集合的概念集合的定義是什么
集合的概念集合的定義是什么
集合論的基礎(chǔ)是由德國(guó)數(shù)學(xué)家 康托爾在19世紀(jì)70年代奠定的，經(jīng)過(guò)一大批卓越的科學(xué)家半個(gè)世紀(jì)的努力，到20世紀(jì)20年代已確立了其在現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論體系中的基礎(chǔ)地位，可以說(shuō)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個(gè)分支的幾乎所有成果都構(gòu)筑在嚴(yán)格的集合理論上。集合的定義是什么?以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于集合的定義，歡迎大家前來(lái)閱讀!
集合的定義
集合(簡(jiǎn)稱集)是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本概念，它是集合論的研究對(duì)象，集合論的基本理論直到19世紀(jì)才被創(chuàng)立。最簡(jiǎn)單的說(shuō)法，即是在最原始的集合論——樸素集合論中的定義，集合就是“一堆東西”。集合里的“東西”，叫作元素。由一個(gè)或多個(gè)元素所構(gòu)成的叫做集合。若x是集合A的元素，則記作x∈A。集合中的元素有三個(gè)特征：1.確定性(集合中的元素必須是確定的)2.互異性(集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，則a不能等于1)3.無(wú)序性(集合中的元素沒有先后之分。)
集合的概念
集合是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對(duì)象匯總成的集體，這些對(duì)象稱為該集合的 元素。例如全中國(guó)人的集合，它的元素就是每一個(gè)中國(guó)人。我們通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。 若x是集合S的元素，則稱x屬于S，記為x∈S。若y不是集合S的元素，則稱y不屬于S,記為y∉S。一般的我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集。
集合 中不同元素的數(shù)目稱為集合 的 基數(shù)，記作card( )。當(dāng)其為有限大時(shí)，集合 稱為 有限集，反之則為無(wú)限集。
有一類特殊的集合，它不包含任何元素，如 ，我們稱之為 空集，記為 ∅。
設(shè)S,T是兩個(gè)集合，如果S的所有 元素都屬于T ，即 ， 其中符號(hào) 稱為包含，即表示由左邊的 命題可以推出右邊的 命題，則稱S是T的 子集，記為 。顯然，對(duì)任何集合S ，都有 。
如果S是T的一個(gè)子集，即 ，但在T中存在一個(gè) 元素 x不屬于S ，即 ，則稱S是T的一個(gè) 真子集。
如果兩個(gè)集合S和T的元素完全相同，則稱S與T兩個(gè)集合 相等，記為S=T 。顯然我們有 其中符號(hào) 稱為 當(dāng)且僅當(dāng)，表示左邊的 命題與右邊的 命題相互 蘊(yùn)含，即兩個(gè)命題 等價(jià)。
并集定義：由所有屬于集合 或?qū)儆诩?的元素所組成的集合，記作 ∪ (或 ∪ )，讀作“ 并 ”(或“ 并 ”)，即 ∪ ={ | ∈ ,或 ∈ }。并集越并越多。
交集定義：由屬于 且屬于 的相同元素組成的集合，記作A∩B(或 ∩ )，讀作“ 交 ”(或“ 交 ”)，即 ∩ ={ | ∈ ,且 ∈ }。交集越交越少。
若 包含 ，則 ∩ = ， ∪ =
相對(duì)補(bǔ)集定義：由屬于 而不屬于 的元素組成的集合，稱為 關(guān)于 的相對(duì)補(bǔ)集，記作 - 或 \ ，即 - ={ | ∈ ，且 ∉ '}
絕對(duì)補(bǔ)集定義： 關(guān)于全集合 的相對(duì)補(bǔ)集稱作 的絕對(duì)補(bǔ)集，記作 '或∁u( )或~ 。· '= ; ‘=
定義：設(shè)有集合 ，由集合 所有子集組成的 集合，稱為集合 的冪集。
定理：有限集 的 冪集的 基數(shù)等于2的 有限集 的 基數(shù) 次 冪。
數(shù)學(xué)分析中，最常遇到的實(shí)數(shù)集的子集是 區(qū)間。
設(shè)a,b(a
集合表示法
表示集合的方法通常有三種。
列舉法就是將集合的元素逐一列舉出來(lái)的方式。例如，光學(xué)中的三原色可以用集合{紅，綠，藍(lán)}表示;由四個(gè)字母a,b,c,d組成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
列舉法還包括盡管集合的元素?zé)o法一一列舉，但可以將它們的變化規(guī)律表示出來(lái)的情況。如正整數(shù)集 和整數(shù)集 可以分別表示為 和 。
{代表元素|滿足的性質(zhì)}
設(shè)集合S是由具有某種性質(zhì)P的元素全體所構(gòu)成的，則可以采用描述集合中元素公共屬性的方法來(lái)表示集合：S={x|P(x)}
例如，由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x =2}。
而有理數(shù)集 和正實(shí)數(shù)集 則可以分別表示為 和 。
N：非負(fù)整數(shù)集合或 自然數(shù)集合{0,1,2,3,…}
N*或 N+：正整數(shù)集合{1,2,3,…}
Z： 整數(shù)集合{…,-1,0,1,…}
Q： 有理數(shù)集合
Q+：正有理數(shù)集合
Q-：負(fù)有理數(shù)集合
R： 實(shí)數(shù)集合(包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù))
R+：正實(shí)數(shù)集合
R-：負(fù)實(shí)數(shù)集合
C： 復(fù)數(shù)集合
∅：空集合(不含有任何元素的集合稱為空集合，又叫空集)
集合特性
給定一個(gè)集合，任給一個(gè)元素，該元素或者屬于或者不屬于該集合，二者必居其一，不允許有模棱兩可的情況出現(xiàn)。
一個(gè)集合中，任何兩個(gè)元素都認(rèn)為是不相同的，即每個(gè)元素只能出現(xiàn)一次。有時(shí)需要對(duì)同一元素出現(xiàn)多次的情形進(jìn)行刻畫，可以使用 多重集，其中的元素允許出現(xiàn)多次。
一個(gè)集合中，每個(gè)元素的地位都是相同的，元素之間是無(wú)序的。集合上可以定義序關(guān)系，定義了序關(guān)系后，元素之間就可以按照序關(guān)系排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。(參見 序理論)
交換律： ∩ = ∩ ∪ = ∪
結(jié)合律： ∪( ∪ )=(A∪ )∪ ∩( ∩ =( ∩ ∩
分配對(duì)偶律： ∩( ∪ )=( ∩ )∪( ∩ ) ∪( ∩ )=( ∪ )∩( ∪ )
對(duì)偶律：( ∪ )^ = ^ ∩ ^ ( ∩ )^ = ^ ∪ ^
同一律： ∪∅= ∩ =
求補(bǔ)律： ∪ '= ∩ '=∅
對(duì)合律： ''=
等 冪律： ∪ = ∩ =
零一律： ∪ = ∩ =
吸收律： ∪( ∩ )= ∩( ∪ )=
德·摩根律(反演律)：( ∪ )'= '∩ ' ( ∩ )'= '∪ '
德·摩根律：1.集合 與集合 的交集的 補(bǔ)集等于集合 的補(bǔ)集與集合 的補(bǔ)集的 并集; 2.集合 與集合 的并集的 補(bǔ)集等于集合 的補(bǔ)集與集合 的補(bǔ)集的交集。
容斥原理(特殊情況)：
card( ∪ )=card( )+card( )-card( ∩ )
card( ∪ ∪ )=card( )+card( )+card( )-card( ∩ )-card( ∩ )-card( ∩ )+card( ∩ ∩ )
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