公務(wù)員考試行測(cè)排列組合基本計(jì)數(shù)原理

　　在各省公務(wù)員行測(cè)考試中，數(shù)量關(guān)系是每年都會(huì)考察的內(nèi)容。這一部分涉及到的內(nèi)容、題型和知識(shí)點(diǎn)都非常繁多，是大家一直比較頭痛的部分。其中，排列組合的相關(guān)題目，可能是大家復(fù)習(xí)當(dāng)中的難點(diǎn)。本文是學(xué)習(xí)啦小編整理的，歡迎閱讀。

　　排列組合基本計(jì)數(shù)原理

　　排列組合的基本計(jì)數(shù)原理有兩個(gè)，加法原理和乘法原理。下面讓我們逐一進(jìn)行解釋?zhuān)?/p>

　　加法原理即分類(lèi)時(shí)采用的計(jì)數(shù)方法。也就是說(shuō)，當(dāng)完成一件事情，分成幾類(lèi)情況時(shí)，把每一類(lèi)的情況數(shù)計(jì)算或枚舉出來(lái)，那么總的情況數(shù)，就是所有類(lèi)的情況數(shù)相加。

　　乘法原理即分步時(shí)采用的計(jì)數(shù)方法。也就是說(shuō)，當(dāng)完成一件事情，分成先后幾步時(shí)，把每一步的情況數(shù)計(jì)算或枚舉出來(lái)，那么總的情況數(shù)，就是所有步的情況數(shù)相加乘。

　　那么，何為分類(lèi)，何為分步?讓我們來(lái)舉例說(shuō)明。

　　如果從北京到上海，那么坐飛機(jī)可以，坐高鐵可以，坐汽車(chē)可以，自駕也行，此時(shí)稱(chēng)為分類(lèi);如果坐飛機(jī)有3個(gè)航班合適，坐高鐵有4趟高鐵合適，坐汽車(chē)有2趟都行，自駕游也有1種路線(xiàn)，那么從北京到上海，所有的方法數(shù)就是3+4+2+1=10種方法。

　　如果從北京到上海，上海到廣州，廣州再回北京，整個(gè)的行程按順序分成了3個(gè)步驟，此時(shí)即為分步;如果從北京到上海有3種方法，上海到廣州到4條路線(xiàn)，廣州再回北京也有2種方案，那么整個(gè)行程，所有的方法數(shù)就是3×4×2=24種方法。

　　我們發(fā)現(xiàn)分類(lèi)與分步，一定是不同的、有區(qū)別的，它們的區(qū)別就在于：能否獨(dú)立完成此事。

　　第一個(gè)例子中，想從北京到上海，飛機(jī)、高鐵、汽車(chē)、自駕，這4類(lèi)方案，都可以完成這個(gè)行程，即分類(lèi)當(dāng)中的每一類(lèi)，都可以獨(dú)立完成整個(gè)事情。

　　第二個(gè)例子中，北京到上海，上海到廣州，廣州再回北京，這是完成整個(gè)行程的3步，單獨(dú)拿出任何一步來(lái)，比如上海到廣州，這1步，并不意味著整個(gè)行程就完成了，即分步當(dāng)中的任何一步，都不能獨(dú)立完成此事。

　　下面來(lái)看一個(gè)例題，加深對(duì)于分類(lèi)分步的理解：

　　例題：

　　某人乘車(chē)從家直接到藝術(shù)中心有3條路線(xiàn)可選;從家到體育場(chǎng)有4條路線(xiàn)可選，從體育場(chǎng)到藝術(shù)中心有2條路線(xiàn)可選，則他從家到藝術(shù)中心共有幾種不同的路線(xiàn)?

　　通過(guò)閱讀題目，我們可以發(fā)現(xiàn)，題目所求的從家到藝術(shù)中心，可以分成兩類(lèi)情況：要么直接到;要么從體育場(chǎng)中轉(zhuǎn)換乘間接到。第一類(lèi)直接到，有3條路線(xiàn)可選;第二類(lèi)間接到，需要分成2小步，第一步從家到體育場(chǎng)，第二步從體育場(chǎng)到藝術(shù)中心，根據(jù)分步相乘，第二類(lèi)一共有4×2=8條路線(xiàn)。故一共的路線(xiàn)數(shù)=3+8=11種。

　　基本計(jì)數(shù)原理

　　一、主要內(nèi)容

　　一般計(jì)數(shù)原理部分的考試，分為兩種，一是排列組合二項(xiàng)式定理單獨(dú)出題，二是在概率中需要用到排列組合二項(xiàng)式定理。

　　1、基本計(jì)數(shù)原理

　　2、排列和組合

　　3、常用方法

　　二、知識(shí)梳理

　　1、基本計(jì)數(shù)原理

　　(1)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理

　　從甲地到乙地，可乘坐三類(lèi)交通工具：可以乘火車(chē)，可以坐汽車(chē)，還可以乘輪船，假定火車(chē)每日1班，汽車(chē)每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法?(1+3+2=6種)

　　做一件事，完成它有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中，有m1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中，有m2種不同的方法，以此類(lèi)推，在第n類(lèi)辦法中，有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2...mn種不同的方法。

　　(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理。

　　某中學(xué)的閱覽室有50本不同的科技書(shū)，80本不同的文藝書(shū)，現(xiàn)在張三同學(xué)想借1本科技書(shū)和1本文藝書(shū)，共有多少種借法?(50*80=4000)

　　做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有

　　種不同的方法，以此類(lèi)推，做第n個(gè)步驟有m1種不同的方法，m做第二個(gè)步驟有2mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2...mn種不同的方法。

　　以上兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題最基本的理論依據(jù)。他們分別給出了兩種不同方式完成一件事的方法總數(shù)的不同計(jì)算方法。

　　注意：分類(lèi)要“不重不漏”，每類(lèi)的每一種方法都能獨(dú)立完成事件;

　　分步要“步驟完整”，每一步不能完成事件，只有各步依次都完成，才能完成事件。

　　2、排列與組合

　　(1)排列

　　有紅球、白球、黃球各一個(gè)，現(xiàn)從這三個(gè)小球中任取兩個(gè)，分別放入甲、乙盒子里，有多少種不同的方法?(3*2=6)

　　我們把被取的對(duì)象叫做元素。取出的元素按照已知的順序排成一列，我們稱(chēng)它為該問(wèn)題的一個(gè)排列。

　　一般地，從n個(gè)不同元素中任取出m(mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。

　　兩個(gè)排列相同，則組成排列的元素相同，并且元素的排列順序也相同。

　　從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出

　　m表示。 m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)An

　　根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到公式Anmn(n1)(n2)(nm1)

　　這里n,mN，并且mn，這個(gè)公式叫做排列數(shù)公式。

　　一般地，n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，這時(shí)mn，則有Anmn(n1)(n2)321，這個(gè)公式是由1到n。我們把正整數(shù)1到n的連

　　n乘積，叫做n的階乘，用n!表示。所以n個(gè)不同元素的全排列數(shù)公式可以寫(xiě)成An

　　排列數(shù)的公式還有下面的另一種形式：mAnn! n!，我們規(guī)定0!1。 (nm)!

　　(2)組合

　　有紅球、黃球、白球各一個(gè)，從這三個(gè)小球中，任意取出兩個(gè)小球，共有多少種不同的取法?(與順序無(wú)關(guān)，共3種)

　　一般地，從n個(gè)不同元素中，任意取出m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)組合。

　　從n個(gè)不同元素中，任意取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中，任意取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Cn表示。

　　一般地，從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素的排列，可以分兩步完成： m

　　第一步 選取元素 從n個(gè)不同元素中，任意m個(gè)元素的組合，有種Cn方法;

　　第二步 排位置 選出的m個(gè)不同元素的全排列，有Am種方法。

　　根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得：An

　　m

　　nmmmmmCnAm mAnCmmmAAm可以得出組合數(shù)Cn由n的計(jì)算公式和的計(jì)算公式為：

　　n(n1)(n2)...(nm1)

　　m!

　　n!mCnm!(nm)! mCn

　　通過(guò)上面兩個(gè)公式還可以推出：Cn

　　(3)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

　　性質(zhì)1 CnmnmCn

　　mm1CnCn 01 性質(zhì)2 Cn1m

　　3、排列組合的常用方法

　　(1)捆綁法解決相鄰問(wèn)題;

　　(2)插空法解決不相鄰問(wèn)題;

　　(3)除序法解決相同元素問(wèn)題，除序法是除法;

　　(4)排除法解決算多了需要減掉多余的，排除法是減法;

　　(5)特殊元與特殊位優(yōu)先解決，再解決一般;

　　(6)窮舉法。

　　練習(xí)題

　　1、一個(gè)科技小組中有3名女同學(xué)，5名男同學(xué)

　　(1)若從中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有多少種選派方法?

　　(2)若從中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有多少種選派方法?

　　2、求證：C222223 C3C4...C100C101

　　3、(1)4個(gè)同學(xué)分配到3個(gè)課外小組中，共有幾種分配方法?

　　(2)4個(gè)同學(xué)爭(zhēng)奪3項(xiàng)競(jìng)賽的冠軍，冠軍的獲得者共有幾種可能情況?

　　4、4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種?

　　5、四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有?

　　6、某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀(guān)，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀(guān)2天，其余只參觀(guān)一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有多少種?

　　7、 從6名男生和4名女生中，選3名代表，要求至少包含1名女生，則不同的選法有__種? 8、12個(gè)籃球隊(duì)中有3個(gè)強(qiáng)隊(duì)，將這12個(gè)隊(duì)任意分成3個(gè)組，則3個(gè)強(qiáng)隊(duì)恰好被分在同一組的概率為?

　　9、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法?

　　10、3個(gè)歌舞，4個(gè)獨(dú)唱，2個(gè)小品排成一份節(jié)目單，3個(gè)歌舞中任意兩個(gè)都不排在一起，共有多少種排法?

　　11、求三元一次方程xyz100(x,y,zN)解的個(gè)數(shù)?

　　12、5名運(yùn)動(dòng)員參加軍事三項(xiàng)賽，射擊、游泳和長(zhǎng)跑各設(shè)一名冠軍，則三項(xiàng)冠軍獲得者的結(jié)果有多少種?

　　13、有3枚一分硬幣，6枚一角硬幣，4張十元硬幣，共組成多少種非零幣值?

　　14、甲乙丙丁參加400米接力比賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同跑法?

　　15、某宿舍4個(gè)人互贈(zèng)賀卡，每個(gè)人都拿到不是自己的賀卡情況有多少種?

　　16、8個(gè)人排隊(duì)照相，按如下要求各有多少種不同的排隊(duì)方法：

　　(1)甲乙丙三人必須相鄰，丁戊不相鄰;

　　(2)甲乙兩人必須站中間，丙丁兩人不站兩端;

　　(3)甲不在左端且不在乙右側(cè)的任何位置;

　　(4)8人中，有4個(gè)男生4個(gè)女生，要求同性別不相鄰。

　　17、8個(gè)人中，3個(gè)大人5個(gè)小孩，要求每個(gè)大人右邊相鄰的必是小孩，有幾種方法? 18、8人中3名教師，5名學(xué)生

　　(1)3名教師隨意站，5名學(xué)生必須從左至右從高到低，共有幾種方法?

　　(2)甲乙兩人必須相鄰，且甲乙都不與丙相鄰，共有多少種排法?

　　19、用0~9這十個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)

　　(1)可組成多少個(gè)四位的自然數(shù)?

　　(2)可組成多少個(gè)四位偶數(shù)?

　　(3)可組成多少個(gè)被25整除的四位數(shù)?

　　(4)可組成多少個(gè)從高位開(kāi)始偶數(shù)位上是偶數(shù)的四位數(shù)?

　　(5)可組成的四位自然數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字之和?

　　(6)比5612大的四位數(shù)有多少個(gè)?

　　(7)將組成的所有四位數(shù)按大小從小到大排隊(duì)，第1010個(gè)數(shù)是哪個(gè)?

　　20、從16人中選出3名會(huì)議代表，其中甲乙丙三人至少一人當(dāng)代表的選法是多少種? 21、1到18的18個(gè)數(shù)中，取三個(gè)數(shù)相加，要求他們的和恰好被3整除的情況有多少種?

　　22、某籃球隊(duì)共10名隊(duì)員，其中4名只會(huì)打前鋒，另外4名只會(huì)打后衛(wèi)，其余2名是全面手，現(xiàn)派5名隊(duì)員上陣，其中3名前鋒，2名后衛(wèi)，有多少種選派方法?

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