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反三角函數(shù)的定義域是什么

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反三角函數(shù)的定義域是什么

  反三角函數(shù)是一種數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)。反三角函數(shù)并不能狹義的理解為三角函數(shù)的反函數(shù),是個(gè)多值函數(shù)。它是反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x這些函數(shù)的統(tǒng)稱(chēng),各自表示其正弦、余弦、正切、余切為x的角。以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于反三角函數(shù)定義域,歡迎大家前來(lái)閱讀!

  反三角函數(shù)定義域

  y=arcsin(x),定義域[-1,1]

  y=arccos(x),定義域[-1,1]

  y=arctan(x),定義域(-∞,+∞)

  y=arccot(x),定義域(-∞,+∞)

  sin(arcsin x)=x,定義域[-1,1]

  反三角函數(shù)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)

  為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù),將反正弦函數(shù)的值y限在-π/2≤y≤π/2,將y作為反正弦函數(shù)的主值,記為y=arcsin x;相應(yīng)地,反余弦函數(shù)y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函數(shù)y=arctan x的主值限在-π/2

  反三角函數(shù)實(shí)際上并不能叫做函數(shù),因?yàn)樗⒉粷M(mǎn)足一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值的要求,其圖像與其原函數(shù)關(guān)于函數(shù)y=x對(duì)稱(chēng)。其概念首先由歐拉提出,并且首先使用了【arc+函數(shù)名】的形式表示反三角函數(shù),而不是f-1(x)。

  ⑴正弦函數(shù)y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函數(shù),叫做反正弦函數(shù)。arcsinx表示一個(gè)正弦值為x的角,該角的范圍在[-π/2,π/2]區(qū)間內(nèi)?!緢D中紅線(xiàn)】

 ?、朴嘞液瘮?shù)y=cosx在[0,π]上的反函數(shù),叫做反余弦函數(shù)。arccosx表示一個(gè)余弦值為x的角,該角的范圍在[0,π]區(qū)間內(nèi)。【圖中藍(lán)線(xiàn)】

 ?、钦泻瘮?shù)y=tanx在(-π/2,π/2)上的反函數(shù),叫做反正切函數(shù)。arctanx表示一個(gè)正切值為x的角,該角的范圍在(-π/2,π/2)區(qū)間內(nèi)?!緢D中綠線(xiàn)】

  注釋?zhuān)骸緢D的畫(huà)法根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)即:反函數(shù)圖像關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)】

  反三角函數(shù)主要是三個(gè):

  y=arcsin(x),定義域[-1,1],值域[-π/2,π/2]圖象用深紅色線(xiàn)條;

  y=arccos(x),定義域[-1,1],值域[0,π],圖象用深藍(lán)色線(xiàn)條;

  y=arctan(x),定義域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),圖象用淺綠色線(xiàn)條;

  y=arccot(x),定義域(-∞,+∞),值域(0,π),暫無(wú)圖象;

  sin(arcsinx)=x,定義域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx

  證明方法如下:設(shè)arcsin(x)=y,則sin(y)=x,將這兩個(gè)式子代入上式即可得

  其他幾個(gè)用類(lèi)似方法可得

  cos(arccosx)=x,arccos(-x)=π-arccosx

  tan(arctanx)=x,arctan(-x)=-arctanx

  反三角函數(shù)數(shù)學(xué)公式

  反三角函數(shù)其他公式:

  cos(arcsinx)=(1-x^2)^0.5

  arcsin(-x)=-arcsinx

  arccos(-x)=π-arccosx

  arctan(-x)=-arctanx

  arccot(-x)=π-arccotx

  arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

  sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x

  arcsinx=x+x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)+1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1)!!表示雙階乘

  arccosx=π-(x+x^3/(2*3)+(1*3)x^5/(2*4*5)+1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)

  arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……

  舉例

  當(dāng)x∈[-π/2,π/2]有arcsin(sinx)=x

  x∈[0,π],arccos(cosx)=x

  x∈(-π/2,π/2),arctan(tanx)=x

  x∈(0,π),arccot(cotx)=x

  x>0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx類(lèi)似

  若(arctanx+arctany)∈(-π/2,π/2),則arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))

  例如,arcsinχ表示角α,滿(mǎn)足α∈[-π/2,π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β,滿(mǎn)足β∈[0,π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ,滿(mǎn)足φ∈(-π/2,π/2)且tanφ=2

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