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數(shù)學應用類畢業(yè)論文

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  隨著科技的發(fā)展,社會的進步,數(shù)學應用越來越廣泛,社會對數(shù)學的需求越來越多。下文是學習啦小編為大家搜集整理的關于數(shù)學應用類畢業(yè)論文的內(nèi)容,歡迎大家閱讀參考!

  數(shù)學應用類畢業(yè)論文篇1

  淺談數(shù)學期望的應用

  [摘 要] 離散型隨機變量數(shù)學期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念之一,是用概率論和數(shù)理統(tǒng)計來反映隨機變量取值分布的特征數(shù)。通過探討數(shù)學期望在經(jīng)濟和實際問題中的一些簡單應用,以期讓學生了解數(shù)學期望的理論知識與人類實踐緊密聯(lián)系,它們是不可分割、緊密聯(lián)系的。

  [關鍵詞] 數(shù)學期望;離散型隨機變量

  一、離散型隨機變量數(shù)學期望的內(nèi)涵

  在概率論和統(tǒng)計學中,離散型隨機變量的一切可能的取值xi與對應的概率P(=xi)之積的和稱為數(shù)學期望(設級數(shù)絕對收斂),記為E(x)。數(shù)學期望又稱期望或均值,其含義實際上是隨機變量的平均值,是隨機變量最基本的數(shù)學特征之一。但期望的嚴格定義是∑xi*pi絕對收斂,注意是絕對,也就是說這和平常理解的平均值是有區(qū)別的。一個隨機變量可以有平均值或中位數(shù),但其期望不一定存在。

  二、離散型隨機變量數(shù)學期望的作用

  期望表示隨機變量在隨機試驗中取值的平均值,它是概率意義下的平均值,不同于相應數(shù)值的算術平均數(shù)。是簡單算術平均的一種推廣,類似加權平均。在解決實際問題時,作為一個重要的參數(shù),對市場預測,經(jīng)濟統(tǒng)計,風險與決策,體育比賽等領域有著重要的指導作用,為今后學習高等數(shù)學、數(shù)學分析及相關學科產(chǎn)生深遠的影響,打下良好的基礎。作為數(shù)學基礎理論中統(tǒng)計學上的數(shù)字特征,廣泛應用于工程技術、經(jīng)濟社會領域。其意義是解決實踐中抽象出來的數(shù)學模型進行分析的方法,從而達到認識客觀世界規(guī)律的目的,為進一步的決策分析提供準確的理論依據(jù)。

  三、離散型隨機變量的數(shù)學期望的求法

  離散型隨機變量數(shù)學期望的求法常常分四個步驟:

  1.確定離散型隨機變量可能取值;

  2.計算離散型隨機變量每一個可能值相應的概率;

  3.寫出分布列,并檢查分布列的正確與否;

  4.求出期望。

  四、數(shù)學期望應用

  (一)數(shù)學期望在經(jīng)濟方面的應用

  例1: 假設小劉用20萬元進行投資,有兩種投資方案,方案一:是用于購買房子進行投資;方案二:存入銀行獲取利息。買房子的收益取決于經(jīng)濟形勢,若經(jīng)濟形勢好可獲利4萬元,形勢中等可獲利1萬元,形勢不好要損失2萬元。如果存入銀行,假設利率為5.1%,可得利息11000元,又設經(jīng)濟形勢好、中、差的概率分別為40%、40%、20%。試問應選擇哪一種方案可使投資的效益較大?

  第一種投資方案:

  購買房子的獲利期望是:E(X)=4×0.4+1×0.4+(--2)×0.2=1.6(萬元)

  第二種投資方案:

  銀行的獲利期望是E(X)=1.1(萬元),

  由于:E(X)>E(X),

  從上面兩種投資方案可以得出:購買房子的期望收益比存入銀行的期望收益大,應采用購買房子的方案。在這里,投資方案有兩種,但經(jīng)濟形勢是一個不確定因素,做出選擇的依據(jù)是數(shù)學期望的高低。

  (二)數(shù)學期望在公司需求方面的應用

  例2:某小公司預計市場的需求將會增長。公司的員工目前都滿負荷地工作。為滿足市場需求提高產(chǎn)量,公司考慮兩種方案 :第一種方案:讓員工超時工作;第二種方案:添置設備。

  假設公司預測市場需求量增加的概率為P,當然可能市場需求會下降的概率是1―P,若將已知的相關數(shù)據(jù)列于下表:

  市場需求減(1-p) 市場需求增加(p)

  維持現(xiàn)狀(X)

  20萬 24萬

  員工加班(X)

  19萬 32萬

  耀加設備(X)

  15萬 34萬

  由條件可知,在市場需求增加的情況下,使員工超時工作或添加設備都是合算的。然而現(xiàn)實是不知道哪種情況會出現(xiàn),因此要比較幾種方案獲利的期望大小。用期望值判斷:

  E(X)=20(1-p)+24p,E(X)=19(1-p)+32p,E(X)=15(1-p)+34p

  分兩種情況來考察:

  (1)當p=0.8,則E(X)=23.2(萬),E(X)=29.4(萬),E(X)=30.2(萬),于是公司可以決定更新設備,擴大生產(chǎn);

  (2)當p=O.5,則E(X)=22(萬),E(X)=25.5(萬),E(X)=24.5(萬),此時公司可決定采取員工超時工作的應急措施擴大生產(chǎn)。

  由此可見,從上面兩種情況可以得出:如果p=0.8時,公司可以決定更新設備,擴大生產(chǎn)。如果p=O.5時,公司可決定采取員工超時工作的應急措施。因此,只要市場需求增長可能性在50%以上,公司就應采取一定的措施,以期利潤的增長。

  (三)數(shù)學期望在體育比賽的應用

  乒乓球是我們得國球,全國人民特別愛好,我們在這項運動中具有絕對的優(yōu)勢?,F(xiàn)就乒乓球比賽的賽制安排提出兩種方案:

  第一種方案是雙方各出3人,三局兩勝制,第二種方案是雙方各出5人,五局三勝制。對于這兩種方案, 哪一種方案對中國隊更有利?不妨我們來看一個實例:

  假設中國隊每一位隊員對美國隊的每一位隊員的勝率都為55%。根據(jù)前面的分析,下面我們只需比較兩隊的數(shù)學期望值的大小即可。

  在五局三勝制中,中國隊若要取得勝利,獲勝的場數(shù)有3、4、5三種結(jié)果。我們應用二項式定律、概率方面的知識,計算出三種結(jié)果所對應的概率,恰好獲得三場對應的概率:0.33465;恰好獲得四場對應的概率:0.2512;五場全勝得概率:0.07576.

  設隨機變量X為該賽制下中國隊在比賽中獲勝的場數(shù),則可建立X的分布律:   X 3 4 5

  P 0.33465 0.2512 0.07576

  計算隨機變量X的數(shù)學期望:

  E(X)=3×0.33465+4×0.2512+5×0.07576=2.04651

  在三局兩勝制中,中國隊取得勝利,獲勝的場數(shù)有2、3兩種結(jié)果。對應的概率為=0.412;三場全勝的概率為=0.206。

  設隨機變量Y為該賽制下中國隊在比賽中獲勝的場數(shù),則可建立Y的分布律:

  X 2 3

  Y 0.412 0.206

  計算隨機變量Y的數(shù)學期望:

  E(Y)=2×0.412+3×0.206=1.2

  比較兩個期望值的大小,即有E(X)>E(Y),因此我們可以得出結(jié)論,五局三勝制中國隊更有利。

  因此,我們在這樣的比賽中,五局三勝制對中國隊更有利。在體育比賽中,要看具體的細節(jié),具體情形,把握好比賽賽制,用我們所學習的知識來實現(xiàn)期望值的最大化,做到知己知彼,百戰(zhàn)百勝。

  (四)數(shù)學期望對企業(yè)利潤的評估

  在市場經(jīng)濟活動中,廠家的生產(chǎn)或是商家的銷售.總是追求最大的利潤。在生產(chǎn)過程中供大于求或供不應求都不利于獲得最大利潤來擴大再生產(chǎn)。但在市場經(jīng)濟中,總是瞬息萬變,往往供應量和需求量無法確定。而廠家或商家在一般情況下根據(jù)過去的數(shù)據(jù),再結(jié)合現(xiàn)在的具體情況,具體對象,常常用數(shù)學期望的方法結(jié)合微積分的有關知識,制定最佳的生產(chǎn)活動或銷售策略。

  假定某公司計劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場,并試圖確定其產(chǎn)量。估計出售一件產(chǎn)品,公司可獲利A元,而積壓一件產(chǎn)品,可導致?lián)p失B元。另外,該公司預測產(chǎn)品的銷售量x為一個隨機變量,其分布為P(x),那么,產(chǎn)品的產(chǎn)量該如何制定,才能獲得最大利潤。

  假設該公司每年生產(chǎn)該產(chǎn)品x件,盡管x是確定的.但由于需求量(銷售量)是一個隨機變量,所以收益Y是一個隨機變量,它是x的函數(shù):

  當xy時,y=Ax;

  當xy時,y=Ay--B(x-y)。

  于是期望收益為■問題轉(zhuǎn)化為:

  當x為何值時,期望收益可以達到最大值。運用微積分的知識,不難求得。

  這個問題的解決,就是求目標函數(shù)期望的最大最小值。

  (五)數(shù)學期望在保險中問題

  一個家庭在一年中五萬元或五萬元以上的貴重物品被盜的概率是0.005,保險公司開辦一年期五萬元或五萬元以上家庭財產(chǎn)保險,參加者需繳保險費200元,若在一年之內(nèi), 五萬元或五萬元以上財產(chǎn)被盜,保險公司賠償a元(a>200),試問a如何確定,才能使保險公司期望獲利?

  設X表示保險公司對任一參保家庭的收益,則X的取值為 200或 200�a,其分布列為:

  X 200 200-a

  p 0.995 0.005

  E(x)=200×0.9958+(200-a)×0.005=200-0.005a>0,解得a<40000,又a>100,所以a∈(200,40000)時,保險公司才能期望獲得利潤。

  從上面的日常生活中,我們不難發(fā)現(xiàn):利用所學的離散型隨機變量數(shù)學期望方面的知識解決了生活中的一些具有的,實實在在的問題有大大的幫助。

  因此我們在實際生活中,利用所學的離散型隨機變量數(shù)學期望方面的知識,面對當今信息時代的要求,我們應當思維活躍,敢于創(chuàng)新,既要學習數(shù)學理認方面知識,更應該重視對所學知識的實踐應用,做到理認聯(lián)系實際,學以致用。當然只是實際生活中遇到的數(shù)學期望應用中的一部分而已,還有更多的應用等待我們?nèi)ニ伎?,去發(fā)現(xiàn),去探索,為我們偉大的時代創(chuàng)造出更多的有價值的東西和財富。

  參考文獻:

  [1]中山大學.概率論及數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2009:213-235.

  [2]張志強.隨機置的有關概率問題[J].通信學報,2006.

  [3]趙仁.一個數(shù)學期望性質(zhì)的推廣[J].青島建筑工程學院學報,1997,(04).

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