笨人學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的方法,如何打開大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之門
笨人學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的方法,如何打開大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之門
我們總希望學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能夠啟迪心智，使自己變得更加聰明，更具有智慧，更有充分的發(fā)展?jié)摿蛷V闊的發(fā)展前途。小編整理了相關(guān)內(nèi)容，希望能幫助到您。
笨人學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的方法
數(shù)學(xué)是什么?
大部分中國人心目中的數(shù)學(xué)，其實按嚴格的分類，都屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)。一句話：應(yīng)用數(shù)學(xué)是用數(shù)字和公式描述客觀世界的科學(xué)，研究的是客觀世界的數(shù)量性質(zhì)和運動規(guī)律;而數(shù)學(xué)(為了區(qū)分，多稱作“純數(shù)學(xué)”或“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)”)是含有公式的哲學(xué)，研究的是抽象概念的關(guān)系、運動規(guī)律和空間的性質(zhì)，具有很強的主觀性和藝術(shù)性。
古人從獵物分配中總結(jié)了算術(shù)，從土地面積丈量中總結(jié)出基礎(chǔ)的平面幾何，可以說，先有應(yīng)用數(shù)學(xué)后有純數(shù)學(xué)。二者在300年前可以說不分彼此，牛頓、高斯、歐拉等大數(shù)學(xué)家同樣也在應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)等領(lǐng)域取得累累碩果。后來，羅巴切夫斯基和黎曼等建立非歐幾何學(xué)，使得人類第一次脫離生活中直觀的三維空間，思考抽象空間的性質(zhì)，這個事件標志著純數(shù)學(xué)開始自立門戶。而1900年希爾伯特在國際數(shù)學(xué)家大會上的講話，可以說是純數(shù)學(xué)從應(yīng)用數(shù)學(xué)中徹底獨 立出來。二戰(zhàn)后經(jīng)濟復(fù)蘇，數(shù)學(xué)家有了資金支持可以無憂生計，全心全力做研究，數(shù)學(xué)得到長足發(fā)展。
為什么要學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)?
常言道，練武不練功，到老一場空。倚天劍屠龍刀是絕世神兵，但也要拿得動舞得起來才有威力?？催^電影《導(dǎo)火線》的筒子，肯定對里面甄子丹的背摔印象深刻。但如果沒有甄子丹的身體素質(zhì)和協(xié)調(diào)能力，硬用背摔這樣的技能非傷到自己不可。應(yīng)用數(shù)學(xué)的模型的發(fā)明研究者多數(shù)有很深的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)功底，故學(xué)習(xí)者若無一定的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，理解他們的成果就要花費很多的時間和精力，而且難以理解透徹和應(yīng)用到位，更不要提舉一反三了。而目前工業(yè)日新月異，金融界瞬息萬變，相關(guān)的模型和公式也是層出不窮。學(xué)習(xí)者如果不能觸類旁通，一個一個學(xué)是必然學(xué)不完的。
一切高級的數(shù)學(xué)，歸根結(jié)底都是微積分和線性代數(shù)的各種變化，這漱佛數(shù)學(xué)系主任丘成桐和普林斯頓數(shù)學(xué)系前系主任釋天(Elias Stein)經(jīng)常告誡學(xué)生的話。而基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的初級學(xué)科，如數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)，就是對最基本的高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)進行理論上的完善，讓學(xué)習(xí)者不僅僅能學(xué)會現(xiàn)有的套路，更能理解公式定理背后的道理，從而能更好地應(yīng)對各種隨機的情況，甚至于自創(chuàng)招式。故將來計劃學(xué)習(xí)理工科和金融的學(xué)生，除了練好微積分和線性代數(shù)的計算，至少要學(xué)習(xí)一下這兩個領(lǐng)域的證明課程，也就是一年的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。這只是最低要求，物理學(xué)特別是理論方向的必修群論(屬于抽象代數(shù))，量子力學(xué)要學(xué)希爾伯特空間(屬于實變函數(shù))。
另外，有些較為高端的金融數(shù)學(xué)項目中的隨機模型的課程，已經(jīng)要求初步掌握測度論。具體到理工科和金融的名家案例：生物學(xué)家施一公高中數(shù)學(xué)競賽河南省第一名，大學(xué)物理和生物雙學(xué)位中修了大量數(shù)學(xué);哈佛大學(xué)雙聘教授莊小威本科在中科大讀核物理，群論和偏微分方程是必修，出國讀博時數(shù)學(xué)水準不亞于數(shù)學(xué)系畢業(yè)生;文藝復(fù)興基金創(chuàng)始人、30年內(nèi)殺入福布斯前50名的富豪賽猛宅(James Simons)本身就是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)出身。
近一點的例子：北大生命科學(xué)學(xué)院05級本科第一名、現(xiàn)斯坦福博士生高小井;06級本科第一名、現(xiàn)哈佛醫(yī)學(xué)院博士生李鑫，高中都有數(shù)學(xué)奧賽經(jīng)歷，在大學(xué)也一直加強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。MHC生物和化學(xué)雙學(xué)位取得者，目前杜克大學(xué)醫(yī)學(xué)院MD學(xué)生王曉雯，大學(xué)期間做完了著名的《吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》。本科階段學(xué)好數(shù)學(xué)，是理工社科從業(yè)者一生的財富。
如何學(xué)好數(shù)學(xué)?
我的數(shù)學(xué)到底有多爛?做過《五年高考三年模擬》的朋友，都知道高考數(shù)學(xué)北京卷的特點是基礎(chǔ)題特別基礎(chǔ)，最后一道大題用超綱知識+新信息+方法綜合拉開分數(shù)檔次。我當時?？迹涂偸亲詈笠坏李}得一兩分或者全部放棄。我從小強于記憶而不善也不喜歡邏輯推理，故高中數(shù)學(xué)基本上靠題海練習(xí)、熟悉題型、照搬定式來得分。
來到石溪，我學(xué)數(shù)學(xué)有過非常痛苦的經(jīng)歷。其實當時規(guī)劃也有失誤，很多地方失于急躁冒進，不然，完全可以不那么累而且學(xué)得更好。歐美有很多數(shù)學(xué)天才寫過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)心得，但鑒于他們起點太高，學(xué)習(xí)節(jié)奏可以很快，故方法未必適合大家。我的方法可以說是零起點的，目的是幫助像我一樣沒搞過競賽的理科生以及文科生搞定美國大學(xué)的數(shù)學(xué)系要求，以在未來的職業(yè)競爭中，數(shù)學(xué)方面不至于拖累自己甚至領(lǐng)先身邊人。那么如何學(xué)好數(shù)學(xué)?看我細細道來：
第一，要具備不卑不亢的心態(tài)
數(shù)學(xué)并非難，只是它的表述體系和思維要求，對于多數(shù)中國學(xué)生比較陌生。要把它當作全新的東西來認識，就跟學(xué)習(xí)一門新語言一樣。以前自己學(xué)的東西，包括高中知識和AP數(shù)學(xué)等，記住概念即可，思維推導(dǎo)不要沿用。然后嚴格按照老師講的思維方式，不厭其煩的推導(dǎo)和證明，慢慢一回生二回熟。幾年前華人數(shù)學(xué)天才陶哲軒給UCLA本科生講Honor Analysis(榮譽數(shù)學(xué)分析)的時候，上來進度非常慢，前一個月都在證明皮亞諾公理、集合論和基本的映射理論，但后來可以越學(xué)越快，而且學(xué)生越學(xué)越Hi。拳不離手，曲不離口，學(xué)語言要勤動口和動筆，學(xué)數(shù)學(xué)也要沒事常動腦。
就算文科生一樣可以學(xué)好數(shù)學(xué)：20世紀俄羅斯數(shù)學(xué)學(xué)派掌門人、莫斯科國立大學(xué)數(shù)學(xué)系主任柯莫高(Kolmogorov,又譯柯爾莫格洛夫)大一是讀歷史的。美國人魏愛華(Edward Witten)更奇葩，本科四年讀的都是歷史和語言學(xué)，博士申請UWM的經(jīng)濟學(xué)博士，讀了半年退學(xué)，自修數(shù)學(xué)和物理,23歲考進Princeton，碩轉(zhuǎn)博再同時搞數(shù)學(xué)和物理。16年后，他站在菲爾茲獎的領(lǐng)獎臺上。
我說過了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)其實是哲學(xué)，而哲學(xué)算文科還是理科都有道理。另一方面，國內(nèi)就算奧賽摘金奪銀，到美國也要扎扎實實的學(xué)。因為奧賽國際金牌在歐美的精英面前多數(shù)是渣：俄羅斯蓋芳德(Gelfand)15歲讀完代數(shù)幾何教父高探蝶(Grothendieck)的名著EGA(代數(shù)幾何原理)，這套書讓北大博士去讀都夠嗆。我們石溪的米糯教授本科大一在《數(shù)學(xué)年鑒》上發(fā)論文，這是數(shù)學(xué)界最高學(xué)術(shù)期刊，每年中國大陸都很難有一篇文章發(fā)表。
這里特別要說一下美國數(shù)學(xué)教學(xué)的二段教學(xué)法：不同于俄羅斯和中國上來就是帶證明的數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)，美國的教學(xué)更為親民：上來先是微積分和不帶證明的線性代數(shù)，內(nèi)容比較簡單，作業(yè)和考試很多中國學(xué)生可以依靠高中基礎(chǔ)秒殺之。但不少人練習(xí)不夠，很多知識沒搞透，方法技巧也不夠熟練。然后到了第二段，數(shù)分和高代一開，很多人欲哭無淚。這就要求第一階段，哪怕覺得這些題再傻，一本書一道不落地做完是很有必要的。 然后第二段就要細讀書，多問老師。在美國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)能學(xué)好的中國人，要么是自己天才，要么就把教授辦公室的椅子坐穿。
第二，保證數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時間
要是天才并且喜歡數(shù)學(xué)，那你自然會給數(shù)學(xué)大量時間。如果是為了將來勝任其他領(lǐng)域而學(xué)數(shù)學(xué)，要記住大一大二對于打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是最寶貴的。所以，建議每天先完成其他學(xué)科的作業(yè)，然后把大塊時間分配給數(shù)學(xué)的看書做題細琢磨。
我目前主要是修各種數(shù)學(xué)課和一門應(yīng)用數(shù)學(xué)的概率論，每天時間大體是這樣分割的：睡覺6小時，吃飯包括飯后的休息2小時，健身和洗澡2小時，交通1小時，個人愛好1小時(抄抄四書五經(jīng)，讀讀文藝的歌詞，主要是墨明棋妙的還有林夕的)，機動時間1小時，剩下11小時是聽課和課下學(xué)習(xí)。周末多用兩小時坐校車去買個菜，路上一直思考，也相當于最終學(xué)習(xí)10小時。
誰說數(shù)學(xué)天才每天悠哉游哉?那么最年輕的菲爾茲獎得主，27歲得獎的賽赫(Jean-Pierre Serre)夠天才了吧?他自述道：習(xí)慣帶著數(shù)學(xué)題入夢，醒來往往有思路。故我用最愛的《紅樓夢》第一回作為他的雅號：“夢幻通靈”賽赫(與“造化陰陽”高探蝶，“迷津慈航”艾抵涯(Sir Michael Atiyah，英國皇家學(xué)會會長，敕封爵士)并列20世紀世界第一的數(shù)學(xué)家)。數(shù)學(xué)多好算好?別說拿A，滿分都是不夠的。一本書讀完，知識和方法不超綱的題目要難不住你(by“現(xiàn)代微分幾何之父”陳省身)。一本書讀完，同一領(lǐng)域下一階段的書要能自通30%(by菲爾茲獎得主Curtis McMullen的導(dǎo)師Dennis Sullivan，石溪數(shù)學(xué)四大導(dǎo)師之蘇立文)。校內(nèi)傳的什么每天學(xué)習(xí)八小時那是給別的學(xué)科的。每天八小時想學(xué)好數(shù)學(xué)?做夢!
第三，學(xué)會科學(xué)的思維方法
(1)數(shù)學(xué)思維的三個方面
任何數(shù)學(xué)的定義、定理說透了也就三部分：
第一是它本身的文字和(或)符號、 公式內(nèi)容;
第二是它在數(shù)學(xué)知識體系中的位置，與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯關(guān)系，包括由什么可以推出來該定義或定理，它又可以(與其它定理一起)推出些什么;
第三是它所涉及的范疇有什么具體實例(比如循環(huán)群就有旋轉(zhuǎn)圖形、整數(shù)加群和同余模加群等例子)，這些例子又有何作用，能否在數(shù)學(xué)中或數(shù)學(xué)外(典型的如幾何和物理)取得應(yīng)用。
這就分別是數(shù)學(xué)對象的本體論、方法論和目的論?？履哒f：“的確學(xué)生對數(shù)學(xué)的適應(yīng)性存在差異，這種適應(yīng)性表現(xiàn)在：
1、算法能力，也就是對復(fù)雜式子作高明的變形，以解決標準方法解決不了的問題的能力。
2、幾何直觀的能力，對于抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫一樣表達出來，并進行思考的能力。
3、一步一步進行邏輯推理的能力。
這些對應(yīng)的就是掌握數(shù)學(xué)概念的三方面需要什么能力。提高算法能力最好多做題，幾何直觀除了做題還要平時多留意，多聯(lián)系生活實際;邏輯推理這個往往是中國學(xué)生的弱項，畢竟我們母語的方塊字二維畫面性遠遠超過西方拼音文字，而一維線形(邏輯鏈的內(nèi)在屬性)卻不足。漢字個個如畫，橫豎左右寫均可，而西方拼音文字就得一條路從左往右，上下寫都夠嗆。故邏輯推理要特別練習(xí)。練習(xí)邏輯推理的方法關(guān)鍵在定理的證明，下面會詳述。
(2)如何課前預(yù)習(xí)
一開始微積分可以多做一點，而數(shù)分和高代等帶證明的預(yù)習(xí)下一節(jié)課內(nèi)容即可。先回顧上堂課所學(xué)知識，再看新章節(jié)內(nèi)容：先略讀本章節(jié)，看清有幾個定義(Definition)，幾個定理(Theorem)和引理(Lemma)，有哪些例子(Example)和注釋(Remark)。如果把數(shù)學(xué)比作一門語言，定義就是名詞，定理和引理是句子，而例子和注釋相當于古文經(jīng)典中的注和疏。定義一定要自己品味，比較長的拆開句子成分慢慢看，不行就抄。日本第一個菲爾茲獎小平邦彥大學(xué)時抄過整本Van de Warden的代數(shù)，咱們抄書不丟人。 定義要么是全新的，這個不急著理解，往后看看;要么是基于以前內(nèi)容的，這個不妨回顧一下相關(guān)內(nèi)容再繼續(xù)看。
遇到定理就要注意，課本的證明不要先看，自己理解定理內(nèi)容后，把定理當作習(xí)題徒手證一遍，寫下來，再與課本原文比較，查找二者的不同：自己的證明是不是漏某條件或者把某需要說明的當做顯然了(初學(xué)者常犯錯誤)，是不是有多余的語句，是不是有地方用錯了。凡是不同處，都要重點思考，這樣進步就快了。如果實在想不起來，就看看書本怎么證的。對于自己的不足，要整理到上述公式、邏輯或幾何三個大類中，并提醒自己注意(如國內(nèi)分析教材從羅爾定理證明拉格朗日中值定理，很多人不會把一般的函數(shù)構(gòu)造成符合羅爾定理條件的函數(shù)，這個就牽涉到公式變形能力和邏輯能力)。
引理也是這么證。別小看引理，朗蘭茲猜想中的基本引理之一，吳寶珠證出來就是一個菲爾茲獎。至于例子，也是不要先看，自己看了定理，自己想至少兩個例子，一個是典型的，一個是退化的極限情況(by Halmos，《我要做數(shù)學(xué)家》和《希爾伯特空間習(xí)題集》的作者，芝加哥大學(xué)鼎盛時期和陳省身等共事的數(shù)學(xué)家)。例如高中解析幾何的雙曲線，分母的a^2, b^2當然大于零，可以找出來一個例子。如果其中一項等于零，就退化成兩條直線，這就是退化的極限情況。不要小看退化，這正是跟以前知識的聯(lián)系。自己想了例子，其實潛意識中，注釋的內(nèi)容已經(jīng)過了一遍。然后不必太早做習(xí)題，再回顧一下整個思維過程有沒有需要看課本提示的地方，有沒有自己能看懂但是跟以往慣性思維相悖的地方，有沒有突然頓悟的地方。這都要記下來，上課等老師講到這里時要格外留心。
(3)聽課
美國的數(shù)學(xué)教授基本還是寫黑板，而且不會太快。上課公式一寫幾黑板的那是應(yīng)用數(shù)學(xué)教授，噼噼啪啪打幻燈的在石溪一定不是數(shù)學(xué)或物理教授。 所以，有時間記筆記。但不必全記住，把預(yù)習(xí)的成果調(diào)動起來，老師講的時候跟自己腦中的備份隨時印證并修正。就一個建議，教授不停嘴，學(xué)生不動筆。真正聽好了，上課一字不寫又何妨?課下完全可以輕松補全并注上自己的心得見解。
(4)課下
先整理筆記，一定有自己的見解，全抄老師的對于學(xué)應(yīng)數(shù)是有用的，對于學(xué)數(shù)學(xué)則是浪費時間。數(shù)學(xué)界的師生關(guān)系往往很融洽，但思維上絕對是批判繼承和啟發(fā)繼承，學(xué)我者昌，似我者亡。然后是定義再品味一下，定理和引理自己再證一遍，比較老師的證明、課本的證明和自己當初的證明，這次不僅要能說出哪個好，還要能說出為什么好。
然后是做題了。除了開始的微積分要刷書，帶證明的課，課本做好作業(yè)題就夠了，因為老師選的可能不是經(jīng)典教材(經(jīng)典的往往比較難，很多美國學(xué)生受不了)。但每個題要做精，做完一題回顧自己的思路歷程，并對其中的公式變形、邏輯推理和幾何直觀進行歸類。實在做不出來，畫個記號，改天再看，兩天都做不出來才可以看解答。對于解答中自己想不到的，要特別標注，常?；仡櫋Ｈ缓缶褪沁x一本這一門課比較經(jīng)典的書，按照上文預(yù)習(xí)和做題的路子走一遍。經(jīng)典教材的知識點和思路要自己總結(jié)，每過一兩章節(jié)，找一張大的紙畫下來本章定理的邏輯體系圖。經(jīng)典教材的題目最好都做，做不出來，Office Hour坐穿椅子去。
(5)心理狀態(tài)
很多人開始覺得數(shù)學(xué)難，然后生怕基礎(chǔ)打得不牢，一個定理看半天，看似很認真很投入，其實就算理解了思維也很僵化，而且容易跟不上進度。這就像打羽毛球和練書法，你心里緊張，手抓得太緊，反而發(fā)不出力來，寫的字也不好看。掌心要虛著，身體要保持隨時可以發(fā)力的彈簧狀，擊球時蹬地轉(zhuǎn)體推肩壓臂一套動作一氣呵成，手掌瞬間抓緊最后一次加速，這才能打出林丹那樣硬砸開李宗偉鐵板防御的扣殺。書法所謂揮灑，也是如此。要保持輕微的緊張和激動，有點小期待，隨時能調(diào)動已有知識，并可以多角度觀察新知識，思維能發(fā)散也能迅速收回并集中攻關(guān)。
這種感覺一旦找到，妙不可言。不過重難點也要適當文火慢燉：如果教材中有令自己感到太難的思考，頭一天理解了要標記，第二天要試著不看書回憶。曾任Princeton和University of Wisconsin Madison教授，現(xiàn)坐鎮(zhèn)石溪的微分幾何大家陳秀雄先生在《初遇尤金·卡拉比》中寫道，當年導(dǎo)師卡拉比告訴過他：如果你不能在腦海中重復(fù)整個論證過程，那么它就沒有成為你的一部分。
第四，打造良好的身體素質(zhì)
數(shù)學(xué)是勞心的工作，如果身體素質(zhì)不夠，氣血不足，將直接影響思維質(zhì)量。數(shù)學(xué)牛人幾乎沒有不愛運動的：柯莫高70歲仍冬泳，注意，是莫斯科的冬天!陶哲軒騎山地車，高探蝶養(yǎng)牛(囧)，陳秀雄賣萌(我堅持認為他是自然萌)。要想學(xué)好數(shù)學(xué)，摸爬滾打至少要喜歡一項。這里給男生推薦練習(xí)腹?。菏紫冗@個可以天天練，作為讀書的調(diào)劑(上肢和下肢如果負重，要隔天練才不會受傷);其次腹肌訓(xùn)練能提高軀干供血，這樣在各種環(huán)境(沙發(fā)，椅子，樹上，火車或飛機上)看書都不易出現(xiàn)頭暈或胸悶;最后當然是能吸引妹子。每天推薦訓(xùn)練量：腹肌撕裂者(Abs Ripper)或八分鐘腹肌(8 Min Abs)教程一套(網(wǎng)上有)，配合腿部負重(沙袋就好);負重仰臥起坐50次每組x5組(開始可以20次每組x10組)，負重懸垂舉腿10-30每組x5組，負重俯臥挺身10-20次每組x5組。這對綜合防身也有用：常言到手是兩扇門，全靠腿打人。同樣是低位置的快速踢腿，小腿發(fā)力叫下段踢，腰胯發(fā)力叫碎骨，只有用上腹部和背部的力量，才是令人聞風(fēng)喪膽的“武神強踢”。
最后祝大家都能以高效率學(xué)好數(shù)學(xué)，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程。各路高人歡迎拍磚。
幾個本科課程的經(jīng)典教材：
基礎(chǔ)微積分：Stewart，Thomas，吉米多維奇選一個就可以。吉米可以晚一些，學(xué)數(shù)學(xué)分析時做。
基礎(chǔ)線性代數(shù)：Gilbert Strang的Introduction to Linear Algebra, MIT OCW上有教學(xué)視頻，作者親自講，非常非常適合入門 。
高等代數(shù)(帶證明的線代)：Friedberg的Linear Algebra。不要用那個Linear Algebra Done Right，太粗糙。
抽象代數(shù)：小丫挺(Michael Artin)的Algebra，國內(nèi)張禾瑞的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》很好，畢竟是小丫挺的父親丫挺先生(Emil Artin)的博士生，土豆網(wǎng)上有授課視頻。學(xué)有余力的看Dummit & Foote的Algebra，再牛的挑戰(zhàn)郎射日(Serge Lang)的Algebra。
數(shù)學(xué)分析：基礎(chǔ)一般的，陶哲軒的Analysis I,II很好?；A(chǔ)很好的用蘇聯(lián)卓里奇(Vladimir Zorich)的Mathematical Analysis I,II，這是清華基礎(chǔ)科學(xué)班大一數(shù)分教材。課外想自虐的用Rudin的Principles of Mathematical Analysis，即Baby Rudin。
復(fù)分析：經(jīng)典的多數(shù)用Rudin的Real and Complex Analysis，不過有點小難。
實分析：這個不必看本科生專門的實分析，研究生的可以直接上，畢竟本科分析扎實的話，測度論可以直接看。上一條中Rudin的就好，另外有個Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications by Folland寫的不錯。至于釋天的三卷分析，相當難，慎用。
微分方程：常微分方程很多人推薦Arnold的，不過偏難。偏微分一定要問老師，畢竟涉及的范疇太廣了。
拓撲學(xué)：Munkres的不解釋。如果多元微積分很好，可以用Milnor的那本小冊子(Topology from the Differentiable Viewpoint)看看微分拓撲。
如何打開大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之門
什么是大學(xué)新生所面臨的的最大問題呢?
01
應(yīng)試教育靠加班加點，靠死打硬拼，靠對同一類型的題目反復(fù)操練，要求達到“條件反射”般的敏捷，達到不動腦筋、一看到題目就能做、一做就必對的程度。這樣的訓(xùn)練是很使人疲勞的，也必然很使人倒胃口。但是為了實現(xiàn)考上大學(xué)這一目標，再疲勞，再無趣，也要忍受;而且天天有老師和家長看著你，不忍受也得忍受?，F(xiàn)在考進大學(xué)了，不少人會覺得壯志已酬，人生的目標似乎已經(jīng)達到，又沒有老師和家長盯得緊緊的，課業(yè)表面上也不太重，一些人還可能相當缺乏自制的能力，很容易在一開始處于一種松垮的狀態(tài)，優(yōu)哉游哉一下，甚至沉醉于上網(wǎng)、玩一些無聊的游戲等等。這一放松，時間很快就過去了。等到發(fā)覺大事不好，想要搶救過來就難了。為什么這么說呢?除了一般性的道理之外，更是由數(shù)學(xué)的特點決定的。數(shù)學(xué)這個學(xué)科邏輯性強，整個體系十分嚴謹，一環(huán)扣一環(huán)，前面沒有很好掌握和理解，后面學(xué)習(xí)就會有本質(zhì)上的困難。形象地說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和在食堂里打飯不同，是不能“插隊”的!
這一點，學(xué)生在中學(xué)階段是很難體會的，這不僅因為中學(xué)里學(xué)習(xí)的內(nèi)容相對說來要簡單得多，而且中學(xué)里的課程現(xiàn)在更多是按“知識點”來講授的，很少注意知識之間的聯(lián)系，沒有著重強調(diào)知識之間客觀形成的體系，不少內(nèi)容是相當零亂、分散地出現(xiàn)的，后面講的內(nèi)容和前面講的內(nèi)容之間的關(guān)系顯得不大密切，偶爾“插一下隊”應(yīng)該是沒有問題的。但大學(xué)的數(shù)學(xué)課程有自己嚴密的邏輯體系，再想這樣“插隊”就不可能了。一開始放松，就很難抓得回來，就可能永遠被動下去，甚至一蹶不振。一開始不抓緊，往往就可能輸在起跑線上!為什么我們常?？梢钥吹剑阂恍┲袑W(xué)時代的“龍”，到大學(xué)卻變成“蟲”了呢?!難道不應(yīng)該從他們的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣方面認真找一找原因嗎?!難道不值得引起大家強烈的警惕和注意嗎?!因此，一開始就要提醒大家，一定要有一種緊迫感，對在校的學(xué)習(xí)歲月要加倍的珍惜。一定要要求大家堅持認真、刻苦的學(xué)習(xí)，不能松懈。
有一分勞動，就有一分收獲，這是永恒的真理，學(xué)數(shù)學(xué)更不能例外。將自己的身心獻給數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家，我們的不少老師，面對著豐富多彩、廣闊無垠的數(shù)學(xué)世界，面對著百思不得其解的數(shù)學(xué)課題，面臨著即將取得突破的關(guān)鍵時刻，是沒有星期六、星期天的。他們享受這樣的生活節(jié)奏，感受到生命的充實，深深地為之陶醉，不僅造就了他們的事業(yè)，也為大家樹立了榜樣。要學(xué)好數(shù)學(xué)，不出氣力，玩小聰明，偷工減料，含糊敷衍，都是不行的。一些勤奮學(xué)習(xí)、刻苦鉆研、奮力拼搏的學(xué)生應(yīng)該成為大家的榜樣，大家要認真地向他們學(xué)習(xí)，努力營造一個良好的學(xué)習(xí)氛圍。
02
從中學(xué)到大學(xué)，學(xué)習(xí)要求和學(xué)習(xí)環(huán)境都有了重大的變化，但大家一開始可能沒有感覺，而一旦感覺到了，往往為時已晚。因此，一定要要求新生將自覺地改變自己的學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)習(xí)慣作為開始階段的第一(注意，不是第二、第三，而是第一!)要務(wù)，力爭在轉(zhuǎn)折點處掌握先機，抓住學(xué)習(xí)的主動權(quán)。
對怎樣才算“數(shù)學(xué)學(xué)得好”這個根本性的問題，中學(xué)生中一個相當普遍的看法是：誰題目解得多、解得快，誰就是數(shù)學(xué)好。更有一種“刷題”的說法，不少的人以每天刷了多少題而自豪。據(jù)說一些網(wǎng)站更為在其上刷了多少題建立指標、給以獎勵，等等。如果進了大學(xué)，仍然以此作為“數(shù)學(xué)學(xué)得好”的標準，那就大錯特錯了，也必然對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果造成極大的負面影響。
其實，數(shù)學(xué)是一門重思考與理解的學(xué)科，在入門階段，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞要看是否理解深入、運作熟練及表達明晰這三個方面，這兒所說的運作泛指運算及推理等環(huán)節(jié)，而三者中的關(guān)鍵是要深入的理解。只有深入的理解，對數(shù)學(xué)的概念、方法及結(jié)論，不僅知其然，而且知其所以然，才能掌握數(shù)學(xué)的精神實質(zhì)和思想方法，才能實現(xiàn)運作熟練和表達明晰這樣一些外在層面上的表現(xiàn)。對這一點，習(xí)慣于中學(xué)階段應(yīng)試訓(xùn)練的學(xué)生是很少能有深刻的理解的，他們往往被老師牽著、抱著甚至趕著走，很少在深入理解上下功夫，平時也沒有認真鉆研教材的習(xí)慣，把大量的功夫都用在照搬照抄、反復(fù)操作大量同一類型的習(xí)題上。而如果只滿足于會解題，而不知道為什么這樣做，即使題刷得再多、再快，充其量只能成為一個熟練的解題工匠，是談不上和數(shù)學(xué)真正結(jié)緣的，更是不可能培養(yǎng)自己的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的。
再說，目前中學(xué)里平時做的題(特別是考試中做的題)，大多是選擇題或填充題，簡單地寫上一個答案就可以了。答案盡管是對的，但如果要求從頭到尾將證明或過程寫清楚，往往會暴露出不少的問題，就會發(fā)現(xiàn)要使表達簡明清晰實在是一件很困難的事。別人三言兩語就能搞定的，自己卻啰啰嗦嗦地寫了一大堆，顛三倒四，不得要領(lǐng)，這難道算是學(xué)好了數(shù)學(xué)嗎?這樣的狀態(tài)能適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)生活嗎?能保證自己不會輸在起跑線上嗎?這樣看來，學(xué)生進了大學(xué)，一開始就要求他們并幫助他們自覺地轉(zhuǎn)變思想、轉(zhuǎn)變觀念、轉(zhuǎn)變習(xí)慣，實在非常重要。
03
學(xué)生進入大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)，不免要關(guān)心自己的前途和出路。對此有一個明確的定位，是提高他們學(xué)習(xí)積極性的一個重要的環(huán)節(jié)。當學(xué)生正在開始以數(shù)學(xué)為專業(yè)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，正在跨進數(shù)學(xué)科學(xué)的殿堂、成為一支數(shù)學(xué)新軍的時候，要使他們了解到：他們將要遨游于博大精深而又美輪美奐的數(shù)學(xué)王國，品嘗并探索數(shù)學(xué)科學(xué)的精義和奧秘，欣賞它特有的美感，并努力為之添磚加瓦;同時，還要籍助于數(shù)學(xué)這一既神奇又實用的思路、工具和方法，努力揭示大自然和人類社會的種.種奧秘和規(guī)律，對我們所處的這個世界有更好的了解和認識，進而為國家、為民族、為人類造福。
正因為這樣，一開始就要鼓勵和希望學(xué)生樹立一個遠大的志向，擁有一個美麗的夢想，那就是將數(shù)學(xué)作為自己畢生的事業(yè)，立志將自己培養(yǎng)和造就為一個未來的數(shù)學(xué)家，為數(shù)學(xué)的發(fā)展與進步、為人才的教育與培養(yǎng)、為人類社會的發(fā)展與進步做出自己的建樹和貢獻，也為中國的數(shù)學(xué)增光添彩。拿破侖說過：“不想做將軍的士兵，不是一個好的士兵!”套用一下他的話，我們應(yīng)該也可以說：“不想做數(shù)學(xué)家的學(xué)生，不是數(shù)學(xué)類專業(yè)的一個好學(xué)生!”我們相信，這是不少學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的自覺追求，應(yīng)該給以充分的鼓勵和熱情的支持。
還可能有相當一部分學(xué)生，他們雖然對數(shù)學(xué)有興趣，也深知數(shù)學(xué)的重要性，但希望先打好一個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，將來轉(zhuǎn)入到其他各行各業(yè)發(fā)揮作用。不要認為他們這么想、這么做是離經(jīng)叛道，將他們打入另冊，而應(yīng)該認識到這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個良好的出路和動機。眾多有著良好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和修養(yǎng)的畢業(yè)生進入各行各業(yè)，不僅會從根本上改變這些行業(yè)的面貌，而且對數(shù)學(xué)發(fā)展本身也提供了良好的外部環(huán)境和帶來極大的推動，同樣是值得鼓勵和支持的。
但是，這些學(xué)生盡管將來要進入各行各業(yè)，他們的人生不應(yīng)該僅僅鎖定在找一個高收入的工作這樣功利且低俗的目標上，放棄了對數(shù)學(xué)的熱愛與追求。相反，要使他們懂得，他們和其他人相比的優(yōu)勢不在別的地方，而在他們數(shù)學(xué)上的積淀;他們將來在新的環(huán)境中能不能脫穎而出，靠的也只能是他們在數(shù)學(xué)上的優(yōu)勢，而不是其他!他們將來的著力點，應(yīng)該是在數(shù)學(xué)與其他學(xué)科交叉與融合的結(jié)合部上，這就是現(xiàn)在人們大力提倡的工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。他們的奮斗目標同樣應(yīng)該是成為一個數(shù)學(xué)家，而且是一個真正意義上的工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)家。
總之，盡管剛剛進入大學(xué)的新生對自己的未來可以有各不相同的打算和安排，他們將來也一定會走向四面八方、各行各業(yè)，但條條道路通羅馬，他們都是數(shù)學(xué)類專業(yè)的學(xué)生，他們都需要切實打好自己的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。為此，在一開始就要加強專業(yè)思想的教育，使大家都能熱愛數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)類專業(yè)，出色地完成大學(xué)期間的學(xué)習(xí)任務(wù)。
04
怎樣在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上做到深入理解?剛剛進入大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)的學(xué)生往往是摸不著門道的，大家一定要高度重視這方面的問題，認真改進自己的學(xué)習(xí)方法，決不能放任自流。有些學(xué)生，學(xué)習(xí)積極性是很高的，勁頭來了，胃口很大，總希望學(xué)得更多一些，學(xué)得更快一些。他們選修了很多課程，甚至外加了很多額外的負擔(dān)，把時間排得滿滿的，但效果往往不好，甚至適得其反，越搞越被動。其實，這不是一個學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的正確方法!我在和一些大學(xué)生的談話中，針對他們在學(xué)習(xí)上貪多求快、不求甚解的情況，曾經(jīng)總結(jié)了一個學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“四字訣”。哪四個字呢?少、慢、精、深。
前面已經(jīng)說過，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是要深入的理解，達到精深的地步。而為了達到精深，不能多、快，只能少、慢。要學(xué)好微積分，一本真正好的教材就夠了，用不著像文科那樣博覽群書、一口氣看上好多本。平時的學(xué)習(xí)也要步步為營。一步一個腳印，打下一個據(jù)點就牢固占領(lǐng)一個據(jù)點。這樣，雖然一開始不貪多，但日積月累就會根基扎實地積少成多，不斷擴大自己的知識結(jié)構(gòu)和范圍，實現(xiàn)由少到多的轉(zhuǎn)化。
而只有慢，不片面地追求速度，才能細嚼慢咽，反復(fù)思考，才能深入的理解、透徹的領(lǐng)會，真正掌握數(shù)學(xué)的真諦。我在上大學(xué)的時候，陳建功先生給我們上實變函數(shù)論的課。這門課很難，一堂課下來，真正弄清楚的不太多。我課后要認真地破譯他那本相當濃縮的自編油印講義，改正一些印刷上的錯誤，補充不少證明的細節(jié)和自己的點滴體會，一直到徹底弄懂為止。這樣做，通常要花上二、三倍的時間，可以說是慢到極點。但破譯了這一本“天書”，以后碰到再難的“天書”也不害怕了，這在當時就給我?guī)砹松钋械母惺芎蜆O大的愉悅，而且影響和造就了我的一生。應(yīng)該說，這是我在大學(xué)中收獲最大的一門課程，因為它不僅鍛煉和考驗了我的自學(xué)能力和方法，而且極大地增加了我的信心和勇氣。這不是“快”的功勞，而是“慢”的功勞。精工才能出細活，也才能逐步實現(xiàn)由慢到快的轉(zhuǎn)化。這樣得到的快，才是真快，才是無后顧之憂的快，才真正進入到一個新的境界。
少、慢的目的是要達到精、深，實現(xiàn)由少到多、由慢到快的轉(zhuǎn)化。怎樣達到精、深呢?華羅庚先生提倡的一個讀書方法：由薄到厚，由厚到薄，是很有啟發(fā)性的。首先要由薄到厚，不僅要搞清一些細節(jié)，而且要反復(fù)思考、分析有關(guān)內(nèi)容的關(guān)鍵和重點，抓住論證的核心和要害，了解材料的來龍去脈，讀出自己的體會，讀出書本及教師沒有直接說出來的深刻的，也包括提出自己的問題與困惑，等等。這樣讀書，書自然由薄到厚，認識也逐步走向深入了。這決不是全部，還要在此基礎(chǔ)上進一步抓住問題的本質(zhì)和核心，做到由厚到薄。
真理總是樸素的，本質(zhì)的東西往往是簡明扼要的，到了一定階段，通過認識的升華，就會發(fā)現(xiàn)你所面對的這一大堆東西其實很簡單，三言兩語就可以點出它的本質(zhì)，這就由厚轉(zhuǎn)向了薄。這樣的“薄”，經(jīng)過了否定之否定的過程，已與原來的“薄”有了本質(zhì)的不同，可以說，已經(jīng)在一定程度上達到融會貫通的地步了。應(yīng)該說，數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展本身就一直在經(jīng)歷這個“由薄到厚，由厚到薄”的過程，我們自己對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)又怎能不遵守這一規(guī)律呢?!
當然，要“由薄到厚”，再“由厚到薄”，說說容易，對新入學(xué)的學(xué)生來說，卻完全是一個新的課題，一開始是很不容易做到的，哪怕給他們很多的空余時間，他們可能也不見得會利用。這就需老師認真的啟蒙、指導(dǎo)，將學(xué)生帶進認真思考的大門，這也應(yīng)該是大學(xué)數(shù)學(xué)入學(xué)教育的一個重要的內(nèi)容。
我自己剛上大學(xué)的時候，教材都用有關(guān)蘇聯(lián)教材的中譯本，高等代數(shù)的教材是蘇聯(lián)庫洛什著、柯召翻譯的。在中學(xué)里我們沒有養(yǎng)成認真鉆研教材的習(xí)慣，只要能很快地將題目做出來就行了。到了大學(xué)，由中學(xué)里學(xué)過的二階及三階行列式一下子跳到n階行列式，從定義開始就要求認識上的高度升華，由具體且簡單的代數(shù)運算，進入到抽象而深奧的數(shù)學(xué)思維，其中還出現(xiàn)了置換及關(guān)于啞指標求和這樣一些似乎匪夷所思的概念及運算，中學(xué)里習(xí)以為常、依樣畫葫蘆地解題這一套吃不開了。只有深入的理解，才能熟練的解題;而要深入理解，就離不開認真的閱讀、消化及鉆研教材的內(nèi)容。
然而，蘇聯(lián)的這本教材以及當時很多其他的數(shù)學(xué)教材，和中學(xué)的教材大不一樣。中學(xué)教材寫得很清楚，定理是什么，證明是什么，證完了還要加上證畢二字，看起來一目了然。而那個教材是一口氣寫下來的，一眼看去，不知道哪兒是定理，也不知道證明從哪兒開始，到哪兒結(jié)束，很難看出一個頭緒。教我們高等代數(shù)的楊武之先生很細心，看到了我們的困惑，在課上就開導(dǎo)我們：書上的證明是從“事實上”這樣的句子開始的，“事實上”以前的一段話就是定理，而“事實上”之后的內(nèi)容就是證明了。他的這個啟示，的確起了畫龍點睛的作用，使我們知道了數(shù)學(xué)語言的這種表達方式，一下子就開竅了。這說明從中學(xué)到大學(xué)，除了學(xué)習(xí)內(nèi)容變了，學(xué)習(xí)方法也要變，其中，數(shù)學(xué)的語言及語言習(xí)慣都要跟著改變。
對大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)的新生，首先要幫助他們習(xí)慣于數(shù)學(xué)語言的變化，進入一個新的數(shù)學(xué)類語言環(huán)境。數(shù)學(xué)教材及文獻中的這一類特殊語言實際上還有不少，要盡快幫助學(xué)生適應(yīng)并習(xí)慣它們。例如說，書上寫“顯然”的地方，學(xué)生如果也想當然地認為“顯然”，而不去想一想為什么“顯然”，一下子含糊過去，那實質(zhì)上并沒有真正弄懂。又如，“容易證明”、“容易得到”這些字樣，也是在數(shù)學(xué)教材及文獻中經(jīng)常出現(xiàn)的，說起來“容易”，但往往并非如此。以我自己的寫作經(jīng)驗，碰到并不太難，但真正寫下來卻很有些啰嗦，而且會顯得節(jié)外生枝、喧賓奪主的時候，往往就用上“容易證明”之類的句型，一筆帶過。 這種“偷工減料”，其實是很必要的。但學(xué)生看到“容易證明”之類的話，如果不去認真思索，聽之任之地放過去，實際上往往并沒有真正弄懂，就不可能達到一眼看穿、“容易證明”的境界，反而給這種句型糊弄過去了。又如，“不妨礙一般性，可以假設(shè)”、“同理可得”、“用類似方法可得”等等之類在數(shù)學(xué)教材及文獻中經(jīng)常出現(xiàn)的語言，初學(xué)者也應(yīng)該想清楚，認真思考一下，而不能草率而天真地盲目相信它們，這才能慢慢適應(yīng)數(shù)學(xué)的語言，逐步掌握數(shù)學(xué)的思想方法和精神實質(zhì)。教育學(xué)生認真對待這些“細節(jié)”，是我們啟蒙老師應(yīng)該盡到的責(zé)任。談到數(shù)學(xué)的語言，最經(jīng)典也最常用的莫如微積分中“”，其中文的正確表達應(yīng)為“對于任意給定的，存在，使得…”。這是一個經(jīng)過了千錘百煉的表述方式，數(shù)學(xué)類的學(xué)生應(yīng)該能毫無障礙地表達或書寫出來，決不應(yīng)該似是而非、含糊敷衍。
然而，實際上有不少人，甚至到了碩士生、博士生階段，都未能完整、準確地表述這樣的句子，不免使人遺憾。這個表述中的“任意”和“給定”兩個詞，都是起關(guān)鍵作用的，一個都不能少。事實上，如果沒有“任意”二字，就不能體現(xiàn)“誤差”可以愈取愈小的這一個過程，極限的意義就無從著落，就不可能進入高等數(shù)學(xué)的范疇;但如果沒有“給定”這兩個字，任意的就顯得飄忽不定，不可捉摸，從而無從用初等數(shù)學(xué)的手段或“拐杖”進行具體的估計，來達到所要求的目標。只有同時用上“任意”、“給定”這兩個詞，才能進入到高等數(shù)學(xué)的概念，同時又將一切估計及運算納入初等數(shù)學(xué)熟知的范圍，實現(xiàn)從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化。這一經(jīng)典的數(shù)學(xué)表述，看來咬文嚼字、枯燥無味，但實際上是充滿了辯證法的。我們教高等數(shù)學(xué)的啟蒙老師，作為入學(xué)教育的一部分，在講授這一標準的數(shù)學(xué)表達時，應(yīng)該捅破這一層窗戶紙， 使學(xué)生深入理解它的精神，并準確、熟練地加以應(yīng)用。
對數(shù)學(xué)語言的熟悉和理解，還只是入門的初步。怎樣深入地理解課程的內(nèi)容?怎樣深入了解數(shù)學(xué)定義及定理的?怎樣從正反兩方面分析定理中所加條件之作用?怎樣認識有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論的作用?怎樣揭示不同結(jié)論與方法之間的深刻聯(lián)系?怎樣考慮是否有可能改進或改善已有的結(jié)論?怎樣讀出自己的體會及心得?則更應(yīng)是深入思考的內(nèi)容，也很需啟蒙老師在入學(xué)教育的階段，通過啟發(fā)式的教學(xué)幫助學(xué)生逐步學(xué)習(xí)和適應(yīng)。這是高質(zhì)量數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義，更是對新生的入學(xué)教育不可或缺的內(nèi)容。抓好了這一點，學(xué)生就可順利地跨入高等數(shù)學(xué)的大門，他們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就有望進入一個坦途，至少就不應(yīng)該會遇到不可逾越的困難了。
05
根據(jù)我們在現(xiàn)有中、小學(xué)聽課的實際體會，對老師在課堂上組織的討論，小學(xué)生往往搶著發(fā)言，且聲音洪亮，沒有任何顧慮，氣氛很活躍;初中生則多了一些矜持，沒有那么活躍，聲音也小得多;至于高中生，則顯得格外拘謹，總是小心翼翼，聲音低得有時甚至像蚊子叫?？偟挠∠螅趹?yīng)試教育的大環(huán)境下，一切為了升學(xué)考試，不考的就不學(xué)、也不感興趣，學(xué)生的聰明才智往往被壓縮了，他們的好奇心和求知欲似乎沒有隨著年齡的增加和知識的增長而增長，反而顯得退化了。這樣的心理素質(zhì)和學(xué)習(xí)習(xí)慣，在進入大學(xué)后，無疑會成為一個極大的負擔(dān)和障礙。
根據(jù)培養(yǎng)優(yōu)秀創(chuàng)新人才的要求，一定要鼓勵和啟發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，要推動學(xué)生勇于提問、善于思考，使思維一直處于一種開放的活躍的狀態(tài)。要使學(xué)生明白，不僅要善于學(xué)，更要善于問，要不斷對老師、對書本、也對自己提出種.種問題，而且要問在點子上，問出水平來。以往強調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，固然十分重要，但單單會得解決別人提出的問題，單單會得熟練解題，單單會得證明別人已經(jīng)得到得結(jié)論，還遠遠不夠，還應(yīng)該強調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，使他們逐步具備發(fā)明和創(chuàng)新的潛質(zhì)。
從這個意義上說，一門教材和課程(包括入門階段的教材和課程)，如果給學(xué)生造成一種盡善盡美、天衣無縫的印象，沒有任何缺點，沒有什么不足，使學(xué)生感到?jīng)]有任何思考的余地，只需生吞活剝、死記硬背，恰恰是一個不好的表征，也完全不符合實際的狀況，是一個明顯的誤導(dǎo)。每一門學(xué)科，都有它的獨特優(yōu)勢，有它的拿手好戲，但同時也決不可能十全十美，都必然有它的弱點和軟肋，都有它解決不了或解決不徹底的問題。如果在教材中既講成功的一面，又講不足的一面，既講有用的理論和方法，又講可能面臨的、難以完滿解決的問題，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性只會得到激發(fā)，學(xué)生對教材內(nèi)容的理解只會更深，而創(chuàng)造和探索的愿望更會從他們的內(nèi)心深處迸發(fā)出來，培養(yǎng)優(yōu)秀的創(chuàng)新人才就更有保障和希望了。如果我們的教材不僅向?qū)W生傳授知識，而且能激起學(xué)生求知的渴望和創(chuàng)造的激情，有助于造就未來出色的創(chuàng)新人才，這是多么值得歡欣鼓舞的事啊!對數(shù)學(xué)類新生進行入學(xué)教育，要從一開始就注意到這一點。
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我們總希望學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能夠啟迪心智，使自己變得更加聰明，更具有智慧，更有充分的發(fā)展?jié)摿蛷V闊的發(fā)展前途。因此，在進入大學(xué)一開始，大家就要樹立這樣的觀念：數(shù)學(xué)絕不是一大堆定義、公式、定理和證明的堆積，決不要通過死記硬背，費盡心機地把它綿輸進自己的頭腦，而是要在學(xué)習(xí)中著意注意數(shù)學(xué)最根本的三件事。那三件事呢?
一是數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，是從哪兒來的，又可以到哪兒去?數(shù)學(xué)并不是無源之水、無本之木，它發(fā)展的最根本的源泉是現(xiàn)實世界的實際需要，是有很豐富的現(xiàn)實背景和需求的;而且，有意義的數(shù)學(xué)結(jié)果和，也一定會在現(xiàn)實世界的方方面面得到廣泛的應(yīng)用。不講來龍去脈，就割斷了數(shù)學(xué)與生動活潑的現(xiàn)實生活的血肉聯(lián)系，大家怎么會對數(shù)學(xué)有深入的領(lǐng)悟，怎么會有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的持續(xù)的積極性呢?
二是數(shù)學(xué)的精神實質(zhì)和思想方法，而不僅僅是一些數(shù)學(xué)知識和證明技巧。只講知識，不講精神;只講技巧，不講思想，是實際數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的通病。這樣，大家只能給教師、教材牽著鼻子走，而不可能觸類旁通、真正開竅，不可能學(xué)到數(shù)學(xué)的精髓，是不可能真正成才的。
三是數(shù)學(xué)的人文。數(shù)學(xué)是人類文明的一個重要組成部分和堅實支柱，整個的人類文明史是和數(shù)學(xué)的發(fā)展史交融在一起的。數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，在人類認識世界和改造世界的過程中起著關(guān)鍵的、不可替代的作用。不關(guān)注數(shù)學(xué)文化的功能和作用，不自覺地接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，大家是不可能真正走近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)、并熱愛數(shù)學(xué)的。
抓住了這三點，就抓住了數(shù)學(xué)的靈魂和精髓，就可以起到畫龍點睛的效果，相應(yīng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就會充滿思想和意蘊，變得生動活潑、趣味盎然，大家對數(shù)學(xué)的認識和理解就會大不一樣，學(xué)習(xí)也就會更有成效了。
笨人學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的方法,如何打開大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之門相關(guān)文章：
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