在初中教材中，對(duì)二次函數(shù)作了較詳細(xì)的研究，由于初中學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械的，很難從本質(zhì)上加以理解。進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對(duì)他們的基本概念和基本性質(zhì)（圖像以及單調(diào)性、奇偶性、有界性）靈活應(yīng)用，對(duì)二次函數(shù)還需再深入學(xué)習(xí)。
一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念
初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來(lái)加以更深認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為ƒ(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題：
類型I：已知ƒ(x)= 2x2+x+2，求ƒ(x+1)
這里不能把ƒ(x+1)理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。
類型Ⅱ：設(shè)ƒ(x+1)=x2－4x+1,求ƒ(x)
這個(gè)問(wèn)題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則ƒ下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。
一般有兩種方法：
(1)把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。
ƒ(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x2－6x+6
(2) 變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都可適用。
令t=x+1，則x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6從而ƒ(x)= x2－6x+6
二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖像。
在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（－∞，－b2a]及[－b2a，+∞） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺(jué)地利用圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性。
類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并通過(guò)圖像研究其單調(diào)性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖像。
類型Ⅳ設(shè)ƒ(x)=x2－2x－1在區(qū)間[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并畫出 y=g(t)的圖像
解：ƒ(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時(shí)取最小值－2
當(dāng)1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
當(dāng)t＞1時(shí)，g(t)=ƒ(t)=t2－2t－1]
當(dāng)t＜0時(shí)，g(t)=ƒ(t+1)=t2－2
t2－2, (t<0)
g(t)= -2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數(shù)的值域。
三、二次函數(shù)的知識(shí)，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維：
類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的兩個(gè)根x1，x2滿足0<x1<x2<1a。
(Ⅰ)當(dāng)X∈(0,x1)時(shí)，證明X<ƒ(x)<x1。
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)ƒ(x)的圖像關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明x0< x2。
解題思路：
本題要證明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x1和x0< x2 ，由題中所提供的信息可以聯(lián)想到：①ƒ(x)=x，說(shuō)明拋物線與直線y=x在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；②方程ƒ(x)－x=0可變?yōu)閍x2+(b－1)x+1=0，它的兩根為x1,x2，可得到x1,x2與a.b.c之間的關(guān)系式，因此解題思路明顯有三條①圖像法②利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導(dǎo)?，F(xiàn)以思路②為例解決這道題：
(Ⅰ)先證明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因?yàn)閤1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x1)(x－x2)
因?yàn)?<x1<x2,所以,當(dāng)x∈(0,x1)時(shí), x－x1<0, x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0,又a＞0,因此ƒ(x) ＞0,即ƒ(x)-x＞0.至此,證得x<ƒ(x)
根據(jù)韋達(dá)定理,有 x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2<1a，c=ax1x2<x=ƒ(x1), 又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x1), 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線y=ƒ(x)是開(kāi)口向上的拋物線，因此，函數(shù)y=ƒ(x)在閉區(qū)間[0，x1]上的最大值在邊界點(diǎn)x=0或x=x1處達(dá)到，而且不可能在區(qū)間的內(nèi)部達(dá)到，由于ƒ(x1)>ƒ(0)，所以當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)ƒ(x)<ƒ(x1)=x1，
即x<ƒ(x)<x1
(Ⅱ) ∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a（x+－b/2a）2+(c－),（a>0）
函數(shù)ƒ(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=－ b/2a,且是唯一的一條對(duì)稱軸，因此，依題意，得x0=－b/2a，因?yàn)閤1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據(jù)違達(dá)定理得，x1+x2=－b-1a，∵x2－1a<0，
∴x0=－b2a=12（x1+x2－1a）<x2,即x0=x2。
二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的冪函數(shù)，可以以它為代表來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。
二次函數(shù)的內(nèi)容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也多關(guān)注這方面知識(shí)，使我們對(duì)它的研究更深入。