八年級上數(shù)學(xué)期末測試卷
八年級上數(shù)學(xué)期末測試卷
天道酬勤,曾經(jīng)的每一分付出,必將收到百倍回報(bào)?,F(xiàn)在就到八年級數(shù)學(xué)期末考試,別忘面帶微笑。小編整理了關(guān)于八年級上數(shù)學(xué)期末測試卷,希望對大家有幫助!
八年級上數(shù)學(xué)期末測試題
一、選擇題:本大題共12小題,其中1-8小題每小題3分,9-12小題每小題3分,共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是正確的,請將正確選項(xiàng)代號填入表格中.
1.下列圖案屬于軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列計(jì)算正確的是( )
A.(x3)3=x6 B.a6•a4=a24
C.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=b2c2 D.x6÷x3=x2
3.如圖,為估計(jì)池塘岸邊A、B兩點(diǎn)的距離,小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O,測得OA=8米,OB=6米,A、B間的距離不可能是( )
A.12米 B.10米 C.15米 D.8米
4.若分式 的值為零,則x的值為( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.不存在
5.如圖所示,一個(gè)60°角的三角形紙片,剪去這個(gè)60°角后,得到一個(gè)四邊形,則∠1+∠2的度數(shù)為( )
A.120° B.180° C.240° D.300°
6.若分式 中的x和y都擴(kuò)大2倍,那么分式的值( )
A.擴(kuò)大2倍 B.不變 C.縮小2倍 D.擴(kuò)大4倍
7.點(diǎn)P(a+b,2a﹣b)與點(diǎn)Q(﹣2,﹣3)關(guān)于x軸對稱,則a=( )
A. B. C.﹣2 D.2
8.九年級學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀,一部分學(xué)生騎自行車先走,過了20min后,其余學(xué)生乘汽車出發(fā),結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍,求騎車學(xué)生的速度.設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h,則所列方程正確的是( )
A. = ﹣ B. = ﹣20 C. = + D. = +20
9.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
10.一輛汽車從山南澤當(dāng)飯店出發(fā)開往拉薩布達(dá)拉宮.如果汽車每小時(shí)行使V1千米,則t小時(shí)可以到達(dá),如果汽車每小時(shí)行使V2千米,那么可以提前到達(dá)布達(dá)拉宮的時(shí)間是( )小時(shí).
A. B.
C. D.
11.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=α,則下列結(jié)論正確的是( )
A.2α+∠A=180° B.α+∠A=90° C.2α+∠A=90° D.α+∠A=180°
12.為了求1+2+22+23+…+22011+22012的值,可令S=1+2+22+23+…+22011+22012,則2S=2+22+23+24+…+22012+22013,因此2S﹣S=22013﹣1,所以1+22+23+…+22012=22013﹣1.仿照以上方法計(jì)算1+5+52+53+…+52012的值是( )
A.52013﹣1 B.52013+1 C. D.
二、填空題:本大題共4個(gè)小題,每小題4分,共16分,把答案寫在題中橫線上.
13.分解因式:a4(x﹣y)+(y﹣x)= .
14.代數(shù)式4x2+3mx+9是完全平方式,則m= .
15.若關(guān)于x的分式方程 ﹣1= 無解,則m的值 .
16.如圖,四邊形ABCD中,∠C=40°,∠B=∠D=90°,E、F分別是BC、DC上的一點(diǎn),當(dāng)△AEF的周長最小時(shí),∠EAF的度數(shù)為 .
三、解答題:本大題共6小題,共64分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(1)解分式方程: ;
(2)先化簡再求值: ,其中x=2,y=5.
18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)△ABC,點(diǎn)A(﹣1,3),B(2,0),C(﹣3,﹣1).
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱軸圖形△A1B1C1(不寫畫法);
(2)若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長為2,則△ABC的面積是多少?寫出解答過程.
19.已知:△ABC中,BD、CE分別是AC、AB邊上的高,BQ=AC,點(diǎn)F在CE的延長線上,CF=AB,求證:AF⊥AQ.
20.由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)承包某校校園綠化工程,甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比是3:2,兩隊(duì)共同施工6天可以完成.
(1)求兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天?
(2)此項(xiàng)工程由甲、乙兩隊(duì)共同施工6天完成任務(wù)后,學(xué)校付給他們3000元報(bào)酬,若按各自完成的工程量分配這筆錢,問甲、乙兩隊(duì)各得到多少元?
21.如圖,D是等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn),E是BC延長線上一點(diǎn),CE=DA,連接DE交AC于F,過D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn).證明下列結(jié)論:
(1)AG= AD;
(2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.
22.如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F,使FA⊥AE,F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證:BE=CF;
(2)在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點(diǎn)N,連接ME.
求證:①M(fèi)E⊥BC;②DE=DN.
八年級上數(shù)學(xué)期末測試卷參考答案
一、選擇題:本大題共12小題,其中1-8小題每小題3分,9-12小題每小題3分,共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是正確的,請將正確選項(xiàng)代號填入表格中.
1.下列圖案屬于軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解.
【解答】解:根據(jù)軸對稱圖形的概念知A、B、D都不是軸對稱圖形,只有C是軸對稱圖形.故選C.
【點(diǎn)評】軸對稱圖形的判斷方法:把某個(gè)圖象沿某條直線折疊,如果圖形的兩部分能夠重合,那么這個(gè)是軸對稱圖形.
2.下列計(jì)算正確的是( )
A.(x3)3=x6 B.a6•a4=a24
C.(﹣bc)4÷(﹣bc)2=b2c2 D.x6÷x3=x2
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法;同底數(shù)冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據(jù)冪的乘方,底數(shù)不變指數(shù)相乘;同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變指數(shù)相加;單項(xiàng)式的除法,同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變指數(shù)相減,對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解:A、冪的乘方,應(yīng)底數(shù)不變,指數(shù)相乘,所以(x3)3=x9,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是同底數(shù)冪的乘法,應(yīng)底數(shù)不變,指數(shù)相加,所以a6•a4=a10,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、(﹣bc)4÷(﹣bc)2=(﹣bc)4﹣2=b2c2,正確;
D、是同底數(shù)冪的除法,應(yīng)底數(shù)不變,指數(shù)相減,所以a6÷a3=a3,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
故選C.
【點(diǎn)評】本題綜合考查了整式運(yùn)算的多個(gè)考點(diǎn),包括冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法和除法,需熟練掌握且區(qū)分清楚,才不容易出錯(cuò).
3.如圖,為估計(jì)池塘岸邊A、B兩點(diǎn)的距離,小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O,測得OA=8米,OB=6米,A、B間的距離不可能是( )
A.12米 B.10米 C.15米 D.8米
【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到2
【解答】解:連接AB,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得:
8﹣6
即:2
∴AB的值在2和14之間.
故選C.
【點(diǎn)評】本題主要考查對三角形的三邊關(guān)系定理的理解和掌握,能正確運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系定理是解此題的關(guān)鍵.題型較好.
4.若分式 的值為零,則x的值為( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.不存在
【考點(diǎn)】分式的值為零的條件.
【分析】分式的值為0的條件是:(1)分子為0;(2)分母不為0.兩個(gè)條件需同時(shí)具備,缺一不可.據(jù)此可以解答本題.
【解答】解:由分式 的值為零,得
|x|﹣2=0且x﹣2≠0.
解得x=﹣2,
故選:B.
【點(diǎn)評】此題主要考查了分式值為零的條件,關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.注意:“分母不為零”這個(gè)條件不能少.
5.如圖所示,一個(gè)60°角的三角形紙片,剪去這個(gè)60°角后,得到一個(gè)四邊形,則∠1+∠2的度數(shù)為( )
A.120° B.180° C.240° D.300°
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角;三角形內(nèi)角和定理.
【分析】三角形紙片中,剪去其中一個(gè)60°的角后變成四邊形,則根據(jù)多邊形的內(nèi)角和等于360度即可求得∠1+∠2的度數(shù).
【解答】解:根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得:
四邊形除去∠1,∠2后的兩角的度數(shù)為180°﹣60°=120°,
則根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得:
∠1+∠2=360°﹣120°=240°.
故選C.
【點(diǎn)評】主要考查了三角形及四邊形的內(nèi)角和是360度的實(shí)際運(yùn)用與三角形內(nèi)角和180度之間的關(guān)系.
6.若分式 中的x和y都擴(kuò)大2倍,那么分式的值( )
A.擴(kuò)大2倍 B.不變 C.縮小2倍 D.擴(kuò)大4倍
【考點(diǎn)】分式的基本性質(zhì).
【分析】依題意分別用2x和2y去代換原分式中的x和y,利用分式的基本性質(zhì)化簡即可.
【解答】解:分別用2x和2y去代換原分式中的x和y,得
=2×
可見新分式是原分式的2倍.
故選:A.
【點(diǎn)評】本題考查了分式的基本性質(zhì).解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù),解此類題首先把字母變化后的值代入式子中,然后約分,再與原式比較,最終得出結(jié)論.
7.點(diǎn)P(a+b,2a﹣b)與點(diǎn)Q(﹣2,﹣3)關(guān)于x軸對稱,則a=( )
A. B. C.﹣2 D.2
【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答.
【解答】解:∵點(diǎn)P(a+b,2a﹣b)與點(diǎn)Q(﹣2,﹣3)關(guān)于x軸對稱,
∴ ,
解得:
則a= .
故選:A.
【點(diǎn)評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo),解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律:
(1)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù);
(2)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn),縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)互為相反數(shù);
(3)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn),橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).
8.九年級學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀,一部分學(xué)生騎自行車先走,過了20min后,其余學(xué)生乘汽車出發(fā),結(jié)果他們同時(shí)到達(dá).已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍,求騎車學(xué)生的速度.設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h,則所列方程正確的是( )
A. = ﹣ B. = ﹣20 C. = + D. = +20
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程.
【分析】表示出汽車的速度,然后根據(jù)汽車行駛的時(shí)間等于騎車行駛的時(shí)間減去時(shí)間差列方程即可.
【解答】解:設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h,則汽車的速度為2xkm/h,
由題意得, = + .
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)際問題抽象出分式方程,讀懂題目信息,理解兩種行駛方式的時(shí)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
9.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的5倍,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(n﹣2)•180°與外角和定理列出方程,然后求解即可.
【解答】解:設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形,
根據(jù)題意得,(n﹣2)•180°=5×360°,
解得n=12.
故選C.
【點(diǎn)評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理,多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān),任何多邊形的外角和都是360°.
10.一輛汽車從山南澤當(dāng)飯店出發(fā)開往拉薩布達(dá)拉宮.如果汽車每小時(shí)行使V1千米,則t小時(shí)可以到達(dá),如果汽車每小時(shí)行使V2千米,那么可以提前到達(dá)布達(dá)拉宮的時(shí)間是( )小時(shí).
A. B.
C. D.
【考點(diǎn)】列代數(shù)式(分式).
【專題】壓軸題.
【分析】每小時(shí)行駛v1km,t小時(shí)可以到達(dá),則山南澤當(dāng)飯店與拉薩布達(dá)拉宮兩地之間的距離即可求出,每小時(shí)行駛v2km,則即可求得實(shí)際的速度,可以算出時(shí)間,進(jìn)而求得提前到達(dá)的小時(shí)數(shù).
【解答】解:甲乙兩地之間的距離是v1t,實(shí)際的速度是v2,
則時(shí)間是 ,
則提前到達(dá)的小時(shí)數(shù)為t﹣ = .
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了列代數(shù)式的知識,正確理解路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.
11.已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=α,則下列結(jié)論正確的是( )
A.2α+∠A=180° B.α+∠A=90° C.2α+∠A=90° D.α+∠A=180°
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì).
【專題】壓軸題.
【分析】由AB=AC,根據(jù)等邊對等角,即可得∠B=∠C,又由BF=CD,BD=CE,可證得△BDF≌△CED(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì),即可求得∠B=∠C=α,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理,即可求得答案.
【解答】解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵BF=CD,BD=CE,
∴△BDF≌△CED(SAS),
∴∠BFD=∠EDC,
∵α+∠BDF+∠EDC=180°,
∴α+∠BDF+∠BFD=180°,
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°,
∴∠B=α,
∴∠C=∠B=α,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴2α+∠A=180°.
故選:A.
【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
12.為了求1+2+22+23+…+22011+22012的值,可令S=1+2+22+23+…+22011+22012,則2S=2+22+23+24+…+22012+22013,因此2S﹣S=22013﹣1,所以1+22+23+…+22012=22013﹣1.仿照以上方法計(jì)算1+5+52+53+…+52012的值是( )
A.52013﹣1 B.52013+1 C. D.
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法.
【專題】計(jì)算題;壓軸題.
【分析】根據(jù)題目所給計(jì)算方法,令S=1+5+52+53+…+52012,再兩邊同時(shí)乘以5,求出5S,用5S﹣S,求出4S的值,進(jìn)而求出S的值.
【解答】解:令S=1+5+52+53+…+52012,
則5S=5+52+53+…+52012+52013,
5S﹣S=﹣1+52013,
4S=52013﹣1,
則S= .
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了同底數(shù)冪的乘法,利用錯(cuò)位相減法,消掉相關(guān)值,是解題的關(guān)鍵.
二、填空題:本大題共4個(gè)小題,每小題4分,共16分,把答案寫在題中橫線上.
13.分解因式:a4(x﹣y)+(y﹣x)= (x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1) .
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.
【分析】首先提取公因式(x﹣y),進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出答案.
【解答】解:a4(x﹣y)+(y﹣x)
=(x﹣y)(a4﹣1)
=(x﹣y)(a2+1)(a2﹣1)
=(x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1).
故答案為:(x﹣y)(a2+1)(a﹣1)(a+1).
【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵.
14.代數(shù)式4x2+3mx+9是完全平方式,則m= ±4 .
【考點(diǎn)】完全平方式.
【分析】本題考查完全平方公式的靈活應(yīng)用,這里首末兩項(xiàng)是2x和3的平方,那么中間項(xiàng)為加上或減去2x和3的乘積的2倍.
【解答】解:∵4x2+3mx+9是完全平方式,
∴3mx=±2×3•2x,
解得m=±4.
【點(diǎn)評】本題主要考查完全平方公式,根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù),再根據(jù)乘積二倍項(xiàng)求解.
15.若關(guān)于x的分式方程 ﹣1= 無解,則m的值 ﹣ 或﹣ .
【考點(diǎn)】分式方程的解.
【分析】根據(jù)解分式方程的步驟,可求出分式方程的解,根據(jù)分式方程無解,可得m的值.
【解答】解:方程兩邊同乘x(x﹣3),得x(2m+x)﹣(x﹣3)x=2(x﹣3)
(2m+1)x=﹣6
x=﹣ ,
當(dāng)2m+1=0,方程無解,解得m=﹣ .
x=3時(shí),m=﹣ ,
x=0時(shí),m無解.
故答案為:﹣ 或﹣ .
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的解,把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程,把分式方程的增根代入整式方程,求出答案.
16.如圖,四邊形ABCD中,∠C=40°,∠B=∠D=90°,E、F分別是BC、DC上的一點(diǎn),當(dāng)△AEF的周長最小時(shí),∠EAF的度數(shù)為 100° .
【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題.
【分析】根據(jù)要使△AEF的周長最小,即利用點(diǎn)的對稱,使三角形的三邊在同一直線上,作出A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′,A″,即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°,進(jìn)而得出∠AEF+∠AFE=2(∠AA′E+∠A″),即可得出答案.
【解答】解:作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′,A″,連接A′A″,交BC于E,交CD于F,
則A′A″即為△AEF的周長最小值.作DA延長線AH,
∵∠C=40°,
∴∠DAB=140°,
∴∠HAA′=40°,
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=40°,
∵∠EA′A=∠EAA′,∠FAD=∠A″,
∴∠EAA′+∠A″AF=40°,
∴∠EAF=140°﹣40°=100°,
故答案為:100°.
【點(diǎn)評】本題考查的是軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題,涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識,根據(jù)已知得出E,F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵.
三、解答題:本大題共6小題,共64分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(1)解分式方程: ;
(2)先化簡再求值: ,其中x=2,y=5.
【考點(diǎn)】分式的化簡求值;解分式方程.
【分析】(1)利用解分式方程的步驟與方法求得方程的解即可;
(2)按照先算除法,再算加法的運(yùn)算順序化簡分式,進(jìn)一步代入求得數(shù)值即可.
【解答】解:(1)方程兩邊同乘(x+2)(x﹣2),
得:x(x+2)﹣(x2﹣4)=8,
解得:x=2,
檢驗(yàn):當(dāng)x=2時(shí),(x+2)(x﹣2)=0,
∴x=2不是原方程的解,
∴原分式方程無解.
(2)原式= + •
= ﹣
=
= ,
當(dāng)x=2,y=5時(shí),原式= = .
【點(diǎn)評】此題考查解分式方程與分式的化簡求值,掌握解方程與分式的化簡的步驟與方法是解決問題的關(guān)鍵.
18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)△ABC,點(diǎn)A(﹣1,3),B(2,0),C(﹣3,﹣1).
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸的對稱軸圖形△A1B1C1(不寫畫法);
(2)若網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長為2,則△ABC的面積是多少?寫出解答過程.
【考點(diǎn)】作圖-軸對稱變換.
【分析】(1)作出各點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),再順次連接即可;
(2)利用矩形的面積減去各頂點(diǎn)上三角形的面積即可.
【解答】解:(1)如圖;
(2)∵網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長為2,
∴S△ABC=8×10﹣ ×4×8﹣ ×6×6﹣ ×2×10
=80﹣16﹣18﹣10=36.
答:△ABC的面積是36.
【點(diǎn)評】本題考查的是作圖﹣軸對稱變換,熟知關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵.
19.已知:△ABC中,BD、CE分別是AC、AB邊上的高,BQ=AC,點(diǎn)F在CE的延長線上,CF=AB,求證:AF⊥AQ.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題;壓軸題.
【分析】首先證明出∠ABD=∠ACE,再有條件BQ=AC,CF=AB可得△ABQ≌△ACF,進(jìn)而得到∠F=∠BAQ,然后再根據(jù)∠F+∠FAE=90°,可得∠BAQ+∠FAE═90°,進(jìn)而證出AF⊥AQ.
【解答】證明:∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高,
∴∠ADB=90°,∠AEC=90°,
∴∠ABQ+∠BAD=90°,∠BAC+∠ACE=90°,
∴∠ABD=∠ACE,
在△ABQ和△ACF中 ,
∴△ABQ≌△ACF(SAS),
∴∠F=∠BAQ,
∵∠F+∠FAE=90°,
∴∠BAQ+∠FAE═90°,
∴AF⊥AQ.
【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法,以及全等三角形的性質(zhì)定理.
20.由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)承包某校校園綠化工程,甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比是3:2,兩隊(duì)共同施工6天可以完成.
(1)求兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天?
(2)此項(xiàng)工程由甲、乙兩隊(duì)共同施工6天完成任務(wù)后,學(xué)校付給他們3000元報(bào)酬,若按各自完成的工程量分配這筆錢,問甲、乙兩隊(duì)各得到多少元?
【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)首先表示出兩工程隊(duì)完成需要的時(shí)間,進(jìn)而利用總工作量為1得出等式求出答案;
(2)根據(jù)(1)中所求,進(jìn)而利用兩隊(duì)完成的工作量求出答案.
【解答】解:(1)設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天,則乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需 x天,由題意得:
+ =1
解得:x=15,
經(jīng)檢驗(yàn),x=15是原方程的解,
答:甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需15天,乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需15× =10(天).
(2)甲隊(duì)所得報(bào)酬:3000× ×6=1200(元),
乙隊(duì)所得報(bào)酬:3000× ×6=1800(元)
答:甲隊(duì)得到1200元,乙隊(duì)得到1800元.
【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用,根據(jù)題意利用總共量為1得出等式是解題關(guān)鍵.
21.如圖,D是等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn),E是BC延長線上一點(diǎn),CE=DA,連接DE交AC于F,過D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn).證明下列結(jié)論:
(1)AG= AD;
(2)DF=EF;
(3)S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);含30度角的直角三角形.
【專題】壓軸題.
【分析】(1)由等邊△ABC,DG⊥AC,可求得∠AGD=90°,∠ADG=30°,然后根據(jù)直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,即可證得AG= AD;
(2)首先過點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H,易證得△ADH是等邊三角形,又由CE=DA,可利用AAS證得△DHF≌△ECF,繼而可得DF=EF;
(3)由△ABC是等邊三角形,DG⊥AC,可得AG=GH,即可得S△ADG=S△HDG,又由△DHF≌△ECF,即可證得S△DGF=S△ADG+S△ECF.
【解答】證明:(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=60°,
∵DG⊥AC,
∴∠AGD=90°,∠ADG=30°,
∴AG= AD;
(2)過點(diǎn)D作DH∥BC交AC于點(diǎn)H,
∴∠ADH=∠B,∠AHD=∠ACB,∠FDH=∠E,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠ACB=∠A=60°,
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°,
∴△ADH是等邊三角形,
∴DH=AD,
∵AD=CE,
∴DH=CE,
在△DHF和△ECF中,
,
∴△DHF≌△ECF(AAS),
∴DF=EF;
(3)∵△ABC是等邊三角形,DG⊥AC,
∴AG=GH,
∴S△ADG=S△HDG,
∵△DHF≌△ECF,
∴S△DHF=S△ECF,
∴S△DGF=S△DGH+S△DHF=S△ADG+S△ECF.
【點(diǎn)評】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°直角三角形的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
22.如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于點(diǎn)E.在△ABC外有一點(diǎn)F,使FA⊥AE,F(xiàn)C⊥BC.
(1)求證:BE=CF;
(2)在AB上取一點(diǎn)M,使BM=2DE,連接MC,交AD于點(diǎn)N,連接ME.
求證:①M(fèi)E⊥BC;②DE=DN.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì);等腰直角三角形.
【專題】證明題;幾何綜合題.
【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠B=∠ACB=45°,再求出∠ACF=45°,從而得到∠B=∠ACF,根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF,然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可;
(2)①過點(diǎn)E作EH⊥AB于H,求出△BEH是等腰直角三角形,然后求出HE=BH,再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE,然后求出HE=HM,從而得到△HEM是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可;
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°,根據(jù)等角對等邊可得AC=CE,再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°,從而求出∠DAE=∠ECM,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD,再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可.
【解答】證明:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∵FC⊥BC,
∴∠BCF=90°,
∴∠ACF=90°﹣45°=45°,
∴∠B=∠ACF,
∵∠BAC=90°,F(xiàn)A⊥AE,
∴∠BAE+∠CAE=90°,
∠CAF+∠CAE=90°,
∴∠BAE=∠CAF,
在△ABE和△ACF中,
,
∴△ABE≌△ACF(ASA),
∴BE=CF;
(2)①如圖,過點(diǎn)E作EH⊥AB于H,則△BEH是等腰直角三角形,
∴HE=BH,∠BEH=45°,
∵AE平分∠BAD,AD⊥BC,
∴DE=HE,
∴DE=BH=HE,
∵BM=2DE,
∴HE=HM,
∴△HEM是等腰直角三角形,
∴∠MEH=45°,
∴∠BEM=45°+45°=90°,
∴ME⊥BC;
?、谟深}意得,∠CAE=45°+ ×45°=67.5°,
∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,
∴∠CAE=∠CEA=67.5°,
∴AC=CE,
在Rt△ACM和Rt△ECM中
, ,
∴Rt△ACM≌Rt△ECM(HL),
∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°,
又∵∠DAE= ×45°=22.5°,
∴∠DAE=∠ECM,
∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,
∴AD=CD= BC,
在△ADE和△CDN中,
,
∴△ADE≌△CDN(ASA),
∴DE=DN.
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵,難點(diǎn)在于最后一問根據(jù)角的度數(shù)得到相等的角.
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