復合函數定義域求法
復合函數是數字內的一種函數。以下是學習啦小編為大家整理的關于復合函數定義域以及復合函數定義域求法，歡迎大家前來閱讀!
復合函數定義域
若函數=()的定義域是B,=()的定義域是A,則復合函數=[()]的定義域是
D={|∈A,且()∈B}綜合考慮各部分的x的取值范圍，取他們的交集。
求函數的定義域主要應考慮以下幾點：
?、女敒檎交蚱娲胃綍r，R;
?、飘敒榕即胃綍r，被開方數不小于0(即≥0);
?、钱敒榉质綍r，分母不為0;當分母是偶次根式時，被開方數大于0;
?、犬敒橹笖凳綍r，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0(如，中)。
⑸當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。
⑹分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。
?、擞蓪嶋H問題建立的函數，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變量的要求
⑻對于含參數字母的函數，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，并要注意函數的定義域為非空集合。
?、蛯岛瘮档恼鏀当仨毚笥诹?，底數大于零且不等于1。
?、稳呛瘮抵械那懈詈瘮狄⒁鈱亲兞康南拗啤?/p>
復合函數定義域求法
復合函數及其定義域求法(1)
一、復合函數的定義：設y是u的函數，即y=f(u),u是x的函數，即u=g(x)，且g(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，那么y通過u的聯(lián)系成為x的函數，這個函數稱為由y=f(u)，u=g(x)復合而成的復合函數記作y=f[g(x)],其中u稱為中間變量。
二、對高中復合函數的通解法——綜合分析法
1、解復合函數題的關鍵之一是寫出復合過程
例1：指出下列函數的復合過程。
(1)y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x
解：(1) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2復合而成的。
(2)y=sin3x是由y=sinu,u=3x復合而成的。
(3)∵y=sin3x=(sinx)-3
∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx復合而成的。
2、解復合函數題的關鍵之二是正確理解復合函數的定義。
看下例題：例2：已知f(x+3)的定義域為[1、2],求f(2x-5) 的定義域。
經典誤解1：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3復合而成的。
F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5復合而成的。
由g(x),G(x)得：u2=2x-11 即：y=f(u2),u2=2x-11
∵f(u1)的定義域為[1、2]
∴1≤x﹤2
∴-9≤2x-11﹤-6
即：y=f(u2)的定義域為[-9、-6]
∴f(2x-5)的定義域為[-9、-6]
經典誤解2：解：∵f(x+3)的定義域為[1、2]
∴1≤x+3﹤2
∴-2≤x﹤-1
∴-4≤2x﹤-2
∴-9≤2x-5﹤-7
∴f(2x-5)的定義域為[-9、-7]
注：通過以上兩例誤解可得，解高中復合函數題會出錯主要原因是對復合函數的概念的理解模棱兩可，從定義域中找出“y”通過u的聯(lián)系成為x的函數，這個函數稱為由y=f(u),u=g(x)復合而成的復合函數，記作y=f[g(x)],其中u稱為“中間變量”。從以上誤解中找出解題者易將f(x+3)的定義域理解成(x+3)的取值范圍，從而導致錯誤。而從定義中可以看出u僅僅是中間變量，即u既不是自變量也不是因變量。復合函數的定義域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值范圍，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3復合而成的復合函數，其定義域是x的取值范圍。
正確解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)復合而成的。
f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5復合而成的
∵1≤x1﹤2
∴4≤u1﹤5
∴4≤u2﹤5
∴4≤2x2-5﹤5
∴2≤x2﹤5
∴f(2x-5)的定義域為[2、5]
結論：解高中復合函數題要注意復合函數的分層，即u為第一層，x為第二層，一、二兩層是不可以直接建立關系的，在解題時，一定是同層考慮，不可異層考慮，若異層考慮則會出現經典誤解1與2的情況。
復合函數定義域求法(2)
一、求高中復合函數定義域的題型
題型一：單對單，如：已知f(x)的定義域為[-1,4],求f(x+2)的定義域。
題型二：多對多，如：已知f(x+3)的定義域為[1、2],求f(2x-5)的定義域。
題型三：單對多，如：已知f(x)的定義域為[0、1],求f(2x-1)的定義域。
題型四：多對單，如：已知f(2x-1)的定義域為[0、1],求f(x)的定義域。
注：通解法——綜合分析法的關鍵兩步：
第一步：寫出復合函數的復合過程。
第二步：找出復合函數定義域所真正指代的字母(最為關鍵)
下面用綜合分析法解四個題型
題型一：單對單：
例3：已知f(x)的定義域為[-1、4],求f(x2)的定義域。
第1步：寫出復合函數的復合過程：
f(x2)是由y=f(u),u=x22復合而成的。
(由于要同層考慮，且u與x的取值范圍相同，故可這樣變形)
f(x)是由y=f(u),u=x1復合而成的。
∴f(x)的定義域為[-1、4]
第2步：找出復合函數定義域的真正對應
∴-1≤x1﹤4
即-1≤u﹤4
又∵u=x22
∴-1≤x22﹤4
(x2是所求f(x2)的定義域，此點由定義可找出)
∴-2﹤x2﹤2
∴f(x2)的定義域為(-2,2)
結論：此題中的自變量x1,x2通過u聯(lián)系起來，故可求解。
題型二：多對多：
如例6：已知f(x+3)的定義域為[1、2],求f(2x-5)的定義域。
解析：多對多的求解是比較復雜的，但由解題型三與題型四的結論：
已知 f(x)的定義域,可求出y=f[g(x)]的定義域”
已知y=f[g(x)]的定義域,可求出f(x)的定義域
可以推出f(x)與y=f[g(x)]可以互求。
若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),
同理，已知y1=f(x+3)的定義域，
故,
這里f(x)成為了聯(lián)系y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一個橋梁，
其作用與以上解題中u所充當的作用相同。
所以，在多對多的題型中，可先利用開始給出的復合函數的定義域先求出f(x)，再以f(x)為跳板求出所需求的復合函數的定義域，具體步驟如下：
第一步：寫出復合函數的復合過程:
f(x+3)是由y=f(u)u=x+3復合而成的。
f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5復合而成的。
∴4≤x+3≤5
∴4≤u≤5
設：函數y3=(u),u=x
∴y3=f(x)的定義域為[4、5]
第三步：通過橋梁f(x)進而求出y2=f(2x-5):
f(x) 是由y3=f(u),u=x復合而成的
∵4≤x≤5
∴4≤u≤5
∴4≤2x-5≤5
∴ ≤x2≤5
∴f(2x-5)的定義域為：[5]
小結：實際上，此題也可以u為橋梁求出f(2x-5), 詳參照例2的解法。
題型三：單對多：
例4：已知f(x)的定義域為[0,1],求f(2x-1)的定義域。
第1步：寫出復合函數的復合過程：
f(x)是由y=f(u),u=x1復合而成的。
f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1復合而成.
第2步：找出復合函數定義域的真正對應：
∵0≤x1≤1
∴0≤u≤1
∴0≤2x2-1≤1
∴x2≤1
∴f(2x-1)的定義域為[，1]
結論：由此題的解答過程可以推出：已知f(x)的定義域可求出y=[g(x)]的定義域。
題型四：多對單：
如：例5：已知f(2x-1)的定義域為[0、1],求f(x)的定義域。
第1步：寫出復合函數的復合過程：
f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1復合而成的。
f(x)是由f(u),u=x2復合而成的。
第2步：找出復合函數定義域對應的真正值：
∵0≤x1≤1
∴0≤2x1≤2
∴-1≤2x1-1≤1
∴-1≤u≤1
∴-1≤x2≤1
∴f(x)的定義域為[-1、1]
結論：由此題的解答過程可以推出：已知y=f[g(x)]的定義域可求出f(x)的定義域。
小結：通過觀察題型一、題型三、題型四的解法可以看出，解題的關鍵在于通過u這個橋梁將x1與x2聯(lián)系起來解題。
二、將以上解答過程有機轉化為高中的標準解答模式。
如：例7：已知函數y=f(x)的定義域為[0、1]，求函數y=f(x2+1)的定義域。
解：∵函數f(x2+1)中的x2+1相當于f(x)中的x(即u=x2+1,與u=x)
∴0≤x2+1≤1
∴-1≤x2≤0
∴x=0
∴定義域為{0}
小結：本題解答的實質是以u為橋梁求解。
例8：已知y=f(2x-1)的定義域為[0、1],求函數y=f(x)的定義域。
解：由題意：0≤x≤1(即略去第二步，先找出定義域的真正對象)。
∴-1≤2x-1≤1(即求出u,以u為橋梁求出f(x)
視2x-1為一個整體(即u與u的交換)
則2x-1相關于f(x)中的x(即u與u的交換，
f(x)由y=f(u),u=x復合而成，-1≤u≤1,
∴-1≤x≤1)
∴函數f(x)的定義域為[-1、1]
總結：綜合分析法分了3個步驟
寫出復合函數的復合過程。 找出復合函數定義域所指的代數。 找出解題中的橋梁(u或f(x)可為橋梁)
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