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初中數(shù)學(xué)解題思維方法大全

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還在為初中數(shù)學(xué)解題而煩惱?還在為數(shù)學(xué)低分而煩躁?那是你沒有全面理解初中數(shù)學(xué)的解題思維和解題方法。暑假不出門,了解初中數(shù)學(xué)解題思維方法大全,助你在新學(xué)期解決數(shù)學(xué)難題。

  初中數(shù)學(xué)解題思維方法大全

  一、選擇題的解法

  1、直接法:根據(jù)選擇題的題設(shè)條件,通過計算、推理或判斷,,最后得到題目的所求。

  2、特殊值法:(特殊值淘汰法)有些選擇題所涉及的數(shù)學(xué)命題與字母的取值范圍有關(guān),在解這類選擇題時,可以考慮從取值范圍內(nèi)選取某幾個特殊值,代入原命題進行驗證,然后淘汰錯誤的,保留正確的。

  3、淘汰法:把題目所給的四個結(jié)論逐一代回原題的題干中進行驗證,把錯誤的淘汰掉,直至找到正確的答案。

  4、逐步淘汰法:如果我們在計算或推導(dǎo)的過程中不是一步到位,而是逐步進行,既采用“走一走、瞧一瞧”的策略,每走一步都與四個結(jié)論比較一次,淘汰掉不可能的,這樣也許走不到最后一步,三個錯誤的結(jié)論就被全部淘汰掉了。

  5、數(shù)形結(jié)合法:根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)含義,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系和圖形巧妙和諧地結(jié)合起來,并充分利用這種結(jié)合,尋求解題思路,使問題得到解決。

  二、常用的數(shù)學(xué)思想方法

  1、數(shù)形結(jié)合思想:就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,既分析其代數(shù)含義,又揭示其幾何意義,使數(shù)量關(guān)系和圖形巧妙和諧地結(jié)合起來,并充分利用這種結(jié)合,尋求解體思路,使問題得到解決。

  2、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想:事物之間是相互聯(lián)系、相互制約的,是可以相互轉(zhuǎn)化的。數(shù)學(xué)學(xué)科的各部分之間也是相互聯(lián)系,可以相互轉(zhuǎn)化的。在解題時,如果能恰當處理它們之間的相互轉(zhuǎn)化,往往可以化難為易,化繁為簡。如:代換轉(zhuǎn)化、已知與未知的轉(zhuǎn)化、特殊與一般的轉(zhuǎn)化、具體與抽象的轉(zhuǎn)化、部分與整體的轉(zhuǎn)化、動與靜的轉(zhuǎn)化等等。

  3、分類討論的思想:在數(shù)學(xué)中,我們常常需要根據(jù)研究對象性質(zhì)的差異,分各種不同情況予以考查,這種分類思考的方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,同時也是一種重要的解題策略。

  4、待定系數(shù)法:當我們所研究的數(shù)學(xué)式子具有某種特定形式時,要確定它,只要求出式子中待確定的字母得值就可以了。為此,把已知條件代入這個待定形式的式子中,往往會得到含待定字母的方程或方程組,然后解這個方程或方程組就使問題得到解決。

  5、配方法:就是把一個代數(shù)式設(shè)法構(gòu)造成平方式,然后再進行所需要的變化。配方法是初中代數(shù)中重要的變形技巧,配方法在分解因式、解方程、討論二次函數(shù)等問題,都有重要的作用。

  6、換元法:在解題過程中,把某個或某些字母的式子作為一個整體,用一個新的字母表示,以便進一步解決問題的一種方法。換元法可以把一個較為復(fù)雜的式子化簡,把問題歸結(jié)為比原來更為基本的問題,從而達到化繁為簡,化難為易的目的。

  7、分析法:在研究或證明一個命題時,又結(jié)論向已知條件追溯,既從結(jié)論開始,推求它成立的充分條件,這個條件的成立還不顯然,則再把它當作結(jié)論,進一步研究它成立的充分條件,直至達到已知條件為止,從而使命題得到證明。這種思維過程通常稱為“執(zhí)果尋因”

  8、綜合法:在研究或證明命題時,如果推理的方向是從已知條件開始,逐步推導(dǎo)得到結(jié)論,這種思維過程通常稱為“由因?qū)Ч?rdquo;

  9、演繹法:由一般到特殊的推理方法。

  10、歸納法:由一般到特殊的推理方法。

  11、類比法:眾多客觀事物中,存在著一些相互之間有相似屬性的事物,在兩個或兩類事物之間,根據(jù)它們的某些屬性相同或相似,推出它們在其他屬性方面也可能相同或相似的推理方法。類比法既可能是特殊到特殊,也可能一般到一般的推理。

  三、函數(shù)、方程、不等式

  常用的數(shù)學(xué)思想方法:⑴數(shù)形結(jié)合的思想方法。⑵待定系數(shù)法。⑶配方法。⑷聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思想。⑸圖像的平移變換。

  四、證明角的相等

  1、對頂角相等。

  2、角(或同角)的補角相等或余角相等。

  3、兩直線平行,同位角相等、內(nèi)錯角相等。

  4、凡直角都相等。

  5、角平分線分得的兩個角相等。

  6、同一個三角形中,等邊對等角。

  7、等腰三角形中,底邊上的高(或中線)平分頂角。

  8、平行四邊形的對角相等。

  9、菱形的每一條對角線平分一組對角。

  10、 等腰梯形同一底上的兩個角相等。

  11、 關(guān)系定理:同圓或等圓中,若有兩條弧(或弦、或弦心距)相等,則它們所 對的圓心角相等。

  12、 圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。

  13、 同弧或等弧所對的圓周角相等。

  14、 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

  15、 同圓或等圓中,如果兩個弦切角所夾的弧相等,那么這兩個弦切角也相等。

  16、 全等三角形的對應(yīng)角相等。

  17、 相似三角形的對應(yīng)角相等。

  18、 利用等量代換。

  19、 利用代數(shù)或三角計算出角的度數(shù)相等

  20、 切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,并且這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

  五、證明直線的平行或垂直

  1、證明兩條直線平行的主要依據(jù)和方法:

  ⑴、定義、在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線平行。

  ⑵、平行定理、兩條直線都和第三條直線平行,這兩條直線也互相平行。

  ⑶、平行線的判定:同位角相等(內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角),兩直線平行。

 ?、?、平行四邊形的對邊平行。

  ⑸、梯形的兩底平行。

 ?、?、三角形(或梯形)的中位線平行與第三邊(或兩底)

 ?、?、一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例,則這條直線平行于三角形的第三邊。

  2、證明兩條直線垂直的主要依據(jù)和方法:

 ?、?、兩條直線相交所成的四個角中,由一個是直角時,這兩條直線互相垂直。

 ?、啤⒅苯侨切蔚膬芍苯沁吇ハ啻怪?。

  ⑶、三角形的兩個銳角互余,則第三個內(nèi)角為直角。

 ?、?、三角形一邊的中線等于這邊的一半,則這個三角形為直角三角形。

 ?、?、三角形一邊的平方等于其他兩邊的平方和,則這邊所對的內(nèi)角為直角。

 ?、?、三角形(或多邊形)一邊上的高垂直于這邊。

 ?、?、等腰三角形的頂角平分線(或底邊上的中線)垂直于底邊。

  ⑻、矩形的兩臨邊互相垂直。

 ?、?、菱形的對角線互相垂直。

 ?、?、平分弦(非直徑)的直徑垂直于這條弦,或平分弦所對的弧的直徑垂直于這條弦。

  ⑾、半圓或直徑所對的圓周角是直角。

  ⑿、圓的切線垂直于過切點的半徑。

 ?、?、相交兩圓的連心線垂直于兩圓的公共弦。

  六、證明線段的比例式或等積式的主要依據(jù)和方法:

  1、比例線段的定義。

  2、平行線分線段成比例定理及推論。

  3、平行于三角形的一邊,并且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。

  4、過分點作平行線;

  5、相似三角形的對應(yīng)高成比例,對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

  6、相似三角形的周長的比等于相似比。

  7、相似三角形的面積的比等于相似比的平方。

  8、相似三角形的對應(yīng)邊成比例。

  9、通過比例的性質(zhì)推導(dǎo)。

  10、用代數(shù)、三角方法進行計算。

  11、借助等比或等線段代換。

  七、幾何作圖

  1、掌握最基本的五種尺規(guī)作圖

  ⑴、作一條線段等于已知線段。

 ?、?、作一個角等于已知角。

 ?、恰⑵椒忠阎?。

  ⑷、經(jīng)過一點作已知直線的垂線。

 ?、?、作線段的垂直平分線。

  2、掌握課本中各章要求的作圖題

 ?、?、根據(jù)條件作任意的三角形、等要素那角性、直角三角形。

  ⑵、根據(jù)給出條件作一般四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等。

 ?、?、作已知圖形關(guān)于一點、一條直線對稱的圖形。

  ⑷、會作三角形的外接圓、內(nèi)切圓。

 ?、伞⑵椒忠阎?。

  ⑹、作兩條線段的比例中項。

 ?、?、作正三角形、正四邊形、正六邊形等。

  八、幾何計算

  (一)、角度與弧度的計算

  1、三角形和四邊形的角的計算主要依據(jù)

 ?、?、三角形的內(nèi)角和定理及推論。

  ⑵、四邊形的內(nèi)角和定理及推論。

 ?、?、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理。

  2、弧和相關(guān)的角的計算主要依據(jù)

 ?、?、圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。

 ?、?、圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。

  ⑶、弦切角的度數(shù)等于所夾弧度數(shù)的一半。

  3、多邊形的角的計算主要依據(jù)

 ?、拧邊形的內(nèi)角和=(n-2)*180°

 ?、?、正n邊形的每一內(nèi)角=(n-2)*180°÷n

  ⑶、正n邊形的任一外角等于各邊所對的中心角且都等于

  (二)、長度的計算

  1、 三角形、平行四邊形和梯形的計算

  用到的定理主要有三角形全等定理,中位線定理,等腰三角形、直角三角形、正三角形及各種平行四邊形的性質(zhì)等定理。關(guān)于梯形中線段計算主要依據(jù)梯形中位線定理及等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)定理等。

  2、 有關(guān)圓的線段計算的主要依據(jù)

 ?、?、切線長定理

 ?、?、圓切線的性質(zhì)定理。

 ?、?、垂徑定理。

 ?、取A外切四邊形兩組對邊的和相等。

 ?、?、兩圓外切時圓心距等于兩圓半徑之和,兩圓內(nèi)切時圓心距等于兩半徑之差。

  3、 直角三角形邊的計算

  直角三角形邊長的計算應(yīng)用最廣,其理論依據(jù)主要是勾股定理和特殊角三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)等。

  4、 成比例線段長度的求法

  ⑴、平行線分線段成比例定理;

 ?、啤⑾嗨菩螌?yīng)線段的比等于相似比;

 ?、恰⑸溆岸ɡ?

 ?、取⑾嘟幌叶ɡ砑巴普?,切割線定理及推論;

 ?、伞⒄噙呅蔚倪吅推渌€段計算轉(zhuǎn)化為特殊三角形。

  三、圖形面積的計算

  1、 四邊形的面積公式

 ?、?、S□ABCD = a·h

  ⑵、S菱形 = 1/2a·b (a、b為對角線)

 ?、?、S梯形 = 1/2(a + b)·h = m·h (m為中位線)

  2、 三角形的面積公式

 ?、拧△ = 1/2· a·h

 ?、啤△ = 1/2· P·r(P為三角形周長,r為三角形內(nèi)切圓的半徑)

  3、 S正多邊形 = 1/2· P n·r n = 1/2·n a n·r n

  4、 S圓 =πR2

  5、S扇形 = nπ= 1/2LR

  6、S弓形 = S扇 - S△

  九、證明兩線段相等的方法:

  ⑴、利用全等三角形對應(yīng)線段相等;

 ?、?、利用等腰三角形性質(zhì);

  ⑶、利用同一個三角形中等角對等邊;

  ⑷、利用線段垂直平分線;

 ?、?、角平分線的性質(zhì);

 ?、?、利用軸對稱的性質(zhì);

 ?、恕⑵叫芯€等分線段定理;

 ?、?、平行四邊形性質(zhì);

 ?、?、垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的兩條弧。推論1:平分一條弦所對的弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧。

 ?、?、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系定理及推論;

 ?、?、切線長定理。

  十、證明弧相等的方法:

  ⑴、定義;同圓或等圓中,能夠完全重合的兩段弧。

 ?、?、垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的兩條弧。

  推論1:①平分弦(不是直徑)的直徑垂直弦,并且平分弦所對的兩條弧。

  ②垂直平分一條弦的直線,經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧。

 ?、燮椒忠粭l弦所對的弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧。

  推論2:兩條平行弦所夾的弧相等

 ?、恰A心角、弧、圓周角之間度數(shù)關(guān)系;(圓心角 = 弧 = 2圓周角)

  ⑷、圓周角定理的推論1;(同弧或等弧所對的圓周角相等,同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等)

  十一、切線小結(jié)

  1、證明切線的三種方法:

 ?、?、定義——一個交點;

 ?、?、d=r;(若一條直線到圓心的距離等于半徑,則這條直線是圓的切線)

 ?、恰⑶芯€的判定定理;(經(jīng)過半徑外端,并且垂直這條半徑的直線是圓的切線)

  2、切線的八個性質(zhì):

 ?、?、定義:唯一交點;

  ⑵、切線和圓心的距離等于半徑; (d=r)

 ?、?、切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過切點的半徑;

 ?、取⑼普?:過圓心(且垂直于切線的直線)必過切點;

 ?、伞⑼普?:過切點(且垂直于切線的直線)必過圓心;

 ?、?、切線長相等;過圓外一點作圓的兩條切線,它們的切線長相等,并且這一點和圓心的連線平分兩切線的夾角。

 ?、?、連結(jié)兩平行切線切點間的線段為直徑

  ⑻、經(jīng)過直徑兩端點的切線互相平行。

  3、證明切線的兩種類型:

  ⑴、已知直線和圓相交于一點

  證明方法:連交點,證垂直

  ⑵、未知直線和圓是否相交于哪點或沒告訴交點

  證明方法:做垂直,證半徑

  十二、輔助線的作用與添加方法:

  輔助線是溝通已知與未知的橋梁.現(xiàn)已學(xué)過的添加輔助線方法有:

  1、梯形的七類輔助線:

 ?、?、作梯形的高;

 ?、?、延長兩腰;

 ?、恰⑵揭埔谎?

 ?、?、平移對角線;

  ⑸、利用中點;

 ?、?、連結(jié)兩腰中點;

  2、一般的輔助線

 ?、?、過兩定點作直線;

  ⑵、作三角形的高、中線、角平分線;

 ?、?、延長某一線段;

 ?、?、作一點關(guān)于已知直線的對稱點;

  ⑸、構(gòu)造直角三角形;

 ?、?、作平行線;

 ?、?、作半徑;

 ?、?、弦心距;

  ⑼、構(gòu)造直徑上的圓周角;

 ?、巍蓤A相交時常連公共弦;

 ?、稀?gòu)造相交弦;

 ?、小⒁娭悬c連中點構(gòu)造中位線;

 ?、?、兩圓外切時作內(nèi)公切線;

 ?、?、兩圓內(nèi)切時作外公切線;

 ?、?、作輔助圖形(如勾股定理逆定理的證明中作輔助三角形);

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