初三數(shù)學(xué)思維方法
要學(xué)好數(shù)學(xué),學(xué)會解題是關(guān)鍵。特別是初三學(xué)生,馬上要進(jìn)行中考了,在這個階段,全面掌握初三數(shù)學(xué)思維方法尤為重要。在進(jìn)行解題的過程中,不僅需要加強必要的訓(xùn)練,其還要掌握一定的解題規(guī)律與技巧。以下是學(xué)習(xí)啦小編為大家準(zhǔn)備的初三數(shù)學(xué)思維方法大全,僅供參考!
一、初三數(shù)學(xué)思維方法在解題中有不可忽視的作用
解題的學(xué)習(xí)過程通常的程序是:閱讀數(shù)學(xué)知識,理解概念;在對例題和老師的講解進(jìn)行反思,思考例題的方法、技巧和解題的規(guī)范過程;然后做數(shù)學(xué)練習(xí)題。
基本題要練程序和速度;典型題嘗試一題多解開發(fā)數(shù)學(xué)思維;最后要及時總結(jié)反思改錯,交流學(xué)習(xí)好的解法和技巧。著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞說“如果沒有反思,就錯過了解題的的一次重要而有意義的方面。”
教師在教學(xué)設(shè)計中要讓解學(xué)生好數(shù)學(xué)問題,就要對數(shù)學(xué)思維方法有清楚的認(rèn)識,才能更好的挖掘題目的功能,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)總結(jié)題目的解法和技巧,提高解題能力。
1. 函數(shù)與方程的思維
函數(shù)與方程的思維是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思維。所謂函數(shù)的思維是指用運動變化的觀點去分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),再運用函數(shù)的圖像與性質(zhì)去分析、解決相關(guān)的問題。而所謂方程的思維是分析數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系,去構(gòu)建方程或方程組,通過求解或利用方程的性質(zhì)去分析解決問題。
2. 數(shù)形結(jié)合的思維
數(shù)與形在一定的條件下可以轉(zhuǎn)化。如某些代數(shù)問題、三角問題往往有幾何背景,可以借助幾何特征去解決相關(guān)的代數(shù)三角問題;而某些幾何問題也往往可以通過數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征用代數(shù)的方法去解決。因此數(shù)形結(jié)合的思維對問題的解決有舉足輕重的作用。
3. 分類討論的思維
分類討論的思維之所以重要,原因一是因為它的邏輯性較強,原因二是因為它的知識點的涵蓋比較廣,原因三是因為它可培養(yǎng)學(xué)生的分析和解決問題的能力。原因四是實際問題中常常需要分類討論各種可能性。
解決分類討論問題的關(guān)鍵是化整為零,在局部討論降低難度。常見的類型:類型 1 :由數(shù)學(xué)概念引起的的討論,如實數(shù)、有理數(shù)、絕對值、點(直線、圓)與圓的位置關(guān)系等概念的分類討論;類型 2 :由數(shù)學(xué)運算引起的討論,如不等式兩邊同乘一個正數(shù)還是負(fù)數(shù)的問題;類型 3 :由性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論,如一元二次方程求根公式的應(yīng)用引起的討論;類型 4 :由圖形位置的不確定性引起的討論,如直角、銳角、鈍角三角形中的相關(guān)問題引起的討論。類型 5 :由某些字母系數(shù)對方程的影響造成的分類討論,如二次函數(shù)中字母系數(shù)對圖象的影響,二次項系數(shù)對圖象開口方向的影響,一次項系數(shù)對頂點坐標(biāo)的影響,常數(shù)項對截距的影響等。
分類討論思維是對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分類尋求解答的一種思維方法,其作用在于克服思維的片面性,全面考慮問題。分類的原則:分類不重不漏。分類的步驟:①確定討論的對象及其范圍;②確定分類討論的分類標(biāo)準(zhǔn);③按所分類別進(jìn)行討論;④歸納小結(jié)、綜合得出結(jié)論。注意動態(tài)問題一定要先畫動態(tài)圖。
4 .轉(zhuǎn)化與化歸的思維
轉(zhuǎn)化與化歸市中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)思維之一,數(shù)形結(jié)合的思維體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化;函數(shù)與方程的思維體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化;分類討論思維體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化,所以以上三種思維也是轉(zhuǎn)化與化歸思維的具體呈現(xiàn)。
但是轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化,等價轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化的過程中前因和后果是充分的也是必要的;不等價轉(zhuǎn)化就只有一種情況,因此結(jié)論要注意檢驗、調(diào)整和補充。轉(zhuǎn)化的原則是將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)為熟知的、易解的和已經(jīng)解決的問題,將抽象的問題轉(zhuǎn)為具體的和直觀的問題;將復(fù)雜的轉(zhuǎn)為簡單的問題;將一般的轉(zhuǎn)為特殊的問題;將實際的問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)的問題等等使問題易于解決。
但是轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化,等價轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化的過程中前因和后果是充分的也是必要的;不等價轉(zhuǎn)化就只有一種情況,因此結(jié)論要注意檢驗、調(diào)整和補充。轉(zhuǎn)化的原則是將不熟悉和難解的問題轉(zhuǎn)為熟知的、易解的和已經(jīng)解決的問題,將抽象的問題轉(zhuǎn)為具體的和直觀的問題;將復(fù)雜的轉(zhuǎn)為簡單的問題;將一般的轉(zhuǎn)為特殊的問題;將實際的問題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)的問題等等使問題易于解決。
常見的轉(zhuǎn)化方法有
( 1 )直接轉(zhuǎn)化法:把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題 .
( 2 )換元法:運用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等,把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題 . ?
( 3 )數(shù)形結(jié)合法:研究原問題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系,通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑 . ?
( 4 )等價轉(zhuǎn)化法:把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題,達(dá)到化歸的目的 . ?
( 5 )特殊化方法:把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化,并證明特殊化后的問題,使結(jié)論適合原問題 .
( 6 )構(gòu)造法:“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型,把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題 .
( 7 )坐標(biāo)法:以坐標(biāo)系為工具,用計算方法解決幾何問題也是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑
轉(zhuǎn)化與化歸的指導(dǎo)思維?
( 1 )把什么問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化歸對象 . ?
( 2 )化歸到何處去,即化歸目標(biāo) . ?
( 3 )如何進(jìn)行化歸,即化歸方法 . ?
化歸與轉(zhuǎn)化思維是一切數(shù)學(xué)思維方法的核心 .
二、中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的的基本方法
1. 觀察與實驗
( 1 )觀察法:有目的有計劃的通過視覺直觀的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的規(guī)律、性質(zhì)和解決問題的途徑。
( 2 )實驗法:實驗法是有目的的、模擬的創(chuàng)設(shè)一些有利于觀察的數(shù)學(xué)對象,通過觀察研究將復(fù)雜的問題直觀化、簡單化。它具有直觀性強,特征清晰,同時可以試探解法、檢驗結(jié)論的重要優(yōu)勢。
2. 比較與分類
( 1 )比較法
是確定事物共同點和不同點的思維方法。在數(shù)學(xué)上兩類數(shù)學(xué)對象必須有一定的關(guān)系才好比較。我們常比較兩類數(shù)學(xué)對象的相同點、相異點或者是同異綜合比較。
( 2 )分類的方法
分類是在比較的基礎(chǔ)上,依據(jù)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)的異同,把相同性質(zhì)的對象歸入一類,不同性質(zhì)的對象歸為不同類的思維方法。如上圖中一次函數(shù)的 k 在不等于零的情況下的分類是大于零和小于零體現(xiàn)了不重不漏的原則。
3 .特殊與一般
( 1 )特殊化的方法
特殊化的方法是從給定的區(qū)域內(nèi)縮小范圍,甚至縮小到一個特殊的值、特殊的點、特殊的圖形等情況,再去考慮問題的解答和合理性。
( 2 )一般化的方法
4. 聯(lián)想與猜想
( 1 )類比聯(lián)想
類比就是根據(jù)兩個對象或兩類事物間存在著的相同或不同屬性,聯(lián)想到另一事物也可能具有某種屬性的思維方法。
通過類比聯(lián)想可以發(fā)現(xiàn)新的知識;通過類比聯(lián)想可以尋求到數(shù)學(xué)解題的方法和途徑:
( 2 )歸納猜想
牛頓說過:沒有大膽的猜想就沒有偉大的發(fā)明。猜想可以發(fā)現(xiàn)真理,發(fā)現(xiàn)論斷;猜想可以預(yù)見證明的方法和思路。初中數(shù)學(xué)主要是對命題的條件觀察得出對結(jié)論的猜想,或?qū)l件和結(jié)論的觀察提出解決問題的方案與方法的猜想。
歸納是對同類事物中的所蘊含的同類性或相似性而得出的一般性結(jié)論的思維過程。歸納有完全歸納和不完全歸納。完全歸納得出的猜想是正確的,不完全歸納得出的猜想有可能正確也有可能錯誤,因此作為結(jié)論是需要證明的。關(guān)鍵是猜之有理、猜之有據(jù)。
5. 換元與配方
( 1 )換元法
解數(shù)學(xué)題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理。
換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?;蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計算和推證簡化。
我們使用換元法時,要遵循有利于運算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則,換元后要注重新變量范圍的選取,一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍,不能縮小也不能擴大。 你可以先觀察算式,你可以發(fā)現(xiàn)這種要換元法的算式中總是有相同的式子,然后把他們用一個字母代替,算出答案,然后答案中如果有這個字母,就把式子帶進(jìn)去,計算就出來啦。
( 2 )配方法
配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧,通過配方找到已知和未知的聯(lián)系,從而化繁為簡。何時配方,需要我們適當(dāng)預(yù)測,并且合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧,從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形,使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,將這個公式靈活運用,可得到各種基本配方形式
6. 構(gòu)造法與待定系數(shù)法
( 1 )構(gòu)造法所謂構(gòu)造性的方法就是數(shù)學(xué)中的概念和方法按固定的方式經(jīng)有限個步驟能夠定義的概念和能夠?qū)崿F(xiàn)的方法。常見的有構(gòu)造函數(shù),構(gòu)造圖形,構(gòu)造恒等式。平面幾何里面的添輔助線法就是常見的構(gòu)造法。構(gòu)造法解題有:直接構(gòu)造、變更條件構(gòu)造和變更結(jié)論構(gòu)造等途徑。
( 2 )待定系數(shù)法:將一個多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式,這樣就得到一個恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組,其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數(shù),或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式,這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法。
7. 公式法與反證法
( 1 )公式法
利用公式解決問題的方法。初中最常用的有一元二次方程求根時使用求根公式的方法;完全平方公式的方法等。如下面一組題就是完全平方公式的應(yīng)用:
( 2 )反證法是“間接證明法”一類,即:肯定題設(shè)而否定結(jié)論,從而得出矛盾,就可以肯定命題的結(jié)論的正確性,從而使命題獲得了證明。
三、中學(xué)數(shù)學(xué)新題型解題方法和技巧
1. 數(shù)學(xué)探索題
所謂探索題就是從問題給定的題設(shè)條件中探究其相應(yīng)的結(jié)論并加以證明,或從給定的題目要求中探究相應(yīng)的必需具備的條件、解決問題的途徑。
條件探索題:解答策略之一是將題設(shè)和結(jié)論視為已知,同時推理,在演繹的過程中尋找出相應(yīng)所需的條件。
結(jié)論探索題:通常指結(jié)論不確定不唯一,或結(jié)論需通過類比、引申、推廣,或給出特例需通過歸納得出一般結(jié)論。可以先猜測再去證明;也可以尋求具體情況下的結(jié)論再證明;或直接演繹推證。
規(guī)律探索題:實際就是探索多種解決問題的途徑,制定多種解題的策略。
活動型探索題:讓學(xué)生參與一定的社會實踐,在課內(nèi)和課外的活動中,通過探究完成問題解決。
推廣型探索題:將一個簡單的問題,加以推廣,可產(chǎn)生新的結(jié)論,在初中教學(xué)中常見。如平行四邊形的判定,就可以產(chǎn)生許多新的推廣,一方面是自身的推廣,一方面可以延伸到菱形和正方形中。
探索是數(shù)學(xué)的生命線,解探索題是一種富有創(chuàng)造性的思維活動,一種數(shù)學(xué)形式的探索絕不是單一的思維方式的結(jié)果,而是多種思維方式的聯(lián)系和滲透,這樣可使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中敢于質(zhì)疑、提問、反思、推廣。通過探索去經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程,體會創(chuàng)造帶來的快樂。
2. 數(shù)學(xué)情境題
情境題是以一段生活實際、故事、歷史、游戲與數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思維和方法于情境中。這類問題往往生動有趣,激發(fā)學(xué)生強烈的研究動機,但同時數(shù)學(xué)情景題又有信息量大,開放性強的特點,因此需要學(xué)生能從場景中提煉出數(shù)學(xué)問題,同時經(jīng)歷了借助數(shù)學(xué)知識研究實際問題的數(shù)學(xué)化過程。
如老師在講有理數(shù)的混合運算時,
3. 數(shù)學(xué)開放題
數(shù)學(xué)開放題是相對于傳統(tǒng)的封閉題而言的一種新題型,其特征是題目的條件不充分,或沒有確定的結(jié)論,也正因為這樣,所以開放題的解題策略往往也是多種多樣的。
( 1 )數(shù)學(xué)開放題一般具有下列特征
?、俨淮_定性:所提的問題常常是不確定的和一般性的,其背景情況也是用一般詞語來描述的,因此需收集其他必要的信息,才能著手解的題目。
?、谔骄啃裕簺]有現(xiàn)成的解題模式,有些答案可能易于直覺地被發(fā)現(xiàn),但是求解過程中往往需要從多個角度進(jìn)行思考和探索。
?、鄯峭陚湫裕河行﹩栴}的答案是不確定的,存在著多樣的解答,但重要的還不是答案本身的多樣性,而在于尋求解答的過程中學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建。
?、馨l(fā)散性:在求解過程中往往可以引出新的問題,或?qū)栴}加以推廣,找出更一般、更概括性的結(jié)論。常常通過實際問題提出,學(xué)生必須用數(shù)學(xué)語言將其數(shù)學(xué)化,也就是建立數(shù)學(xué)模型。
?、莅l(fā)展性:能激起多數(shù)學(xué)生的好奇性,全體學(xué)生都可以參與解答過程。
?、迍?chuàng)新性:教師難以用注入式進(jìn)行教學(xué),學(xué)生能自然地主動參與,教師在解題過程中的地位是示范者、啟發(fā)者、鼓勵者、合作者。
( 2 )對數(shù)學(xué)開放題的分類
從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素(條件、依據(jù)、方法、結(jié)論)出發(fā),定性地可分成四類;如果尋求的答案是數(shù)學(xué)題的條件,則稱為條件開放題;如果尋求的答案是依據(jù)或方法,則稱為策略開放題;如果尋求的答案是結(jié)論,則稱為結(jié)論開放題;如果數(shù)學(xué)題的條件、解題策略或結(jié)論都要求解題者在給定的情境中自行設(shè)定與尋找,則稱為綜合開放題。
從學(xué)生的學(xué)習(xí)生活和熟悉的事物中收集材料,設(shè)計成各種形式的數(shù)學(xué)開放性問題,意在開放學(xué)生的思路,開放學(xué)生潛在的學(xué)習(xí)能力,開放性數(shù)學(xué)問題給不同層次的學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)創(chuàng)設(shè)了機會,多種解題策略的應(yīng)用,有力地發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新技能,提高了學(xué)生的創(chuàng)新能力。
( 3 )以數(shù)學(xué)開放題為載體的教學(xué)特征
?、賻熒P(guān)系開放:教師與學(xué)生成為問題解決的共同合作者和研究者
?、诮虒W(xué)內(nèi)容開放:開放題往往條件不完全、或結(jié)論不完全,需要收集信息加以分析和研究,給數(shù)學(xué)留下了創(chuàng)新的空間。
?、劢虒W(xué)過程的開放性:由于研究的內(nèi)容的開放性可以激起學(xué)生的好奇心、同時由于問題的開放性,就沒有現(xiàn)成的解題模式,因此就會留下想象的空間,使所有的學(xué)生都可參與想象和解答。
( 4 )開放題的教育價值
有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì);
有助于學(xué)生主體意識的形成;
有利于全體學(xué)生的參與,實現(xiàn)教學(xué)的民主性和合作性;
有利于學(xué)生體驗成功、樹立信心,增強學(xué)習(xí)的興趣;
有助于提高學(xué)生解決問題的能力。
4. 數(shù)學(xué)建模題(初中數(shù)學(xué)建模題也可以看作是數(shù)學(xué)應(yīng)用題)
數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出 : 要學(xué)生會應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題 , 能適應(yīng)社會日常生活和生產(chǎn)勞動的基本需要。初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)目的之一 , 就是培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力 , 要求學(xué)生會分析和解決生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題 , 形成善于應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力。從各省市的中考數(shù)學(xué)命題來看 , 也更關(guān)注學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力的考查 , 可以說培養(yǎng)學(xué)生解答應(yīng)用題的能力是使學(xué)生能夠運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基本途徑之一
初中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的三種類型
( 1 )探求結(jié)論型數(shù)學(xué)應(yīng)用問題
根據(jù)命題中所給出的條件,要求找出一個或一個以上的正確結(jié)論
( 2 )跨學(xué)科的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題
?、贁?shù)學(xué)與物理
②數(shù)學(xué)與生化
以上兩題是與生物和化學(xué)有關(guān)的問題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在生化學(xué)科的應(yīng)用。
總之,數(shù)學(xué)應(yīng)用問題較好地考察了學(xué)生閱讀理解能力與日常生活體驗,同時又考察了學(xué)生獲取信息后的抽象概括與建模能力,判斷決策能力。中考數(shù)學(xué)應(yīng)用問題熱點題型主要包括生活、統(tǒng)計、測量、設(shè)計、決策、銷售、開放探索、跨學(xué)科等等,中考在強化學(xué)生應(yīng)用意識和應(yīng)用能力方面發(fā)揮及其良好的導(dǎo)向功能。這就要求我們在平時教學(xué)中善于挖掘課本例題、習(xí)題的潛在的應(yīng)用功能。巧妙地將課本中具有典型意義的數(shù)學(xué)問題回歸生活、生產(chǎn)的原型,創(chuàng)設(shè)一個實際背景,改造成有深刻數(shù)學(xué)內(nèi)涵的實際問題,以增強應(yīng)用意識,發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力。
四、掌握初中數(shù)學(xué)解題策略提來提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率
(1)認(rèn)真分析問題,找解題準(zhǔn)切入點
由于數(shù)學(xué)問題紛繁復(fù)雜,學(xué)生容易受定勢思維的影響,這樣就會響解題思路造成很大的影響。為此,這時教師要給予學(xué)生正確指導(dǎo),幫助學(xué)生進(jìn)行思路的調(diào)整,對題目進(jìn)行重新認(rèn)真的分析,將切入點找準(zhǔn)后,問題就能游刃而解了。例如:已知:AB=DC,AC=DB。求證:∠A=∠D。
此題是一道比較經(jīng)典的證明全等的題型,主要是對學(xué)生對已知條件整合能力和觀察識圖能力的鍛煉。然而,從圖形的直觀角度來證明∠AOC=∠DOB,這樣的思路只會落入題目所設(shè)下的陷阱。為此,在對此題的審題時,教師要引導(dǎo)學(xué)生注意將題目已知的兩個條件充分結(jié)合起來考慮,提醒學(xué)生可以適當(dāng)添加一定的輔助線。
(2)發(fā)揮想象力,借助面積出奇制勝
面積問題是數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的問題,在面積定義及相關(guān)規(guī)律中,蘊含著深刻的數(shù)學(xué)思維,如果學(xué)生能充分了解其中的韻味,能夠熟練的掌握其中的數(shù)學(xué)論證思維,就有可能在其他數(shù)學(xué)問題中借助面積,出奇制勝順利實現(xiàn)解題。由于幾何圖形的面積與線段、角、弧等有密切的聯(lián)系,所以用面積法不但可證各種幾何圖形面積的等量關(guān)系,還可證某些線段相等、線段不等、角的相等以及比例式等多種類型的幾何題。例1、 若E、F分別是矩形ABCD邊AB、CD的中點,且矩形EFDA與矩形ABCD相似,則矩形ABCD的寬與長之比為( ) (A) 1∶2(B) 2∶1(C) 1∶2(D) 2∶1
由上題已知信息可知,矩形ABCD的寬AD與AB的比,就是矩形EFDA與矩形ABCD的相似比。解:設(shè)矩形EFDA與矩形ABCD的相似比為k。因為E、F分別是矩形ABCD的中點,所以S矩形ABCD=2S矩形EFDA。所以S矩形EFDA∶S矩形ABCD=k2。所以k=1∶2。即矩形ABCD的寬與長之比為1∶2;故選(C)。
此題利用了“相似多邊形面積的比等于相似比平方”這一性質(zhì),巧妙解決相似矩形中的長與寬比的問題。事實上,借助面積,形成解題思路的過程,就是學(xué)生思維轉(zhuǎn)換的過程。
(3)巧取特殊值,以簡代繁
初中數(shù)學(xué)雖然是基礎(chǔ)數(shù)學(xué),但是這并不意味著就沒有難度,特別是在素質(zhì)教育下,從培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)能力的角度出發(fā),初中數(shù)學(xué)越來越重視數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),因此在很多數(shù)學(xué)問題的設(shè)置上,都進(jìn)行了相當(dāng)難度的調(diào)整,使得數(shù)學(xué)問題顯得較為繁雜,單一的思維或者解題方式,在有些題目面前會顯得較為艱難。如有些數(shù)學(xué)問題是在一定的范圍內(nèi)研究它的性質(zhì),如果從所有的值去逐一考慮,那么問題將不勝其繁甚至陷入困境。在這種情況下,避開常規(guī)解法,跳出既定數(shù)學(xué)思維,就成了解題的關(guān)鍵。
例2、分解因式:x2+2xy-8y2+2x+14y-3。
思路分析:本題是二元多項式,從常規(guī)思路進(jìn)行解題也未嘗不可,但是從鍛煉學(xué)生思維能力的角度出發(fā),教師可以在立足常規(guī)解法的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行其他方面解題思路的探索。如從巧取特值的角度出發(fā),把其中的一個未知數(shù)設(shè)為0,則可以暫時隱去這個未知數(shù),而就另一個未知數(shù)的式子來分解因式,達(dá)到化二元為一元的目的。
解:令y=0,得x[sup]2[/sup]+2x-3=(x+3)(x-1);令x=0,得:-8y2+14y-3=(-2y+3)(4y-1)。當(dāng)把兩次分解的一次項的系數(shù)1、1;-2、4??芍?,1×4+(-2)×1正好等于原式中xy項的系數(shù)。因此,綜合起來有:x2+2xy-8y2+2x+14y-3=(x-2y+3)(x+4y-1)。
其實,用特殊值法,也叫取零法。這種方法在因式分解中可以發(fā)揮很大的作用,幫助學(xué)生找到其他的解題思路。一般來說其步驟是:A、把多項式中的一個字母設(shè)為0所得的結(jié)果分解因式,B、把多項中的另一個字母設(shè)為0所得的結(jié)果分解因式,C、把上兩步分解的結(jié)果綜合起來,得出原多項式的分解結(jié)果。但要注意:兩次分解的一次因式的常數(shù)項必須相等,如本題中,x+3的3和-2y+3的3相等,x-1的-1和4y-1的-1相等。否則,在綜合這兩步的結(jié)果時就無所適從了。
(4)巧妙轉(zhuǎn)換,過渡求解法
在解數(shù)學(xué)題時,即要對已知的條件進(jìn)行全面分析,還要善于將題目中的隱性條件挖掘出來,將數(shù)學(xué)中各知識之間的聯(lián)系巧妙的運用起來,用全面、全新的視角來解決問題。
例如:已知:AB為半圓的直徑,其長度為30 cm,點C、D是該半圓的三等分點,求弦AC、AD與弧CD所圍成的圖形的面積。
本題需要解出的是一個不規(guī)則圖形的面積,可能大多數(shù)同學(xué)的思維就是將CD連結(jié)起來,將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€角形和弓形,兩者面積之和就為該題需要解決的問題。這時,教師就要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對半徑這一已知條件加以利用,幫助其將另外兩條OC、OD輔助線連結(jié)起來,將題目要求解的不規(guī)則圖形的面積,轉(zhuǎn)化成求扇形OCD的面積,這樣該題的解題思維就能一目了然了。
綜上所述,初中數(shù)學(xué)解題存在很強的靈活性。有的數(shù)學(xué)題不只一種解法,而有多種解法,有的數(shù)學(xué)題用常規(guī)方法解決不了,要用特殊方法。因此,解數(shù)學(xué)題要注意它的靈活性和技巧性。解題技巧在升學(xué)考試中至關(guān)重要,不能忽視。初中數(shù)學(xué)教師要注意對解題技巧的鉆研,并鼓勵學(xué)生發(fā)散思維,尋找解題技巧,提高解題效率,增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。
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