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數(shù)學(xué)案例分析范文

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數(shù)學(xué)案例分析范文

  打破傳統(tǒng) 灌輸式 固定教學(xué)模式,數(shù)學(xué)案例教學(xué)法以培養(yǎng)學(xué)生實際能力為核心,提倡教師引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際的生活問題,是值得深入研究并應(yīng)用的新型教育教學(xué)方法。以下是學(xué)習(xí)啦小編分享給大家的關(guān)于數(shù)學(xué)案例分析范文,供大家閱讀!

  數(shù)學(xué)案例分析范文篇1:初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析

  《14.1.1變量》片段

  請同學(xué)們看下列問題

  問題一;汽車以60千米/時的速度勻速行駛,行駛里程為 s 千米,行駛時間為 t 小時。填下面的表。再試用含t的式子表示s。

  t(小時) 1 2 3 4 5

  s(千米)

  師:哪位同學(xué)來填表?

  生1:填好表格中的數(shù)據(jù)。

  師:你怎么算出來的?

  生1:路程=速度×時間

  師:用含t的式子表示s

  生1:s=60t

  師:觀察誰在變,誰沒變?

  生1:路程s、時間t在變,速度沒變。

  師:路程隨時間的變化而變化。

  問題二:每張電影票的售,如果早場售出票150張,日場售出205張,晚場售出310張,三場電影票的票房收入各多少元?若設(shè)一場電影售出票 x 張,票房收入為 y 元,怎樣用含 x 的式子表示 y ?

  師:某同學(xué)你來解答

  生2:早場票房收入為10×150=1500

  日場票房收入為10×205=2050

  晚場票房收入為10×310=3100

  y= 10 x

  師:觀察誰在變,誰沒變?

  生2:x y在變,票價為10元沒變

  師:票房收入隨售出票數(shù)的變化而變化。

  問題三:在一根彈簧的下端掛重物,改變并記錄重物的質(zhì)量,觀察并記錄彈簧長度的變化,探索它們的變化規(guī)律。如果彈簧長原長為10cm,每1千克重物使彈簧伸長0.5cm,怎樣用含重物質(zhì)量x(kg)的式子表示受力后的彈簧長度L(cm)?

  師:某同學(xué)你來解答

  生3:L=10+0.5x。

  師:怎么考慮的?

  生3:每1千克重物使彈簧伸長0.5cm,掛重物質(zhì)量xkg,受力后的彈簧長度0.5x,彈簧長原長為10cm,所以受力后的彈簧長度L=10+0.5x。

  師:非常好,那么誰在變化?

  學(xué)生齊答:x、L在變。

  問題四:要畫一個面積為10的圓,圓的半徑應(yīng)取多少?當圓的面積為20時呢?怎樣用含圓面積s的式子表示圓的半徑r呢?

  過程略

  問題五:用10 m長的繩子圍成長方形,試改變長方形的長度,觀察長方形的面積怎樣變化?記錄不同的長方形的長度值,計算相應(yīng)的長方形面積的值,探索它們的變化規(guī)律。設(shè)長方形的邊長為 x米,面積為S平方米,怎樣用含x的式子表示S?

  過程略

  教師根據(jù)得出的關(guān)系式歸納

  變量:在一個變化過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量為變量。

  常量:在一個變化過程中,數(shù)值始終不變的量為常量。

  分析:1、缺少學(xué)生自主探索、動手實驗的過程,比如問題三、四、五。

  2、這種問答式的講課方式,表面上看教師提出的問題學(xué)生都對答如流,沒有任何障礙,但結(jié)果學(xué)生是否掌握了問題所在,學(xué)生的思維是否被激起?本應(yīng)是學(xué)生發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象、能夠提出的問題、可以總結(jié)的規(guī)律,只是讓個別的學(xué)生來說、甚至是教師包辦代替講出來。得變量、常量概念時,怕學(xué)生不理解又在反復(fù)重復(fù)已得到的規(guī)律。

  3、由于一直是教師在領(lǐng)著學(xué)生走,所以學(xué)生數(shù)學(xué)思考的時間不充分,一些在思維方面的問題沒有暴露出來。比如說,問題四中半徑與面積的關(guān)系表述,實際中可能會有相當一部分學(xué)生表示不出來或表示錯誤;問題三中受力后的彈簧長度是否可以任意伸長等。因此,要給學(xué)生一定的思考時間和思維空間,要減少“講與聽”,增加“說與做”,嘗試“教與評”

  4、教師課堂問題的設(shè)置價值不大,僅僅為本課服務(wù),教師沒有真正理解編者的意圖。以上五個問題是教材提供的素材,五個問題中都含有變量之間的的單值對應(yīng)關(guān)系,通過討論這些問題,不僅可以引出變量與常量的概念,而且也為后面引出變量間的單值對應(yīng)關(guān)系進而學(xué)習(xí)函數(shù)的定義、用函數(shù)觀點看方程(組)與不等式作了鋪墊。變量之間的的單值對應(yīng)關(guān)系,包括變量的取值限制教師沒有講出來。

  修改:1、對于問題一和問題二的解決學(xué)生們有知識基礎(chǔ),可以自行解決,所以教學(xué)中,呈現(xiàn)問題一和問題二安排學(xué)生獨立完成。之后追問:“根據(jù)自己的解題過程,你有什么發(fā)現(xiàn)?能歸納一下嗎?”歸納①有兩個量在變化,有不變的量(數(shù)值)。②一個量變化另一個量隨著在變化。③當一個量取一個確定的值時,另一個量的值隨之確定。④當兩個變化的量中一個量的值確定了,它就是一個一元一次方程。

  2、問題三對于部分學(xué)生在理解上稍有困難,教師可以借助于實物演示,有條件的可以以小組為單位實物操作,在教師的指導(dǎo)下改變并記錄重物的質(zhì)量,觀察并記錄彈簧長度的變化。這樣學(xué)生在動手實驗的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)受力后的彈簧長度L=10+0.5x。此時教師可以追問:“在問題一和問題二中的發(fā)現(xiàn)還有嗎?有新發(fā)現(xiàn)嗎?”意在得出重量m的質(zhì)量應(yīng)該有限制,原因是彈簧的受力是有限度的。

  3、有了問題三的探索過程,問題五完全可以放手讓學(xué)生們以小組為單位、分工合作、獨立完成。驗證發(fā)現(xiàn)、得到新發(fā)現(xiàn)。

  4、可以嘗試讓學(xué)生利用已有的經(jīng)驗編一道題,加強對所總結(jié)的理解。

  世界是運動變化的,函數(shù)是研究運動變化的重要數(shù)學(xué)模型。函數(shù)從數(shù)量的角度反映變化規(guī)律的,而變化規(guī)律表現(xiàn)在變量(自變量與函數(shù))之間的單值對應(yīng)關(guān)系上,即通過數(shù)與形定量地描述這種對應(yīng)關(guān)系。因此,函數(shù)是體現(xiàn)變化與對應(yīng)思想的基本數(shù)學(xué)概念。所以教學(xué)中要加強概念教學(xué),抓住概念的核心內(nèi)涵,借助實際問題情境,由具體到抽象地去認識它,站在數(shù)學(xué)的角度提出問題、解決問題。不能僅僅著眼于具體題目的解題過程,而應(yīng)不斷加深對相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會,從整體上認識問題的本質(zhì)。數(shù)學(xué)思想方法是通過知識的載體來體現(xiàn)的,對于它們的認識需要有一個較長的過程,既需要教材的滲透,也需要教師的點撥,更需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的自身的感受與理解。數(shù)學(xué)思想方法是具體數(shù)學(xué)知識的靈魂,在學(xué)習(xí)的過程中對于學(xué)生的影響往往大于具體的數(shù)學(xué)知識。同時在真實、常態(tài)的課堂教學(xué)中,教師要高效地完成課堂教學(xué)任務(wù),就必須注重對課堂提問的研究,所提的問題必須是有價值的、有啟發(fā)性的、有一定難度的,整個課堂的問題設(shè)計必須遵循循序漸進的原則。

  新課程標準將“學(xué)習(xí)過程”本身作為教學(xué)目標,不是讓它服務(wù)于學(xué)習(xí)結(jié)果,而是希望學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動的過程體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂,了解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義,鍛煉學(xué)生的意志,實現(xiàn)數(shù)學(xué)思考,達到問題解決,提升學(xué)生的情感與態(tài)度。

  數(shù)學(xué)案例分析范文篇2:初中數(shù)學(xué)案例分析

  學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不是對知識的被動接受,而是主動的建構(gòu)過程,因此數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)必須成為自主探究的“建構(gòu)者”。在實際數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,有許多成功的教學(xué)案例,但也有把學(xué)生的自主探究活動泛化、形式化。下面通過實例,談?wù)剬?shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)。

  教學(xué)設(shè)計:

  1 學(xué)習(xí)方式:

  對于用字母表示數(shù)的研究,是初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要的一個環(huán)節(jié)。初中數(shù)學(xué)中的負數(shù)、用字母表示數(shù)這兩個知識點的掌握是極其重要的。它不僅是學(xué)習(xí)后面知識的基礎(chǔ),并且也是對整個小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種總結(jié)和提高。因此初學(xué)者必須熟練地掌握用字母表示數(shù),并且靈活的應(yīng)用。為了使學(xué)生更好地掌握這一部分內(nèi)容,遵循啟發(fā)式教學(xué)原則,用設(shè)問形式創(chuàng)設(shè)問題情景,設(shè)計一系列實踐活動,引導(dǎo)學(xué)生觀察、探索、交流、發(fā)現(xiàn)、思維,使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實世界抽象出模型和運用所學(xué)內(nèi)容,解決實際問題的過程,真正把學(xué)生放到主體位置。

  2 學(xué)習(xí)任務(wù)分析:

  充分利用教科書提供的素材和活動,鼓勵學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等活動,發(fā)展學(xué)生有條理的思考,表達和交流的能力,體會分析問題、解決問題的方法,積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。注意學(xué)生推理意識的建立和對推理過程的理解,能運用自己的方式有條理的表達推理過程。

  案例一:這個數(shù)是π嗎?

  數(shù)學(xué)教材(七上)第三章復(fù)習(xí)題中有這樣一道題:請你任意想一個數(shù),把這個數(shù)乘2后加8,然后除以4,再減去你所想的那個數(shù)的,我就可以知道你計算

  的得數(shù)是2,你相信嗎?請與你的同學(xué)交流。

  在課堂上,我分兩步呈現(xiàn)這道題:

  老師:第一步,請你任意想一個數(shù),把這個數(shù)乘2后加8,然后除以4,再減去你所想的那個數(shù)的結(jié)果是多少?

  學(xué)生1:2

  學(xué)生2:2

  學(xué)生很快說出了答案(幾位同學(xué)答案不是2的,經(jīng)再次檢查后,也得出正確的結(jié)論)。

  老師:請同學(xué)再換一個數(shù),結(jié)果是多少?這一次所有同學(xué)的結(jié)果為2.這時有許多同學(xué)情不自禁地說“不論想的是什么數(shù),結(jié)果均是2.”

  老師:教師適時地進行第二步,你能說明為什么嗎?

  學(xué)生3:這個數(shù)用一個字母表示 ,那么把它乘2后加8就是 ,然后除以4就是,再減去你所想的那個數(shù)的就是,所以不管什么數(shù)代入最后結(jié)果都是2.

  老師:很好,我們的學(xué)生都完成的很好。

  正在我和同學(xué)們沉浸在經(jīng)過探索獲得成功的喜悅之中時,冷不丁,一個同學(xué)大聲地喊“不對,你們說得不對,這個數(shù)是π就不行了??” 瞬間的寂靜后,教室里炸開了鍋:

  學(xué)生3:“任何數(shù)都可以,π當然行了。”

  學(xué)生4:π是一個無限不循環(huán)小數(shù),無限不循環(huán)的部分怎么沒了呢?

  同學(xué)們展開了熱烈的討論,有為數(shù)不少原來很堅定認為結(jié)果是2的同學(xué)也開始懷疑。爭論從課上延續(xù)到課后,這引起了我的反思。通過對當時的演算過程的查看,發(fā)現(xiàn)絕大部分學(xué)生起初起的數(shù)均為自然數(shù),設(shè)這個數(shù)的字母也為 ,在學(xué)生對數(shù)的認知結(jié)構(gòu)中,自然數(shù)是他們最熟悉的,對分數(shù)和負數(shù)就不那么“親切”了,何況是尚未真正認識清楚的π呢?那么學(xué)生對π到底是怎樣理解的呢?幾天后,我又在練習(xí)中呈現(xiàn)了這樣兩道題(中間有意隔了幾題)第一題:單項式 的系數(shù)是 ,第二題: 的系數(shù)是 ;第一道題的正確率超過90%,第二題的正確率則僅過了一半。調(diào)查發(fā)現(xiàn):學(xué)生看到第一道題,馬上想到圓的面積公式,π是圓周率,是一個數(shù);而第二道題很難有實際背景給學(xué)生聯(lián)想,他們又把π看成 是一個字母。

  我不禁想起自己小時候?qū)W習(xí)這一字母表示數(shù)時的情景,老師講合并同類項時,對 這樣一道現(xiàn)在大家都認為簡單的題,我卻苦苦思考了好幾天,實在想不

  通,在老師詫異的目光中我講的我的觀點:“ 不是 ,因為前一個 代表任意數(shù),后一個 也表示一個任意數(shù),兩個都可以是任意數(shù)的東西怎么能相加呢?”這個問題一直到學(xué)習(xí)方程時,自己才初步領(lǐng)悟了未知與已知的關(guān)系。

  皮亞杰的知識建構(gòu)理論指出,學(xué)生是在自己的生活經(jīng)驗基礎(chǔ)上,在主動的活動中建構(gòu)自己的知識。也就是說,學(xué)生在走進課堂時并不是一無所知的,而是在日常生活、學(xué)習(xí)和交往中,已經(jīng)慢慢形成了自己對各種現(xiàn)象的理解和看法,學(xué)習(xí)不單單是知識的由外到內(nèi)的轉(zhuǎn)移和傳遞,而是學(xué)習(xí)者主動的建構(gòu)自己的知識經(jīng)驗的過程。

  教學(xué)反思:

  (1)本節(jié)課的設(shè)計體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體,以知識為載體、以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力為重點的教學(xué)思想。教師以探究任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)自悟的方式,提供了學(xué)生自主合作探究的舞臺,營造了思維馳騁的空間,在經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)過程中,培養(yǎng)了學(xué)生探究、合作、歸納的能力。

  (2)在課堂教學(xué)設(shè)計中,盡量為學(xué)生提供“做中學(xué)”的時空,不放過任何一個發(fā)展學(xué)生智力的契機,讓學(xué)生在“做”的過程中,借助已有的知識和方法主動探索新知識,擴大認知結(jié)構(gòu),發(fā)展能力,完善人格,從而使課堂教學(xué)真正落實到學(xué)生的發(fā)展上。

  (3)“樂思方有思泉涌”,在課堂教學(xué)中,時時注意營造積極的思維狀態(tài),關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展過程,創(chuàng)設(shè)民主、寬松、和諧的課堂氣氛,讓學(xué)生暢所欲言,這樣學(xué)生的創(chuàng)造火花才會不斷閃現(xiàn),個性才的以發(fā)展。

  數(shù)學(xué)案例分析范文篇3:

  《函數(shù)單調(diào)性》的教學(xué)案例 教學(xué)環(huán)境:多媒體教室,教師機可以運用多媒體計算機并借助于預(yù)先制作的多媒體教學(xué)軟件來開展的教學(xué)活動等等。

  教材分析:函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的函數(shù)的第一個性質(zhì),是函數(shù)學(xué)習(xí)中第一個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念,為進一步學(xué)習(xí)函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù).對于函數(shù)單調(diào)性,學(xué)生的認知困難主要在兩個方面:(1)要求用準確的數(shù)學(xué)符號語言去刻畫圖像的上升與下降,這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的;(2)單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的。

  教學(xué)目的:1.使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函

  數(shù)圖像和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法.

  2.通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,培

  養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力;通過對函數(shù)單

  調(diào)性的證明,提高學(xué)生的推理論證能力.

  3.通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的

  良好思維習(xí)慣,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性

  到理性的認知過程.

  教學(xué)重點:函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明.

  教學(xué)難點:歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性. 教學(xué)方法:啟發(fā)式講授,探究性學(xué)習(xí).

  教 具:計算機、投影儀.

  教學(xué)過程:

  創(chuàng)設(shè)情境 引入新課

  師:上節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的三種表示法,分別為:

  (師語音拉長,師生一塊兒回答)

  生:列表法、公式法、圖像法。

  師:它們的區(qū)別是什么?

  生:列表法就是用表格來表示函數(shù)的方法;公式法是用函數(shù)解析式來表示函數(shù)的方法;圖像法是使用平面直角坐標系里的圖形來表示函數(shù)的方法。

  師:這三者之間又有密切的聯(lián)系,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。我們要研究一個函數(shù),可以由解析式來研究,還可以由圖像來研究,這就是我們前面接觸過的數(shù)形結(jié)合思想。 在生活中,很多現(xiàn)象都繪制成一個圖像,我們可以根據(jù)圖像來研究它們的規(guī)律,如:籃球入籃的路線,籃球運動員可以據(jù)此更好的將籃球投入框中等等,可見研究圖像是非常必要的。

  合作交流 探索新知

  這節(jié)課我們就來研究一下函數(shù)圖像的性質(zhì)。

  我們先來研究一下y?x2,x?R的圖像有什么特點?

  為了研究這個問題,請同學(xué)們在草稿本上按照:列表→描點→連線,三個步驟畫出其函數(shù)圖像。

  師:觀察學(xué)生所畫圖形,借助幾個好點的學(xué)生作圖在展臺下展示給學(xué)生。其圖像為拋物線開口大小和方向由常數(shù)a決定,水平位置由常數(shù)b決定,豎直位置由常數(shù)c決定。

  師:請同學(xué)們在自己所作圖像上左右各取5點,觀察其在拋物線上的變化?,x,y的值又是怎樣變化的?

  生甲:當取點由原點開始,越往左,點越高;越往右,點也越高,所以從整體看點是越來越高。

  師:同學(xué)們覺得他說的對不對呢?

  (部分同學(xué)說對,部分同學(xué)不說話,感到有些疑惑,也有同學(xué)說不對) 請回答不對的乙同學(xué)回答。

  生乙:它是從中間觀察的,應(yīng)先向左看,再向右看。

  師: 對,我們研究任何事物都要遵循一定的規(guī)律,觀察圖像要方向一致,我們可以采取從左向右看。

  生丙:當取點由左向右時,圖像上的點整體先下降,后上升,圖像的左邊那部分整體是下降的,隨著x的增大,函數(shù)值y在減小;圖像的右邊那部分整體是上升的,隨著x的增大,函數(shù)值y在增大。

  師: 我們研究的函數(shù)y?x2,其定義域為R,同學(xué)們所說的兩個部分可以認為是定義域內(nèi)的兩個區(qū)間,區(qū)間???,0?和?0,???。在區(qū)間???,0?內(nèi),函數(shù)從左到右是一段下降的曲線,隨著x的增大,函數(shù)值y在減小,則稱函數(shù)y?x2在區(qū)間???,0?上是嚴格遞減的。在區(qū)間?0,???內(nèi),函數(shù)從左到右是一段上升的曲

  線,隨著x的增大,函數(shù)值y在增大,則稱函數(shù)在區(qū)間?0,???上是嚴格遞增的。

  提出問題:如何將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言呢?

  (學(xué)生討論)

  提示:打個比方,如果你組織班里的同學(xué)從左到右按由低到高排成一隊,你如何來證明你是按照這樣的順序排的呢?

  學(xué)生甲:我們可以從此隊中取兩位同學(xué)來測量高度,只要取的那兩位同學(xué),左邊同學(xué)身高<右邊同學(xué)身高,就可以說明我是按照從左到右由低到高排的隊。

  學(xué)生乙:那兩位同學(xué)符合但其他同學(xué)呢?所以那兩位同學(xué)不具有代表性。 學(xué)生甲:那你可以隨便取。

  師:“隨便取”用我們數(shù)學(xué)的語言來說就是——“任意取”。(提示甲)你試著用數(shù)學(xué)的語言來重新敘述你的觀點

  學(xué)生甲:我們可以從此隊中任意取兩位同學(xué)來測量高度,只要任意取的那兩位,左邊同學(xué)身高<右邊同學(xué)身高,就可以說明我是按照從左到右由低到高排的隊。

  師:“在區(qū)間???,0?,隨著x的增大,函數(shù)值在減小” 如何用數(shù)學(xué)語言描述呢?

  學(xué)生丙:受剛才那個例子的啟發(fā),要說明在區(qū)間???,0?內(nèi)所有點的x增大,y都減小,我們可以在這個區(qū)間內(nèi)任意取x1,x2,當x1?x2時,都有f(x1)?f(x2),那么這個問題就解決了。

  總結(jié)深化 得出概念

  我們得到以下概念

  教師打出一張PowerPoint幻燈片

  1. 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為A,區(qū)間I?A,如果對于任意的x1,x2?I,當x1?x2時,都有 f(x1)?f(x2), (1)

  則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是嚴格遞增的。(或者說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù))

  稱區(qū)間I是單調(diào)上升區(qū)間。

  2. 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為A,區(qū)間I?A,如果對于任意的x1,x2?I,當x1?x2時,都有 f(x1)?f(x2), (2)

  則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是嚴格遞減的。(或者說函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù))

  稱區(qū)間I是單調(diào)下降區(qū)間。

  說明:如果在(1)中把“<”換成“?” 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是遞增的。

  如果在(2)中把“>”換成“?” 則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是遞減的。

  3. 如果函數(shù)f(x)在定義域上是遞增的(或遞減的)則稱f(x)是單調(diào)函數(shù)。 如果函數(shù)f(x)在定義域上是嚴格遞增的(或嚴格遞減的)則稱f(x)是嚴格單調(diào)函數(shù)。

  4. 函數(shù)在某個區(qū)間上是遞增或遞減的性質(zhì)統(tǒng)稱為函數(shù)的單調(diào)性。

  練習(xí):判斷下列結(jié)論是否正確 1①已知f(x)?,因為f(?1)?f(2),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)。 x

 ?、谌艉瘮?shù)f(x)滿足f(2)?f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù)。

 ?、廴艉瘮?shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)。 ④因為函數(shù)f(x)?11在區(qū)間(??,0)和(0,??)上都是減函數(shù),所以f(x)?在xx(??,0)?(0,??)上是減函數(shù)。

  通過判斷題,強調(diào)三點:

  ①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.

  ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以是整個定義域(如一次函數(shù)),可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))。

 ?、酆瘮?shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認為函數(shù)在AUBU上是增(或減)函數(shù)。

  思考:如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?

  掌握證法

  例 證明函數(shù)P?K在(0,??)上是增函數(shù)。 V

  1.分析解決問題,針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題,組織學(xué)生討論、交流。 證明:任取V1,V2?(0,??),且V1?V2, 設(shè)元

  f(V1)?f(V2)?

  22? 求差 V1V2

  ?KV2?V1 變形 V1V2

  ?0?v1?v2, 斷號

  ∴v1?v2?0,v1v2?0,

  ∴f(v1)?f(v2)?0,即f(v1)?f(v2), 2∴函數(shù)f(v)?在(0,??)上是增函數(shù). 定論 v

  2.歸納解題步驟

  引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:設(shè)元、作差、變形、斷號、定論. 練習(xí):證明函數(shù)f(x)?x在[0,??)上是增函數(shù).

  問題:要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù),除了用定義來證,如果可以證得對任意的x1,x2?(a,b),且x1?x2有f(x2)?f(x1)?0可以嗎? x2?x1

  引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性.讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)f(x)?x在[0,??)上是增函數(shù).

  〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.等價形式進一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法,為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.

  (帶著思考結(jié)束函數(shù)單調(diào)性的概念教學(xué),相信這個問題學(xué)生可以自己解決。)

  教學(xué)反思 在以后的教學(xué)中多注意從學(xué)生的已有知識和生活經(jīng)驗出發(fā)圍繞知識目標展開新的知識出現(xiàn)的情境,豐富學(xué)生的情感體驗,在知識得到有效落實的同時,達成能力目標,突出基礎(chǔ)知識的應(yīng)用和基本技能的運用。在知識運用方面應(yīng)強調(diào)數(shù)學(xué)走向生活,解決具有現(xiàn)實意義的生活問題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

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