分線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù),根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AD即可得BD.
【解答】解:∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
AD平分∠CAB,
∴∠BAD=30°,
∴BD=AD=2CD=2,
故答案為2.
【點評】本題考查了對含30度角的直角三角形的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)的應用,求出AD的長是解此題的關(guān)鍵.
19.如圖,已知正方形ABCD的邊長為4,對角線AC與BD相交于點O,點E在DC邊的延長線上.若∠CAE=15°,則AE= 8 .
【考點】含30度角的直角三角形;正方形的性質(zhì).
【分析】先由正方形的性質(zhì)可得∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,由∠CAE=15°,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°.然后在Rt△ADE中,根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得到AE=2AD=8.
【解答】解:∵正方形ABCD的邊長為4,對角線AC與BD相交于點O,
∴∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,
∵∠CAE=15°,
∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°.
∵在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠E=30°,
∴AE=2AD=8.
故答案為8.
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì):在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.也考查了正方形的性質(zhì),平行線的性質(zhì).求出∠E=30°是解題的關(guān)鍵.
20.在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,若∠AOB=60°,AC=10,則AB= 5 .
【考點】含30度角的直角三角形;矩形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì),可以得到△AOB是等邊三角形,則可以求得OA的長,進而求得AB的長.
【解答】解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等邊三角形.
∴AB=OA= AC=5,
故答案是:5.
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì),正確理解△AOB是等邊三角形是關(guān)鍵.
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