大學數(shù)學方面論文范文

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　　大學數(shù)學方面論文范文篇1

　　趙爽的數(shù)學哲學思想與應用價值

　　摘要：趙爽是東漢末年至三國時期的著名數(shù)學家，他在《周髀算經(jīng)》的注文中提出許多新的數(shù)學見解。同時，他的數(shù)學思想及方法對中國整個數(shù)學體系的形成及發(fā)展都有著重要的作用。

　　關鍵詞：唐代 絲綢之路 極盛而衰 歷史演變。

　　趙爽是東漢末年至三國時期的著名數(shù)學家，同時也是中國歷史上著名的天文學家，他大約生活在 3 世紀，生卒不詳。他在數(shù)學上的成就主要表現(xiàn)為對勾股定理簡潔的證明，重差術的理論，一元二次方程的求解及根與系數(shù)的關系四個方面的貢獻。2 世紀，趙爽開始深入研究《周髀算經(jīng)》，該書是中國歷史上最古老的天文學著作，其中就有對“勾股圓方圖”的注釋，總結(jié)出中國古代的勾股定理，這是對中國數(shù)學史的巨大貢獻。另外，趙爽還在此基礎上進行了創(chuàng)新，提出了新的證明公式。趙爽在數(shù)學方面的成就主要體現(xiàn)其所撰寫的《勾股圓方圖》，是中國歷史上第一次明確給出勾股定理明確證明的著作，而且這種證明簡單實用，至今仍在沿用。趙爽還創(chuàng)造出世界上最早的求根公式，并對《九章算術》中的分數(shù)計算方法上升到理論高度，創(chuàng)立了“齊同術”,足見稱其為數(shù)學宗師是非常恰當?shù)摹?/p>

　　一、趙爽數(shù)學思想產(chǎn)生的社會背景。

　　1.來源于人類實踐活動的數(shù)學思想。趙爽在《周髀算經(jīng)》的注文中提到“:大禹治水，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，勾股之所由生也。”這就說明，大禹治水時期便采用了疏通河流的辦法使大水流往大海，而無“浸溺逆”,這也是勾股定理產(chǎn)生的重要原因。趙爽的這一思想與古希臘數(shù)學家歐弟姆斯對幾何學的產(chǎn)生的思路不謀而合，歐弟姆斯曾說“:幾何學是埃及人發(fā)現(xiàn)的，是在測量土地的過程中產(chǎn)生的，因為那時候的尼羅河泛濫成災，經(jīng)常沖毀良田，這種幾何學的測量技術是必要的。”[1]17所以，幾何學起源于土地測量，一般從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的民族都有著豐富的幾何學知識。恩格斯曾說，數(shù)學是根據(jù)人的需要產(chǎn)生的，是從丈量土地面積、計算器具容積中產(chǎn)生的，是一種有目的改造客觀世界的活動中產(chǎn)生的。所以，趙爽的數(shù)學思想也來源于實際，以滿足于客觀世界的需要。

　　2.吳國推行發(fā)展教育的文教政策。根據(jù)史料考證，趙爽為三國時期吳國人，由于當時吳國為戰(zhàn)事需要采取了一系列發(fā)展生產(chǎn)的措施，使得社會經(jīng)濟有了較大的進步。同時，在思想及文學領域也出現(xiàn)了秦漢以來前所未有的局面，其中數(shù)學思想的進展尤為明顯。當時的吳國推行了發(fā)展數(shù)學教育的文教政策，孫權于黃武三年推行“改四分，用乾象歷，詔令教學諸子”.永安二年，孫休推行教學為先的政策“,道世冶性，為時養(yǎng)器”.當時吳國推行的這些教育建國，培養(yǎng)人才的措施，極大推進了社會的發(fā)展及經(jīng)濟的繁榮。當時，吳國還在地方設立官學“,濟陽人篤學好古，瑜厚之，使百人受業(yè)，遂立學官”.雖然吳國“學官”措施推行并沒多久，但當時確實出現(xiàn)許多的數(shù)學及天文人才，如陳馳善九章術，與漢代許商、王柔并稱。除官學之外，吳國也非常流行私學，如“虞凡講學不倦，門徒數(shù)百人，又為《老子》、《荀子》、《國語》訓注”.吳國的私學者多潛心學術，熱愛教學工作，對教育事業(yè)全心投入，《周髀算經(jīng)注》中就有“后學之徒知數(shù)皆然”[2]73.

　　二、趙爽的數(shù)學哲學思想與應用價值。

　　1.“數(shù)形”與“歸納、演繹”統(tǒng)一的思想。趙爽在《周髀算經(jīng)注》中提到“:數(shù)之法理出于方圓，方圓者天地之形狀，陰陽之數(shù)，陳方圓之形，以見其象，因奇偶之數(shù)，以制其法。物有方圓，數(shù)有奇偶，天動為圓其數(shù)奇，地靜為方其數(shù)偶。”所以，趙爽的天地之形含有幾何方面的內(nèi)容，同時，數(shù)之法出于圓方也含有代數(shù)思想。就是說，通過數(shù)的計算，著重考察圖形中數(shù)的關系，通過得出的數(shù)值來解決實際生活問題。同時，也可以通過“形”的直觀解決數(shù)的算法，這就將數(shù)形完美結(jié)合在一起。其實，數(shù)與形的結(jié)合并不是偶然產(chǎn)生的，中國作為一個農(nóng)業(yè)大國，在丈量土地、儲存糧食、開挖水渠時都會遇到大量關于面積、體積的問題，如用代數(shù)方法解決幾何問題將起到事半功倍的效果。實際上，數(shù)與形并不是完全分開的，在計算長度、面積的時候就很容易將兩者聯(lián)系起來。趙爽的《周髀算經(jīng)注》便體現(xiàn)這種數(shù)形統(tǒng)一的思想。

　　歸納是將特殊或個別的事物中概括出一般性的結(jié)論，而演繹則是由一般原理推出個別或特殊事物的結(jié)論。歸納與演繹是人們認識事物過程中相輔相成的兩個方面。趙爽的數(shù)學思想中包含歸納、演繹統(tǒng)一的思想，在其《周髀算經(jīng)》注文中提到“:善哉，言明曉之意，所謂問一事而萬事達。”這里的“問一事而萬事達”就是從個別到一般的歸納思維過程。他還曾提到“:引而伸之，觸類而長之，天下事畢矣。”[3]77這又從一般原理引申出個別的演繹思維過程。所以，趙爽在數(shù)學研究中將歸納與演繹兩者統(tǒng)一起來“,勾股各自乘，并之為弦實，開方除之即為弦”.這就是從個別到一般的推理過程。所以，驗證數(shù)學命題的真?zhèn)尉托枰ㄟ^演繹推理來實現(xiàn)。趙爽在其《勾股圓方圖注》中有十多個命題，并全部采用演繹推理的方式給出了證明。

　　2.“變與不變”的思維方法及“實用”的數(shù)學思想。客觀事物是不斷發(fā)生變化的，且事物的大多數(shù)性質(zhì)也會發(fā)生改變，而有些性質(zhì)卻相對穩(wěn)定，這就是變與不變的性質(zhì)，即事物的相對穩(wěn)定性。趙爽在證明勾股定理的過程中，就是將圓形進行“割補”,其面積卻保持不變，這即為“變與不變”數(shù)學思維，趙爽通過“割補”的方式證明勾股定理是非常巧妙的，他說“形詭而量均，體殊而數(shù)齊”,即體形雖然有差異，但數(shù)量是不變的。將一個形體首先分割為有限的分體，然后再拼湊起來，便成為一個與它等面積的新個體。趙爽的這一“變與不變”思想對中國古代幾何的發(fā)展有著重要影響。劉徽在其《九章算術注》中將這種出入相補的思想視作以后“演段法”的基礎。中國傳統(tǒng)數(shù)學的平面幾何問題一般都采用這種“出入相補”的拼湊方法進行處理。直到 12 世紀，國外才有關于趙爽這種“割補”方法的證明，由當時印度數(shù)學家巴斯卡蘭給出，晚于趙爽的近九百多年。

　　數(shù)學來源于實際并應用于實際，作為一門研究空間形式與數(shù)量關系的科學，數(shù)學有廣泛的用途。中國古代傳統(tǒng)數(shù)學是以實用為目的的，其內(nèi)容大多與生產(chǎn)及生活實際相關，并廣泛用于生產(chǎn)生活各方面，這也使得中國傳統(tǒng)數(shù)學長期處于世界數(shù)學的領先地位。趙爽也有著深厚的數(shù)學實用思想，他在《周髀算經(jīng)》的注文中提到“:萬事萬物圓方用矣，大匠造制而有規(guī)矩。”所以，他明確指出圓方的設計可用于萬事萬物“,大匠造制”則充分說明數(shù)學應用的廣泛性及其價值意義。

　　三、趙爽的數(shù)學成就及重要歷史貢獻。

　　1.《周髀算經(jīng)注》透析了數(shù)學之理。南宋數(shù)學家稱趙爽為“乘勾股竹黃之實，以近開方之妙，百世之下莫人能及，算學宗師也”.趙爽在他的《周髀算經(jīng)注》中詳細注解了勾股術法之妙，透析了數(shù)學教育之理。根據(jù)史料考證，趙爽曾經(jīng)深入研究了劉洪撰寫的《乾象歷》及天文學家張衡的《靈憲》等著作，并多次談及算學之術。在出入相補方面，圖形的總面積總保持不變，這就是趙爽創(chuàng)立的“割補之術”.同時，他還為《九章算術》進行了注釋，并將其歸納為出入相補原理，這也成為后世“演段術”形成的重要基礎。另外，趙爽還在其注文中提到與韋達定理類似的結(jié)果，并進一步研究一元二次方程的解法，證明了與其相關的二十多個命題。其實，趙爽還是一個未脫離體力勞動的數(shù)學家，他曾說自己一直在從事體力勞動的時候進行《周髀》的研究工作，最終完成了《周髀算經(jīng)注》。該作品大約成書于前 100 年前后，是一部關于構(gòu)圖定律、分數(shù)運算的數(shù)學著作。在《周髀算經(jīng)注》中，趙爽對原作的經(jīng)文進行逐段逐句的解讀，其中尤以勾股圓方圖最為精彩，簡練的五百多字高度概括了《周髀算經(jīng)》的主要內(nèi)容。

　　2.推動中國傳統(tǒng)數(shù)學思想的發(fā)展。在相當長的時間內(nèi)，中國的數(shù)學長期處于世界領先地位。數(shù)學作為一門研究空間與數(shù)量關系的學科，有著現(xiàn)實的應用需要，中國傳統(tǒng)數(shù)學體系就是在此基礎上建立的，并廣泛應用于社會實際。趙爽的數(shù)學思想極大地推動了中國傳統(tǒng)數(shù)學的發(fā)展，同時在傳統(tǒng)數(shù)學思想的影響下，趙爽在其《周髀算經(jīng)》的注文中多次證明了數(shù)學的實際操作意義及應用的廣泛性。趙爽曾指出，為了有效解決實際問題，通過考察圖形中的數(shù)量關系及運算關系，就可以得到人們所需要的數(shù)值。趙爽認為“:夫高者莫大于天，厚廣者莫廣于地，皆可導儀驗其長短。”他將自然界看作是一個相互聯(lián)系的物質(zhì)集合，并可以通過儀器間接測量出來。趙爽認為數(shù)學能應用于天地之道，神明之德，這是其承襲中國歷代數(shù)學家思想的反映。他對商高的測量方法中提到“:以水繩之，慎毫厘之差，防千里之失，既可追求情理，又可造制畫方。”[4]57這段內(nèi)容記述了趙爽通過勾股定理進行測量的方法，充分體現(xiàn)其經(jīng)世致用的實用思想。

　　3.數(shù)學與數(shù)學教育方面的創(chuàng)新。《周髀算經(jīng)》采用問答的形式，由此可知其屬于數(shù)學教材，而趙爽的《周髀算經(jīng)注》則屬于數(shù)學教材的指導用書，他在《周髀算經(jīng)注》中的“統(tǒng)敘群倫，裁制萬物”思想，展示其先進的數(shù)學教育思想。《周髀算經(jīng)》中有對勾股定理經(jīng)典的描述，即“勾廣三，股修四，徑隅五”.然而，在趙爽的注文中則給出了勾股定理的一般形式，即“勾股各自乘，并之為弦實”,這就將數(shù)學知識推廣開來。趙爽繼承了孔子的啟發(fā)式教學模式“,凡教之道， 舉一隅，反之以三也”.他還根據(jù)自己多年的數(shù)學教學經(jīng)驗，總結(jié)出數(shù)學教育的一般規(guī)律，最后達到“啟發(fā)”的效果。其實，學習是一項艱苦的智力勞動，只有學思結(jié)合才能最終完成“,不精思，不學習，則言吾無隱”.所以，趙爽一直反對反而不思的學習方式，并提倡“精思、善思、深思”,這樣才能開闊思維。“言吾無隱”便是引用孔子的教學思想，即“盡其知”,毫無隱瞞。所以，趙爽還是一位“不隱其學”的數(shù)學教育家。趙爽的“熟思”理念，就是強調(diào)要發(fā)展學生的思維，調(diào)動其學習的積極性，同時引導學生獨立思考。由此可知，趙爽不但在數(shù)學上有著極高的造詣，而且還是在數(shù)學教育上有著較高水平的數(shù)學大師。在數(shù)學教育上，趙爽的“貫幽人微，鉤深致遠”思想，便是對數(shù)學學習過程及學生心理狀態(tài)的把握。他總結(jié)的“審問、累思、所學、通類、精習”五個學習環(huán)節(jié)是一種由感性到理性的認識過程，這也是儒家學習論的核心。

　　參考文獻：

　　[1]唐斌如。趙爽的數(shù)學哲學思想[J].南昌教育學院學報，2009(4)。

　　[2]陳德華。中國古代算家的成就與治學思想[M].云南大學出版社，1998(3)。

　　[3]童建華。算學宗師趙爽的數(shù)學教育思想[J].西南民族大學學報，2009(1)。

　　[4]郭樹春。中國科學技術典籍通匯[M].河南教育出版社，2005(5)。

　　大學數(shù)學方面論文范文篇2

　　淺談數(shù)學概念在數(shù)學中的備課

　　摘要：淺談數(shù)學概念課在教學的備課中應做好兩點工作：1、吃透教材;2、把握住“概念教學”的三個環(huán)節(jié)。

　　關鍵詞：通讀教材;閱讀資料;三個環(huán)節(jié)

　　中學數(shù)學知識可分成三大部分：數(shù)學概念、數(shù)學命題和數(shù)學論證。對“數(shù)學概念”的理解程度直接影響著另外兩大部分數(shù)學知識的學習。關于這個認識，我們數(shù)學教師應有同感，也應付諸于數(shù)學實踐，更應該圍繞“數(shù)學概念”教學的程序做大量的準備工作。本文僅以“學術概念”的教學備課這方面，談一下個人所見，僅供參考。

　　中學“數(shù)學概念”的備課工作，應重點解決一下兩個問題：

　　1通讀教材，廣泛閱讀相關資料，為“吃透”教材理解、掌握概念，打下堅實基礎。

　　備課中，首先通讀教材，是數(shù)學概念教學的必要條件，教師須自覺地依據(jù)教材、大綱進行教學。對教材中出現(xiàn)的知識點，表述方法等相關內(nèi)容，如有異議，就必須以誠懇的態(tài)度，堅強的毅力去研究、探索，充分理解教材中的意圖。例如：關于“絕對值”的概念。數(shù)學教師都有一種直觀通俗的理解。所謂絕對值，就是去掉性質(zhì)符號的數(shù)。如+4(或-4)的絕對值，就是去掉“+4(或-4)”前的“+”或“-”號的數(shù)4。同時教材又用黑體字定義“一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離”。這是絕對值的幾何意義，而后又從代數(shù)的角度做進一步的說明：(1)正數(shù)的絕對值是它本身(2)負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)(3)零的絕對是是零;并利用字母表示數(shù)，用式子給出了絕對值的代數(shù)形式的定義。而以前的教材是通過聯(lián)系生活的實例直接引出絕對值的代數(shù)意義，這種“代數(shù)定義”的說法教材中并沒有，這是教參中“指出”的。“指出”的言外之意是指絕對值還有個幾何定義。現(xiàn)行教材便采取的是這個幾何定義。前后教材對絕對值概念的解釋是不同的，但對現(xiàn)行教材的意圖稍加思索，自然是便于學生接受和理解絕對值的概念。因此，教師在備課時應重點向?qū)W生闡明幾何意義。以便學生在今后的學習中應用。

　　另外，對于每一個重點，難點概念，教師應盡量做到“博覽群書”，也只有這樣，才能真正具備駕馭教材的能力，也沒有一個不是受益于廣泛閱讀的教師。因此，教師應廣泛閱讀相關資料，拓寬知識視野，注重知識積累，發(fā)揮自己的特長，以不斷適應新的教育現(xiàn)實。

　　2把握住“概念教學”的三個環(huán)節(jié)

　　數(shù)學概念的教學在經(jīng)過“博覽”步驟之后，應及時轉(zhuǎn)入“精取”階段，把握好“概念教學”的三個環(huán)節(jié)。

　　第一：準確地掌握概念的內(nèi)涵與外延。所謂內(nèi)涵，就是概念的基本屬性。它的本質(zhì)屬性無疑是核心，是區(qū)別于其他事物的根本。沒有對概念本質(zhì)屬性的深刻理解和牢固記憶，就談不上掌握和理解概念。例如：關于“等式”這一概念，教材上講“表示相等關系的式子叫等式”，教材上對之并沒有進一步的說明，但我們備課時一定要搞清等式的本質(zhì)。它也是“判斷一件事情的語句”，就其本質(zhì)而言，一個等式就是一個命題，它有真假之分，等式也有成立的等式，也有不成立的等式。這一點對學生來講更難理解，教師應下功夫向?qū)W生闡述清楚。否則會影響學生學習其他知識。

　　內(nèi)涵的探究重要，外延的研究也不可缺少。所謂外延，是指概念所涉及對象的范圍界限，兩者結(jié)合起來，有主次分明之別。相互補充，才能全面實現(xiàn)明確概念的目的。因此在講解概念內(nèi)涵的同時，也應及時研究其外延，并對其外延不同程度的給出定義。例如：“代數(shù)式”這個概念，教材上先后從其內(nèi)涵上定義了代數(shù)式、單項式、多項式，這事實上就其外延而講它們都是整式。但作為教師應考慮到代數(shù)式分別有有理式和無理式兩大類，有理式可分為整式和分式兩類，這個外延分類的知識結(jié)構(gòu)要牢固掌握，作為教師應站在較高的角度把握知識結(jié)構(gòu)，以便為以后學生學習其他知識埋下伏筆，同時講玩某一概念的本質(zhì)屬性后，應及時總結(jié)，引導學生從外延的角度進一步搞清概念之間的聯(lián)系。

　　第二：搞清概念在其所處知識體系中的地位及作用，也就是它所屬的類型，它與其他概念之間的聯(lián)系等。中學數(shù)學之間的聯(lián)系一般是從其外延開始，發(fā)生了縱向上的主從關系和橫向上的同一交叉，并列對立等邏輯關系。這些邏輯關系的存在是不可忽視的。例如：點和圓、直線和圓、圓和圓、多邊形和圓之間的關系，就是一種很系統(tǒng)的圖形之間的位置關系。這種系統(tǒng)的位置關系教師在備課時若不能以系統(tǒng)的觀點去認真?zhèn)湔n，那么無論從哪方面來講，都是沒有吃透教材，也不會產(chǎn)生最佳教學效果。

　　第三，準確地掌握“數(shù)學概念”在定義、名稱及符號在不同層次的識記信息。

　　每個數(shù)學概念都有定義和名稱，多數(shù)情況下還有它自己的符號。概念的定義是揭示其內(nèi)涵的語言表達方式，名稱是人們在使用概念時對它的簡稱。符號則是人們書寫或記錄概念時所采用的一種簡記標志。一個概念有了自己的意義，可使人們對概念有一個賴以進行判斷推理和交流思想的基準和形象。有了名稱不但表述起來語言精練，而且簡明易懂，有了符號，不但書寫方便，而且直觀醒目。總之，三者都是直接或間接反映或表述同一內(nèi)容——概念的本質(zhì)屬性的，是密不可分的。在概念教學及備課過程中，教師必須掌握好這三種識記信息。以促使某些數(shù)學能力的形成和發(fā)展。