八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)期中測試題
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八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)期中試題
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
1.下列學(xué)習(xí)用具中，不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各組數(shù)作為三角形的邊長，其中不能構(gòu)成直角三角形的是( )
A.6，8，10 B.5，12，13 C.9，40，41 D.7，9，12
3.如果等腰三角形兩邊長是6和3，那么它的周長是( )
A.9 B.12 C.15或12 D.15
4.如圖，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪個(gè)條件不能判定△ABM≌△CDN( )
A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM∥CN D.AM=CN
5.電子鐘鏡子里的像如圖所示，實(shí)際時(shí)間是( )
A.21：10 B.10：21 C.10：51 D.12：01
6.如圖，DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，如果BC=9cm，AB=11cm，則△EBC的周長為
( )
A.9cm B.11cm C.20cm D.31cm
7.在等腰△ABC中，AB=AC，中線BD將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩個(gè)部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長為( )
A.7 B.11 C.7或11 D.7或10
8.已知∠AOB=30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，點(diǎn)P1與點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱，點(diǎn)P2與點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱，則△P1OP2是( )
A.含30°角的直角三角形 B.頂角是30°的等腰三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
二、填空題(本大題共12小題，每小題2分，共24分)
9.等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的大小為50°，則其頂角的大小為__________.
10.如圖，已知B、E、F、C在同一直線上，BF=CE，AF=DE，則添加條件__________，可以判斷△ABF≌△DCE.
11.如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則圖中等腰三角形有__________個(gè).
12.已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AC=4，BC=3，則CD=__________.
13.如圖，由四個(gè)直角邊分別為5和4的全等直角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中陰影部分面積為__________.
14.若直角三角形中，一斜邊比一直角邊大2，且另一直角邊長為6，則斜邊為__________.
15.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD=5，則點(diǎn)D到AB的距離為__________.
16.如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在點(diǎn)C′、D′處，若∠AFE=65°，則∠C′EF=__________度.
17.如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且點(diǎn)A′在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為__________cm.
18.如圖，把Rt△ABC(∠C=90°)折疊，使A、B兩點(diǎn)重合，得到折痕ED，再沿BE折疊，C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，則∠A等于__________度.
19.如圖，∠ACB=90°，E、F為AB上的點(diǎn)，AE=AC，BC=BF，則∠ECF=__________.
20.如圖，△ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，AM平分∠BAC，點(diǎn)D、E分別為AM、AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BD+DE的最小值是__________.
三、解答題(本 大題共有7小題，共52分.把解答過程寫在相對(duì)應(yīng)的位置上，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明，作圖 時(shí)用鉛筆)
21.如圖，已知直線l及其同側(cè)兩點(diǎn)A、B.
(1)在直線l上求一點(diǎn)P，使到A、B兩點(diǎn)距離之和最短;
(2)在直線l上求一點(diǎn)O，使OA=OB.(請(qǐng)找出所有符合條件的點(diǎn)，并簡要說明作法，保留作圖痕跡)
22.如圖，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E;求證：BC=DC.
23.如圖所示，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面積.
24.等邊△ABC和等邊△ADE如圖放置，且B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，連接CD.
求證：∠ACD=60°.
25.如圖，直線a、b相交于點(diǎn)A，C、E分別是直線b、a上兩點(diǎn)且BC⊥a，DE⊥b，點(diǎn)M、N是EC、DB的中點(diǎn).求證：MN⊥BD.
26.如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
(1)求證：△BCE≌△DCF;
(2)若AB=17，AD=9，求AE的長.
27.如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9.
(1)求CD的長為__________.
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接DP.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則當(dāng)t為何值時(shí)，△PDC為等腰三角形?
八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)期中測試題參考答案
一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)
1.下列學(xué)習(xí)用具中，不是軸對(duì)稱圖形的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形沿著某條直線折疊，兩邊能夠重合的圖形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)各選項(xiàng)判斷即可.
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不合題意，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、是軸對(duì)稱圖形，不合題意，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、不是軸對(duì)稱圖形，符合題意，故本選項(xiàng)正確;
D、是軸對(duì)稱圖形，不合題意，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 ;
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸.
2.下列各組數(shù)作為三角形的邊長，其中不能構(gòu)成直角三角形的是( )
A.6，8，10 B.5，12，13 C.9，40，41 D.7，9，12
【考點(diǎn)】勾股數(shù).
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)四個(gè)答案進(jìn)行逐一判斷即可.
【解答】解：A、∵62+82=102=100，∴能構(gòu)成直角三角形;
B、52+122=132=169，∴能構(gòu)成直角三角形;
C、92+402=412=1681，∴能構(gòu)成直角三角形;
D、∵72+92≠122，∴不能構(gòu)成直角三角形.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，即若三角形的三邊符合a2+b2=c2，則此三角形是直角三角形.
3.如果等腰三角形兩邊長是6和3，那么它的周長是( )
A.9 B.12 C.15或12 D.15
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為6和3，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.
【解答】解：當(dāng)腰為3時(shí)，3+3=6，不能構(gòu)成三角形，因此這種情況不成立.
當(dāng)腰為6時(shí)，6﹣3<6<6+3，能構(gòu)成三角形;
此時(shí)等腰三角形的周長為6+6+3=15.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系;題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法.求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去.
4.如圖，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪個(gè)條件不能判定△ABM≌△CDN( )
A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM∥CN D.AM=CN
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【分析】利用三角形全等的條件分別進(jìn)行分析即可.
【解答】解：A、加上∠M=∠N可利用ASA定理證明△ABM≌△CDN，故此選項(xiàng)不合題意;
B、加上AB=CD可利用SAS定理證明△ABM≌△CDN，故此選項(xiàng)不合題意;
C、加上AM∥CN可證明∠A=∠NCB，可利用ASA定理證明△ABM≌△CDN，故此選項(xiàng)不合題意;
D、加上AM=CN不能證明△ABM≌△CDN，故此選項(xiàng)符合題意;
故選：D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.
5.電子鐘鏡子里的像如圖所示，實(shí)際時(shí)間是( )
A.21：10 B.10：21 C.10：51 D.12：01
【考點(diǎn)】鏡面對(duì)稱.
【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱.
【解答】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的圖片與10：51成軸對(duì)稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為10：51.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì).解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧.
6.如圖，DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，如果BC=9cm，AB=11cm，則△EBC的周長為
( )
A.9cm B.11cm C.20cm D.31cm
【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).
【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=CE，故可得出AB=AE+BE=CE+BE，由此即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，BC=9cm，AB=11cm，
∴AE=CE，
∴AB=AE+BE=CE+BE=11cm，
∴△EBC的周長=BC+(CE+BE)=BC+AB=9+11=20cm.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段2垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.
7.在等腰△ABC中，AB=AC，中線BD將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩個(gè)部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長為( )
A.7 B.11 C.7或11 D.7或10
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì);三角形三邊關(guān)系.
【專題】分類討論.
【分析】題中給出了周長關(guān)系，要求底邊長，首先應(yīng)先想到等腰三角形的兩腰相等，尋找問題中的等量關(guān)系，列方程求解，然后結(jié)合三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證答案.
【解答】解：設(shè)等腰三角形的底邊長為x，腰長為y，則根據(jù)題意，
得① 或②
解方程組①得： ，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)能組成三角形;
解方程組②得： ，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理此時(shí)能組成三角形，
即等腰三角形的底邊長是11或7;
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算.學(xué)生在解決本題時(shí)，有的同學(xué)會(huì)審題錯(cuò)誤，以為15，12中包含著中線BD的長，從而無法解決問題，有的同學(xué)會(huì)忽略掉等腰三角形的分情況討論而漏掉其中一種情況;注意：求出的結(jié)果要看看是否符合三角形的三邊關(guān)系定理.故解決本題最好先畫出圖形再作答.
8.已知∠AOB=30°，點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，點(diǎn)P1與點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱，點(diǎn)P2與點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱，則△P1OP2是( )
A.含30°角的直角三角形 B.頂角是30°的等腰三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的判定求解.
【解答】解：∵P為∠AOB內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為P1、P2，
∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴故△P1OP2是等邊三角形.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等.
二、填空題(本大題共12小題，每小題2分，共24 分)
9.等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的大小為50°，則其頂角的大小為50°或80°.
【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】可知有兩種情況(頂角是50°和底角是50°時(shí))，由等邊對(duì)等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù).
【解答】解：如圖所示，△ABC中，AB=AC.
有兩種情況：
?、夙斀?ang;A=50°;
?、诋?dāng)?shù)捉鞘?0°時(shí)，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，
∴這個(gè)等腰三角形的頂角為50°和80°.
故答案為：50°和80°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理的理解和掌握，能對(duì)有的問題正確地進(jìn)行分類討論是解答此題的關(guān)鍵.
10.如圖，已知B、E、F、C在同一直線上，BF=CE，AF=DE，則添加條件AB=DC(或∠AFB=∠DEC)，可以判斷△ABF≌△DCE.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定.
【專題】開放型.
【分析】已知兩組邊對(duì)應(yīng)相等，可再加第三組邊相等或已知兩組邊的夾角相等都可以.
【解答】解：由條件可再添加AB=DC，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE(SSS)，
也可添加∠AFB=∠DEC，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
故答案為：AB=DC(或∠AFB=∠DEC).
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵.
11.如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則圖中等腰三角形有3個(gè).
【考點(diǎn)】等腰三角形的判定;三角形內(nèi)角和定理;角平分線的性質(zhì).
【分析】由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180、角的平分線的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋，注意做到由易到難，不重不漏.
【解答】解：∵∠C=72°，∠DBC=36°，∠A=36°，
∴∠ABD=180°﹣72°﹣36°﹣36°=36°=∠A，
∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，
∵根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°=∠C，
∴BD=BC，△BDC是等腰三角形，
∵∠C=∠ABC=72°，
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.
故圖中共3個(gè)等腰三角形.
故答案為：3.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的 性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理;由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.
12.已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AC=4，BC=3，則CD= .
【考點(diǎn)】勾股定理.
【專題】計(jì)算題.
【分析】根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式求得CD即可.
【 解答】解：∵AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵S△ABC= ×3×4= ×5×CD，
∴CD= .
故答案為： .
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形面積的不同表示方法及勾股定理的綜合應(yīng)用.
13.如圖，由四個(gè)直角邊分別為5和4的全等直角三角形拼成“趙爽弦圖”，其中陰影部分面積為1.
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì).
【分析】求出陰影部分的正方形的邊長，即可得到面積.
【解答】解：∵四個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別是5和4，
∴陰影部分的正方形的邊長為5﹣4=1，
∴陰影部分面積為1×1=1.
故答案為：1.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“趙爽弦圖”，正方形的面積，熟悉“趙爽弦圖”中小正方形的邊長等于四個(gè)全等的直角三角形中兩直角邊的差是解題的關(guān)鍵.
14.若直角三角形中，一斜邊比一直角邊大2，且另一直角邊長為6，則斜邊為10.
【考點(diǎn)】勾股定理.
【專題】探究型.
【分析】設(shè)一條直角邊為a，則斜邊為a+2，再根據(jù)勾股定理求出a的值即可.
【解答】解：設(shè)一條直角邊為a，則斜邊為a+2，
∵另一直角邊長為6，
∴(a+2)2=a2+62，解得a=8，
∴a+2=8+2=10.
故答案為：10.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，根據(jù)題意設(shè)出直角三角形的斜邊及直角邊的長是解答此題的關(guān)鍵.
15.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD=5，則點(diǎn)D到AB的距離為5.
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).
【分析】直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論.
【解答】解：過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE即為所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，
∴CD=DE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)，
∵CD=5，
∴DE=5.
故答案為：5.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.
16 .如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在點(diǎn)C′、D′處，若∠AFE=65°，則∠C′EF=65度.
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題).
【專題】應(yīng)用題;壓軸題.
【分析】利用矩形ABCD可知，AD∥BC，所以∠FEC=∠AFE=65°，又因?yàn)檠谽F折疊，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠C的度數(shù).
【解答】解：∵AD∥BC
∴∠FEC=∠AFE=65°
又∵沿EF折疊
∴∠C′EF=∠FEC=65°.
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了：①折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等;②平行線的性質(zhì)求解.
17.如圖，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且點(diǎn)A′在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為3cm.
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);軸對(duì)稱的性質(zhì).
【分析】由題意得AE=A′E，AD=A′D，故陰影部分的周長可以轉(zhuǎn)化為三角形ABC的周長.
【解答】解：將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，
所以AD=A′D，AE=A′E.
則陰影部分圖形的周長等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=3cm.
故答案為：3.
【點(diǎn)評(píng)】折疊問題的實(shí)質(zhì)是“軸對(duì)稱”，解題關(guān)鍵是找出經(jīng)軸對(duì)稱變換所得的等量關(guān)系.
18.如圖，把Rt△ABC(∠C=90°)折疊，使A、B兩點(diǎn)重合，得到折痕ED，再沿BE折疊，C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，則∠A等于30度.
【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);銳角三角函數(shù)的定義.
【分析】由折疊的性質(zhì)知，AD=BD=BC，可求得sinA= ，所以可得∠A=30°.
【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得AD=BD=BC.
∴sinA=BC：AB= ，
∴∠A=30°.
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了：①折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等;②正弦的概念.熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.
19.如圖，∠ACB=90°，E、F為AB上的點(diǎn)，AE=AC，BC=BF，則∠ECF=45°.
【考點(diǎn) 】等腰三角形的性質(zhì).
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：∠AEC=∠ACE= ，∠BFC=∠BCF= ，從而利用F∠EC=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB= + ﹣90°=45°求解.
【解答】解：∵AE=AC，BC=BF，
∴∠AEC=∠ACE= ，∠BFC=∠BCF= ，
∴∠ECF=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB= + ﹣90°=45°，
故答案為：45°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)中的等邊對(duì)等角，難度較小，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)要求的角和直角之間的關(guān)系.
20.如圖，△ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，AM平分∠BAC，點(diǎn)D、E分別為AM、AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BD+DE的最小值是8.
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題.
【分析】過B點(diǎn)作BF⊥AC于點(diǎn)F，BF與AM交于D點(diǎn)，根據(jù)三角形兩邊之和小于第三邊，可知BD+DE的最小值是線段BF的長，根據(jù)勾股定理列出方程組即可求解.
【解答】解：過B點(diǎn)作BF⊥AC于點(diǎn)F，BF與AM交于D點(diǎn).
設(shè)AF=x，則CF=21﹣x，依題意有
，
解得 ， (負(fù)值舍去).
故BD+DE的最小值是8.
故答案為：8.
【點(diǎn)評(píng)】考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，勾股定理和解方程組，理解BD+DE的最小值是AC邊的高的長是解題的難點(diǎn).
三、解答題(本大題共有7小題，共52分.把解答過程寫在相對(duì)應(yīng)的位置上，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明，作圖時(shí)用鉛筆)
21.如圖，已知直線l及其同側(cè)兩點(diǎn)A、B.
(1)在直線l上求一點(diǎn)P，使到A、B兩點(diǎn)距離之和最短;
(2)在直線l上求一點(diǎn)O，使OA=OB.(請(qǐng)找出所有符合條件的點(diǎn)，并簡要說明作法，保留作圖痕跡)
【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問題.
【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則P為所求點(diǎn);
(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)連接AB，在作出線段AB的垂直平分線即可;
【解答】解：(1)作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求的點(diǎn);
(2)連接AB，作AB的中垂線，交l于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求的點(diǎn).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，線段的垂直平分線，主要考查學(xué)生的理解能力和動(dòng)手操作能力，題目比較典型，是一道比較好的題目.
22.如圖，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E;求證：BC=DC.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角邊角”證明△ABC和△EDC全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可.
【解答】證明：∵∠BCE=∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，
即∠ACB=∠ECD，
在△ABC和△EDC中， ，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴BC=DC.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，求出相等的角∠ACB=∠ECD是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).
23.如圖所示，在四邊形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面積為30cm2，DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面積.
【考點(diǎn)】勾股定理.
【分析】利用三角形的面積求出AC的長度，在△ABC中根據(jù)勾股定理逆定理可以得出是直角三角形.面積等于兩直角邊乘積的一半.
【解答】解：在Rt△ACD中，
S△ACD= AC•CD=30，
∵DC=12cm，
∴AC=5cm，
∵AB2+BC2=25，
AC2=52=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴S△ABC= AB.BC= ×3×4=6cm2.
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)面積求出一直角邊的長度，再利用勾股定理逆定理判斷出直角三角形，面積就可以求出了.
24.等邊△ABC和等邊△ADE如圖放置，且B、C、E三點(diǎn)在一條直 線上，連接CD.
求證：∠ACD=60°.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】易證△ABE≌△ACD，即可得出∠B=∠ACD.
【解答】證明：∵等邊△ABC和等邊△ADE，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠B=∠ACD，
∵∠B=60°，
∴∠ACD=60°.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，但也要細(xì)心.
25.如圖，直線a、b相交于點(diǎn)A，C、E分別是直線b、a上兩點(diǎn)且BC⊥a，DE⊥b，點(diǎn)M、N是EC、DB的中點(diǎn).求證：MN⊥BD.
【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線;等腰三角形的判定與性質(zhì).
【專題】證明題.
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM= EC，BM= EC，從而得到DM=BM，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明.
【解答】證明 ：∵BC⊥a，DE⊥b，點(diǎn)M是EC的中點(diǎn)，
∴DM= EC，BM= EC，
∴DM=BM，
∵點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，
∴MN ⊥BD.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.
26.如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
(1)求證：△BCE≌△DCF;
(2)若AB=17，AD=9，求AE的長.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì).
【分析】(1)求出CE=CF，∠F=∠CEB=90°，根據(jù)HL證出兩三角形全等即可.
(2)求出DF=BE，證Rt△AFC≌ Rt△AEC，推出AF=AE，設(shè)DF=BE=x，得出方程17﹣x=9+x，求出x，即可求出答案.
【解答】(1)證明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=C F，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE與Rt△DCF中， ，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL);
(2)解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=BE，
∵∠F=∠CEA=90°，
∴在Rt△AFC和Rt△AEC中
∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL)，
∴AF=AE，
設(shè)DF=BE=x
∵AB=17，AD=9，
∴17﹣x=9+x
解得：x=4
∴AE=17﹣4=13.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL.
27.如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9.
(1)求CD的長為5.
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接DP.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則當(dāng)t為何值時(shí)，△PDC為等腰三角形?
【考點(diǎn)】勾股定理;等腰三角形的判定.
【專題】動(dòng)點(diǎn)型.
【分析】(1)過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，先判斷出四邊形ABED是矩形，在Rt△DCE中根據(jù)勾股定理即可得出CD的長;
(2)過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，由題意得PC=9﹣t，PE=6﹣t.再分CD=CP，CD=PD，PD=PC三種情況進(jìn)行討論.
【解答】解：(1)過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四邊 形ABED是矩形，
∴BE=AD=6，DE=AB=4，
∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，
在Rt△DCE中，CD= = =5.
故答案為：5;
(2)過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，由題意得PC=9﹣t，PE=6﹣t.
當(dāng)CD=CP時(shí)，5=9﹣t，解得t=4;
當(dāng)CD=PD時(shí)，E為PC中點(diǎn)，
∴6﹣t=3，
∴t=3;
當(dāng)PD=PC時(shí)，PD2=PC2，
∴(6﹣t)2+42=(9﹣t)2，
解得t= .
故t的值為t=3或4或 .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.
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