2017大學數(shù)學畢業(yè)論文

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　　2017大學數(shù)學畢業(yè)論文篇1

　　幾類特殊函數(shù)的性質(zhì)及應用

　　【摘要】本文將對數(shù)學分析中特殊函數(shù)，諸如伽瑪函數(shù)、貝塔函數(shù)貝塞爾函數(shù)等超幾何數(shù)列函數(shù)，具有特殊的性質(zhì)和特點，在現(xiàn)實中得到大量的運用的函數(shù)。本文主要以簡單介紹以上三種特殊函數(shù)性質(zhì)，及其在其它領域的應用，諸如利用特殊函數(shù)求積分，利用特殊函數(shù)解相關(guān)物理學問題。本文首先以回顧學習幾類常見特殊函數(shù)概念、性質(zhì)，從而加深讀者理解，然后以相關(guān)實例進行具體分析，從而達到靈活應用的目的。

　　【關(guān)鍵詞】特殊函數(shù);性質(zhì);應用;伽馬函數(shù);貝塔函數(shù);貝塞爾函數(shù);積分

　　1.引言

　　特殊函數(shù)是指一些具有特定性質(zhì)的函數(shù)，一般有約定俗成的名稱和記號，例如伽瑪函數(shù)、貝塔函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等。它們在數(shù)學分析、泛函分析、物理研究、工程應用中有著舉足輕重的地位。許多特殊函數(shù)是微分方程的解或基本函數(shù)的積分，因此積分表中常常會出現(xiàn)特殊函數(shù)，特殊函數(shù)的定義中也經(jīng)常會出現(xiàn)積分。傳統(tǒng)上對特殊函數(shù)的分析主要基于對其的數(shù)值展開基礎上。隨著電子計算的發(fā)展，這個領域內(nèi)開創(chuàng)了新的研究方法。

　　由于特殊函數(shù)是數(shù)學分析中的一種重要工具，因此特殊函數(shù)的學習及應用非常重要。本文歸納出特殊函數(shù)性質(zhì)、利用特殊函數(shù)在求積分運算中的應用、特殊函數(shù)在物理學科方面的應用，利用Matlab軟件畫出一些特殊函數(shù)的圖形，主要包含內(nèi)容有：定義性質(zhì)學習，作積分運算，物理知識中的應用，并結(jié)合具體例題進行了詳細的探究和證明。

　　特殊函數(shù)定義及性質(zhì)證明

　　特殊函數(shù)學習是數(shù)學分析的一大難點,又是一大重點,求特殊函數(shù)包含很多知識點,有很多技巧,教學中可引導學生以探究學習的方式進行歸納、總結(jié);一方面可提高學生求函數(shù)極限的技能、技巧;另一方面也可培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸類的能力,對學生的學習、思考習慣,很有益處。

　　特殊函數(shù)性質(zhì)學習及其相關(guān)計算，由于題型多變，方法多樣，技巧性強，加上無固定的規(guī)律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn)，因此難度較大。解決這個問題的途徑主要在于熟練掌握特殊函數(shù)的特性和一些基本方法。下面結(jié)合具體例題來探究特殊函數(shù)相關(guān)性質(zhì)及應用。

　　2.伽馬函數(shù)的性質(zhì)及應用

　　2.1.1伽馬函數(shù)的定義：

　　伽馬函數(shù)通常定義是：這個定義只適用于的區(qū)域，因為這是積分在t=0處收斂的條件。已知函數(shù)的定義域是區(qū)間，下面討論Г函數(shù)的兩個性質(zhì)。

　　2.1.2Г函數(shù)在區(qū)間連續(xù)。

　　事實上，已知假積分與無窮積分都收斂，則無窮積分在區(qū)間一致收斂。而被積函數(shù)在區(qū)間D連續(xù)。Г函數(shù)在區(qū)間連續(xù)。于是，Г函數(shù)在點z連續(xù)。因為z是區(qū)間任意一點，所以Г函數(shù)在區(qū)間連續(xù)。

　　2.1.3，伽馬函數(shù)的遞推公式

　　此關(guān)系可由原定義式換部積分法證明如下：

　　這說明在z為正整數(shù)n時，就是階乘。

　　由公式(4)看出是一半純函數(shù)，在有限區(qū)域內(nèi)的奇點都是一階極點，極點為z=0,-1,-2,...,-n,....

　　2.1.4用Г函數(shù)求積分

　　2.2貝塔函數(shù)的性質(zhì)及應用

　　2.2.1貝塔函數(shù)的定義：

　　函數(shù)稱為B函數(shù)(貝塔函數(shù))。

　　已知的定義域是區(qū)域，下面討論的三個性質(zhì)：

　　貝塔函數(shù)的性質(zhì)

　　2.2.2對稱性：=。事實上，設有

　　2.2.3遞推公式：，有事實上，由分部積分公式，，有

　　即

　　由對稱性，

　　特別地，逐次應用遞推公式，有

　　而，即

　　當時，有

　　此公式表明，盡管B函數(shù)與Г函數(shù)的定義在形式上沒有關(guān)系，但它們之間卻有著內(nèi)在的聯(lián)系。這個公式可推廣為

　　2.2.4

　　由上式得以下幾個簡單公式：

　　2.2.5用貝塔函數(shù)求積分

　　例2.2.1

　　解：設有

　　(因是偶函數(shù))

　　例2.2.2貝塔函數(shù)在重積分中的應用

　　計算，其中是由及這三條直線所圍成的閉區(qū)域，

　　解：作變換且這個變換將區(qū)域映照成正方形：。于是

　　通過在計算過程中使用函數(shù)，使得用一般方法求原函數(shù)較難的問題得以輕松解決。

　　2.3貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)及應用

　　2.3.1貝塞爾函數(shù)的定義

　　貝塞爾函數(shù)：二階系數(shù)線性常微分方程稱為λ階的貝塞爾方程，其中y是x的未知函數(shù)，λ是任一實數(shù)。

　　2.3.2貝塞爾函數(shù)的遞推公式

　　在式(5)、(6)中消去則得式3，消去則得式4

　　特別，當n為整數(shù)時，由式(3)和(4)得：

　　以此類推，可知當n為正整數(shù)時，可由和表示。

　　又因為

　　以此類推，可知也可用和表示。所以當n為整數(shù)時，和都可由和表示。

　　2.3.3為半奇數(shù)貝塞爾函數(shù)是初等函數(shù)

　　證：由Г函數(shù)的性質(zhì)知

　　由遞推公式知

　　一般，有

　　其中表示n個算符的連續(xù)作用，例如

　　由以上關(guān)系可見，半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)(n為正整數(shù))都是初等函數(shù)。

　　2.3.4貝塞爾函數(shù)在物理學科的應用：

　　頻譜有限函數(shù)新的快速收斂的取樣定理，.根據(jù)具體問題，利用卷積的方法還可以調(diào)節(jié)收斂速度，達到預期效果，并且計算亦不太復雜。由一個函數(shù)的離散取樣值重建該函數(shù)的取樣定理是通信技術(shù)中必不可少的工具，令

　　稱為的Fourier變換。它的逆變換是

　　若存在一個正數(shù)b，當是b頻譜有限的。對于此類函數(shù)，只要取樣間隔，則有離散取樣值(這里z表示一切整數(shù)：0,)可以重建函數(shù)，

　　這就是Shannon取樣定理。Shannon取樣定理中的母函數(shù)是

　　由于Shannon取樣定理收斂速度不夠快，若當這時允許的最大取樣間隔特征函數(shù)Fourier變換：

　　以下取樣方法把貝塞爾函數(shù)引進取樣定理，其特點是收斂速度快，且可根據(jù)實際問題調(diào)節(jié)收斂速度，這樣就可以由不太多的取樣值較為精確地確定函數(shù)。

　　首先建立取樣定理

　　設：

　　其中是零階貝塞爾函數(shù)。構(gòu)造函數(shù)：

　　令

　　經(jīng)計算：

　　利用分部積分法，并考慮到所以的Fourier變換。

　　通過函數(shù)卷積法，可加快收斂速度，使依據(jù)具體問題，適當選取N，以達到預期效果，此種可調(diào)節(jié)的取樣定理，計算量沒有增加很多。?。?/p>

　　類似地

　　經(jīng)計算：

　　經(jīng)計算得：

　　則有：設是的Fourier變換，

　　記則由離散取樣值

　　因為，故該取樣定理收斂速度加快是不言而喻的，通過比較得，計算量并沒有加大，而且N可控制收斂速度。

　　例2.4，利用

　　引理：當

　　當

　　因為不能用初等函數(shù)表示，所以在求定積分的值時，牛頓-萊布尼茨公式不能使用，故使用如下計算公式

　　首先證明函數(shù)滿足狄利克雷充分條件，在區(qū)間上傅立葉級數(shù)展開式為：

　　(1)

　　其中

　　函數(shù)的冪級數(shù)展開式為：

　　則關(guān)于冪級數(shù)展開式為： (2)

　　由引理及(2)可得

　　(3)

　　由階修正貝塞爾函數(shù)

　　其中函數(shù)，且當為正整數(shù)時，取，則(3)可化為

　　(4)

　　通過(1)(4)比較系數(shù)得

　　又由被積函數(shù)為偶函數(shù)，所以

　　公式得證。

　　3.結(jié)束語

　　本文是關(guān)于特殊函數(shù)性質(zhì)學習及其相關(guān)計算的探討，通過對特殊函數(shù)性質(zhì)的學習及其相關(guān)計算的歸納可以更好的掌握特殊函數(shù)在日常學習中遇到相關(guān)交叉學科時應用，并且針對不同的實例能夠應用不同的特殊函數(shù)相關(guān)性質(zhì)進行證明、計算，從而更加簡潔，更加合理的利用特殊函數(shù)求解相關(guān)問題。有些特殊函數(shù)的應用不是固定的，它可以通過不止一種方法來證明和計算，解題時應通過觀察題目結(jié)構(gòu)和類型，選用一種最簡捷的方法來解題。

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　　2017大學數(shù)學畢業(yè)論文篇2

　　關(guān)于數(shù)學思維與數(shù)學教育的思考

　　摘要：關(guān)于數(shù)學思維與數(shù)學教育的思考，。

　　關(guān)鍵詞：關(guān)于數(shù)學思維與數(shù)學教育的思考

　　數(shù)學教育的一個重要任務就是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。努力提高學生的數(shù)學思維能力.不僅是數(shù)學教育進行“再教育”的需要，更重要的是培養(yǎng)能思考，會運籌善于隨機應變.適應信息時代發(fā)展的合格公民的需要。本文從數(shù)學思維的特征，品質(zhì)出發(fā).結(jié)合中學數(shù)學教育的實際.探討了中學數(shù)學教育如何有效地培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力的問題.

　　1、數(shù)學思維及其特征

　　思維就是人腦對客觀事物的本質(zhì)、相互關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律性的概括與間接的反映。而數(shù)學思維就是人腦關(guān)于數(shù)學對象的思維.數(shù)學研究的對象是關(guān)于現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系.因而數(shù)學思維有其自己的特征.

　　第一，策略創(chuàng)造與邏輯演繹的有機結(jié)合。

　　一個人的數(shù)學思維包括宏觀和微觀兩個方面。宏觀上.數(shù)學思維活動是生動活潑的策略創(chuàng)造.其中包括直覺、歸納、猜測、類比聯(lián)想、合情推理、觀念更新、頓悟技巧等方面，微觀上，要求數(shù)學思維具有嚴謹性.要求嚴格遵守邏輯思維的基本規(guī)律.要言必有據(jù)，步步為營，進行嚴格的邏輯演繹。事實上.任何一種新的數(shù)學理論.任河一項新的數(shù)學發(fā)明.只靠嚴謹?shù)倪壿嬔堇[是推不出來的.必須加上生動的思維創(chuàng)造.諸如特殊化一般化.歸納、類比、頓悟等等。一旦有了新的想法.采取了新的策略.掌握了新的技巧.通過反復深入地提出猜想.加以修正.不斷完善.才有可能產(chǎn)生新的數(shù)學理論。

　　也可以說.數(shù)學思維過程總是似真推理與邏輯推理相互交織的過程。似真推理起著為邏輯思維探路.定向的作用.可以用來幫助在數(shù)學領域中發(fā)現(xiàn)新命題.提出可能的結(jié)論.找到解題的途徑與方法等。其中.類比推理和不完全歸納推理更是兩種重要的策略推理形式;而邏輯推理則是似真推理的延續(xù)和補充.由似真推理所獲得的結(jié)論.往往需要借助邏輯推理作進一步的論證、證實。因此.數(shù)學思維只有將策略創(chuàng)造與邏輯演繹有機結(jié)合.才能顯示出強大的生命力。

　　第二、聚合思維與發(fā)散思維的有機結(jié)合。

　　發(fā)散思維是指從不同方向、不同側(cè)面去考慮問題，從多種途徑去求得解答的一種思維活動.它是創(chuàng)造性思維的一個重要特征.其特點是具有流暢性、變通性和獨特性。通常所說的一題多解.多題一解.命題推廣、升維策略、降維策略等都于這方面的反映。聚合思維是以“集中”為特點的一種思維.其特點是具有指向性、比較性、程性等。在數(shù)學思維活動中，這兩種思維也是常常被交替使用的。在解決一個較為復雜的數(shù)學問題時，為了探查解題思路.人們總是要將思維觸角伸向問題的各個方面.考慮各種可能的解模式.并不斷地進行嘗試.設法找到具體的思路.在探測思路的過程中.又要對具體問題進行具體分析，要集中注意力，集中攻擊目標，找到問題的突破口或關(guān)鍵。因此，在數(shù)學教學中.要注將聚合思維與發(fā)散思維有機結(jié)合，特別要重視發(fā)散發(fā)性思維的訓練。

　　2、數(shù)學思維品質(zhì)

　　數(shù)學思維能力高低的重要標志是數(shù)學思維品質(zhì)的優(yōu)劣，為了提高學生的數(shù)學思維能力，弄清數(shù)學思維品質(zhì)的內(nèi)容是必要的，但對這個問題的爭論很多，我們認為數(shù)學思維品質(zhì)至少應包含以下幾個方面的內(nèi)容。

　　第一，思維的靈活性，它是指思維轉(zhuǎn)向的及時性以及不過多地受思維定向的影響。

　　善于從舊的模式或通常的制約條件中擺脫出來。思維靈活的學生，在數(shù)學學習中，善于進行豐富的聯(lián)想，對問題進行等價轉(zhuǎn)換，抓住問題的本質(zhì)，快速及時地調(diào)整思維過程。

　　第二，思維的批判性。

　　它是指對已有的數(shù)學表述或論證提出自己的見解，不是盲目服從，對于思想上已經(jīng)完全接受了的東西，也要謀求改善，包括修正、改進自己原有的工作，事實上，數(shù)學本身的發(fā)展就是一個“不斷提出質(zhì)疑，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題進行爭論。直到解決問題的過程。

　　第三、思維的嚴謹性。

　　它是指考慮問題的嚴密、準確、有根有據(jù)。在思維過程中，善于運用直觀的啟迪，但不停留在直觀的認識水平上;注重運用類比、猜想、但不輕信類比，猜想的結(jié)果;審題時不但要注意明顯的條件.而且要挖掘其中隱含的不易被察覺的條件:運用定理、公式時要注意定理、公式成立的條件;在概念數(shù)學中，要弄清概念的內(nèi)涵與外延.仔細區(qū)分相近或易混的概念，正確地運用概念，在解決問題時，要給出問題的全部解答，不重不漏，這些都是思維嚴謹性的表現(xiàn)。

　　第四、思維的廣闊性。

　　它是指思維的視野開闊，對一個問題能從多方面洞察。具體表現(xiàn)為對一個事實能從多方面解釋.對一個對象能用多種方式表達，對一個題目能想出各種不同的解法.等等。如果把數(shù)學比作一座大城市.那么它間四面八方延伸的大路.正好表現(xiàn)出數(shù)學思維發(fā)展和應用的廣闊性。

　　第五、思維的深刻性。

　　它是指數(shù)學思維的抽象邏輯性的深刻程度.是抽象慨括能力的重要標志.它以抽象思維為基礎.對事物在感性認識的基礎上.經(jīng)過“去粗取精.去偽存真，由此及彼.由表及理”的加工制作.上升到理性認識。它要求人們在考慮問題時，一入門就能抓住事物的本質(zhì).把握事物的規(guī)律.能發(fā)現(xiàn)常人不易發(fā)現(xiàn)的事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。

　　第六、思維的敏捷性。

　　它是思維速度與效率的標志.它以思維的合理性為基礎.所謂合理性.主要反映在解決問題時.方法簡明.單刀直入，不走彎路，它往往是思維深刻性.靈活性的派生物。

　　第七、思維的獨創(chuàng)性。

　　它以直覺思維和發(fā)散思維為基礎，善于對知識、經(jīng)驗從思維方法的高度上進行概括，靈活遷移.重新組合，在更高的層次上作移植與雜交.思人所未思.想人所未想，具有思維新穎，別具一格.出奇制勝，異峰突起，獨樹一幟等特點。

　　以上，我們列舉了數(shù)學思維品質(zhì)的幾個方面.這些方面是相互聯(lián)系.互為補充的，是一個有機結(jié)合的統(tǒng)一體。數(shù)學教育中.要根據(jù)不同的素材.靈活選擇恰當?shù)慕虒W方法.有意識、有計劃、有目的的培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì)。

　　3、培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質(zhì)的教學方法

　　數(shù)學教育必須重視數(shù)學思維品質(zhì)的培養(yǎng);數(shù)學教育也有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)。蘊含在數(shù)學材料中的概念、原理、思想方法等.是培養(yǎng)學生良好思維品質(zhì)的極好素材.作為數(shù)學教師，只有在培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)方面下功夫.方能有效地提高數(shù)學教學的質(zhì)量。

　　第一、應使學生對數(shù)學思維本身的內(nèi)容有明確的認識。

　　長期以來，在數(shù)學教學中過分地強調(diào)邏輯思維，特別是演繹邏輯，都是教師注重給學生灌輸知識.忽視了思維能力的培養(yǎng).只注重結(jié)論，忽視了知識發(fā)生過程的教學，造成學生機械模仿，加大練習量，搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，抑制了學生良好的數(shù)學思維品質(zhì)的形成。我們應當使學生明白，學習數(shù)學，不僅僅是為了學到一些實用的數(shù)學知識，更重要的是得到數(shù)學文化的熏陶。其中包括數(shù)學思維品質(zhì).數(shù)學觀念.數(shù)學思想和方法等，因此，數(shù)學教師必須從培養(yǎng)學生的優(yōu)秀思維品質(zhì)出發(fā).沖破傳統(tǒng)數(shù)學教學中把數(shù)學思維單純理解為邏輯思維的舊觀念，直覺、想象、合情推理、猜測等非邏輯思維也作為數(shù)學思維的重要組成部分.在數(shù)學教學中，要通過恰當?shù)耐緩?，引導學生探索數(shù)學問題，要充分暴露數(shù)學思維過程，這樣，數(shù)學教育就不僅僅是賦予給學生以“再現(xiàn)性思維”.更重要的是給學生賦予了“發(fā)現(xiàn)性思維”。

　　第二、優(yōu)化課堂教學結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)思維品質(zhì)教育的最優(yōu)化。

　　優(yōu)良思維品質(zhì)的培養(yǎng)，是滲透在數(shù)學教育的各個環(huán)節(jié)之中的，但中心環(huán)節(jié)是在課堂教學方面。因此.我們必須緊緊抓好課堂教學這個環(huán)節(jié)。在課堂教學中，學生的思維過程，實質(zhì)上主要是揭示和建二新舊知識聯(lián)系的過程當然也包含了建立新知識同個體的新的感知的聯(lián)系。在這里我們要特別強調(diào)知識發(fā)生過程的教學。所謂知識發(fā)生過程，通常指的是概念的形成過程，結(jié)論的探索與推導過程.方法的思考過程。這些實際上是學生學習的主要思維過程，為了加強知識發(fā)生過程的教學，我們可從如下幾個方面著手:首先.要創(chuàng)設問題情境.激起意向.弓i_起動機。思維處問題起，善于恰到好處地建立問題情境，可以調(diào)動學生的學習積極性，使之開啟思維之門其次.要注重概念形成過程的教學。

　　概念是思維的細胞.在科學認識中有重大作用。因此，數(shù)學教學必須十分重視概念的準確度與清晰度。概念的形成過程是數(shù)學教學中最重要的過程之一。那種讓學生死記硬背概念.忽視概念形成過程以圖省事的做法是實在不可取的。有經(jīng)驗的教師把概念的形成過程歸結(jié)為.“引進一醞釀一建立一鞏固一發(fā)展”這樣五個階段，采用靈活的教學方法.取得了良好的教學效果最后.要重視數(shù)學結(jié)論的推導過程和方法的思考過程。數(shù)學教學中的結(jié)i侖通常是通過歸納、類似、演繹等方法進行探索的，我們要善于發(fā)現(xiàn)隱含于教材內(nèi)容中的思維素材.有意識地讓學生自己去發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學結(jié)論，幫助學生掌握基本的數(shù)學思想和方法。比如分析法.綜合法.類比法.歸納法.演譯法，映射法(尤其是關(guān)系映射反演原則)，反證法，同一法等等。數(shù)學方法的思考過程其實就是解決問題的思維過程。教師要通過對具體問題的分析.引導學生掌握從特殊到一般.從具體到抽象再到更廣泛的具體等一般的思考問題的方法。

　　第三、激發(fā)學生數(shù)學學習的動力。

　　重視數(shù)學的實際應用.喚起學生學習的主動性和自覺性數(shù)學學習的動力因素包括數(shù)學學習的動機、興趣、信念、態(tài)度、意志、期望、抱負水平等。數(shù)學學習的動力因素不僅決定著數(shù)學學習的成功與否.而且決定著數(shù)學學習的進程:不僅影響著數(shù)學學習的效果，而且制約著數(shù)學能力的發(fā)展和優(yōu)秀數(shù)學品質(zhì)的形成。事實證明.在數(shù)學上表現(xiàn)出色的學生，往往與他們對數(shù)學的濃厚興趣.對數(shù)學美的追求.自身頑強的毅力分不開因此，在數(shù)學教學中，教師要利用數(shù)學史料的教育因素.數(shù)學中的美學因素.辯證因素.困難因素.以及數(shù)學的廣泛應用性等，不斷激發(fā)學生的學習興趣，激勵學生勇于克服困難.大膽探索鼓勵學生不斷迫求新的目標，不斷取得新的成功。

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　　[4]鄒瑞珍.學與教的心理學[M]. 華東師范大學出版杜.，1992年6月