關(guān)于大學(xué)高數(shù)論文范文免費(fèi)

　　高數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的重要組成部分，并且在重要的考試中所占的比重也是非常大。下面是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于大學(xué)高數(shù)論文，供大家參考。

　　大學(xué)高數(shù)論文范文篇一

　　多元函數(shù)微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，它涉及的內(nèi)容是微積分學(xué)內(nèi)容在多元函數(shù)中的體現(xiàn)，其中有關(guān)多元函數(shù)的連續(xù)性，偏導(dǎo)存在及可微性之間的關(guān)系是學(xué)生在學(xué)習(xí)中容易發(fā)生概念模糊和難以把握的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。

　　當(dāng)前，多元函數(shù)的連續(xù)性，偏導(dǎo)存在及可微性之間的關(guān)系研究方面已經(jīng)取得了一定的成果，但是，在一些學(xué)術(shù)性論文中只是對(duì)二元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)存在及可微性的個(gè)別關(guān)系做了具體的說(shuō)明，因此，想要達(dá)到對(duì)這方面知識(shí)能做到全面的掌握對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍是一大難題。 本文通過(guò)具體實(shí)例對(duì)多元微分學(xué)中的幾個(gè)重要概念間進(jìn)行分析討論，主要研究二元函數(shù)的連續(xù)性，偏導(dǎo)存在性，可微性等概念及它們之間因果關(guān)系. 然后推廣到多元函數(shù)，由此來(lái)總結(jié)有關(guān)多元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)存在及可微性之間的關(guān)系，并對(duì)二元函數(shù)具體的實(shí)例詳細(xì)加以證明，建立它們之間的關(guān)系圖，這樣對(duì)有效理解和掌握多遠(yuǎn)函數(shù)微分學(xué)知識(shí)將起到重要作用。

　　一、函數(shù)連續(xù)

　　一個(gè)一元函數(shù)若在某點(diǎn)存在左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，則這個(gè)一元函數(shù)必在這點(diǎn)連續(xù).但對(duì)于二

　　p(x,y)f(x,y)元函數(shù)f(x,y)來(lái)說(shuō)，即使它在某點(diǎn)000既存在關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)x00，又存在

　　關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)

　　域fy(x0,y0)，f(x,y)也未必在p0(x0,y0)連續(xù)。甚至，在p0(x0,y0)的某鄰U(p0)存在偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)(或fy(x,y))f(x,y)(或fy(x,y))在點(diǎn)，而且x

　　p0(x0,y0)連續(xù)，也不能保證f(x,y)在p0(x0,y0)連續(xù).如函數(shù)

　　21y0sinx,y

　　0,y0f(x,y)

　　關(guān)于具體驗(yàn)算步驟不難得出。過(guò)，我們卻有如下的定理。

　　定理1 [1]設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)p0(x0,y0)的某鄰域U(p0)內(nèi)有定義，若f(x0,y)作為y的一元函數(shù)在點(diǎn)y=y0連續(xù)，fx(x,y)在U(p0)內(nèi)有界，則f(x,y)在點(diǎn)p0(x0,y0)連續(xù)。

　　p(x,y)U(p0)有定義，fy(x,y)在U(p0)定理2 [4]設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)000的某鄰域內(nèi)有界，

　　f(x,y0)作為x的一元函數(shù)在點(diǎn)xx0連續(xù)，則f(x,y)在點(diǎn)p0(x0,y0)連續(xù)。

　　定理1和定理2可推廣到更多元的情形中去。

　　000

　　f(x,x,,x)p(x,x,,x12n在點(diǎn)012n)的某鄰域U(p0)內(nèi)有定義， 定理 3[5] 設(shè)函數(shù)

　　fxi(x1,x2,xn)

　　U(p0)有界(i1,2,n),f(x1,xi1,xi,xi1,xn)作為

　　在

　　00

　　x1,xi1,xi1,xn的n-1元函數(shù)在點(diǎn)(x1,xi01,xi01,xn)連續(xù)，則 f(x1,x2,,xn)在 000

　　p(x,x,,xn)連續(xù)。 點(diǎn)012

　　二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

　　我們知道高等數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)分析教材中有：偏導(dǎo)數(shù)

　　//

　　fxy

　　////fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)

　　此式成立的條件為：

　　和

　　//

　　fyx

　　在

　　(x0,y0)都連續(xù)。

　　下面給出一個(gè)更若條件下二元混合偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)的條件。

　　//////

　　fffp(x,y)ff(x,y)yyxyx

　　定理4 [6]若函數(shù)在000的某鄰域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)x，及存在，且//////

　　fxyfxy(x0,y0)fyx(x0,y0)pp00在對(duì)y連續(xù)，則偏導(dǎo)數(shù)在存在，且

　　三、多元函數(shù)的可微性

　　考察函數(shù)的可微性時(shí)，如果知道偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則函數(shù)一定可微.但是偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)性條件常常不滿(mǎn)足，或不易判斷。知函數(shù)在點(diǎn)

　　p0可微的必要條件是各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在p0處存在.如果

　　p函數(shù)zf(x,y)在0處的全增量可表示為：

　　z=A

　　則常數(shù)A與B一定為A=

　　x+B

　　y+()

　　fx(p0) B=fy(P0) 且函數(shù)在P0處可微。[7]

　　lim

　　Z

　　0p定理5[2] 設(shè)n元函數(shù)zf(p)在0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且極限存在，記

　　為

　　p(1) 若0，則函數(shù)zf(p)在0處不可微;

　　dzp

　　0p0

　　(2) 若=0，則函數(shù)在0處可微且，其中。

　　我們以二元函數(shù)為例證明。

　　定理6[3] 若n+1元函數(shù)可微(即把

　　f(x1,xn,y)關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)n+1個(gè)變量連續(xù)，x,xn

　　關(guān)于1

　　f(x1,xn,y)

　　可微。

　　f(x1,xn,y)

　　中的y看成常數(shù)后可微)，則n+1元函數(shù)

　　推論 若n(n≥2)元函數(shù)

　　f(x1,xn,)的偏導(dǎo)數(shù)存在，且至多有一個(gè)偏導(dǎo)不連續(xù)，則

　　f(x1,xn,)可微。

　　1、

　　若函數(shù)在點(diǎn)P可微該函數(shù)在點(diǎn)P連續(xù);若函數(shù)在點(diǎn)P可微該函數(shù)在P點(diǎn)處存在偏導(dǎo)數(shù);若函數(shù)在點(diǎn)P可微該函數(shù)在點(diǎn)P處的一切方向?qū)?shù)都存在。

　　2、 3、

　　若函數(shù)在P點(diǎn)處連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)P處存在偏導(dǎo)數(shù)。

　　若函數(shù)在P點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在該函數(shù)在點(diǎn)P處的一切方向?qū)?shù)存在(僅有

　　/

　　fx這種關(guān)系：函數(shù)在點(diǎn)P處偏導(dǎo)數(shù)存在該函數(shù)在P處沿X軸方向的導(dǎo)數(shù)存

　　在)，函數(shù)在P處的一切方向?qū)?shù)存在該函數(shù)在P處偏導(dǎo)存在。

　　4、 5、

　　函數(shù)在P處的一切方向?qū)?shù)都存在該函數(shù)在P處連續(xù)。 函數(shù)在P處的一切方向?qū)?shù)都存在該函數(shù)在點(diǎn)P處可微。[11]

　　多元函數(shù)在點(diǎn)P可微，那么函數(shù)在P點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必存在。即偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)可微的必要但不充分條件。而多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可微分的充分條件，但不是必要條件。但是，多元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)其偏導(dǎo)數(shù)不一定存在，也不一定可微;多元函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在而在該點(diǎn)不一定連續(xù);多元函數(shù)在一點(diǎn)可微在該點(diǎn)也不一定連續(xù)。[12] 若n+1元函數(shù)

　　f(x1,xn,y)

　　關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)n+1個(gè)變量連續(xù)，關(guān)于

　　x1,xi1,xi1,xn可微(即把f(x1,xn,y)中的y看成常數(shù)后可微)，則n+1元函數(shù)

　　f(x1,xn,y)

　　可微。[13]

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