摘 要：眾所周知，建立套利定價(jià)模型的關(guān)鍵在于因素的篩選，計(jì)算量很大。而因子分析能將為數(shù)眾多的原始指標(biāo)變量經(jīng)過分析綜合為少數(shù)幾個(gè)公共因子變量，從而大大減少計(jì)算的復(fù)雜度。本文利用因子分析的方法對(duì)11個(gè)因素進(jìn)行篩選，確定四個(gè)能夠很好地反映所有因素包含的信息但又互不相關(guān)的公共因子變量，并建立套利定價(jià)模型，實(shí)證檢驗(yàn)說明，通過該方法進(jìn)行因素篩選建立的套利定價(jià)模型具有較好的定價(jià)效果。?

　　關(guān)鍵詞:因子分析；套利定價(jià)理論；股市；模型??
　　
　　一、問題的提出?
　　
　　1976年，Stephen Ross提出了著名的資產(chǎn)定價(jià)模型——套利定價(jià)理論（Arbitrage Pricing Theory，APT）。該理論假設(shè)任何風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率受K個(gè)因素的影響，由一個(gè)K－因素線性模型給出：?
　　r?i=a?i+?kk=1b?ikf?k+ε?i， i=1,2,…,n（1）?
　　其中：E（ε?i）=E（f?k）=E（ε?iε?j）=E（ε?if?k)=0；E(ε?2?i)=s?2?i＜S?2；r?i為第i種風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率；a?i表示所有影響風(fēng)險(xiǎn)證券收益率的因素都為零時(shí)風(fēng)險(xiǎn)證券i的平均收益率；f?k表示第k個(gè)因素的值；b?ik表示風(fēng)險(xiǎn)證券i對(duì)第k個(gè)因素的敏感性；ε?i為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。?
　　當(dāng)不存在漸進(jìn)套利機(jī)會(huì)時(shí)，由K－因素線性模型可以得到如下的近似定價(jià)模型——套利定價(jià)模型（APT）：?
　　E（r?i）=a?i≈λ?0+?Kk=1b?ikλ?k（2）?
　　其中，λ?k稱為風(fēng)險(xiǎn)證券i對(duì)第k個(gè)因素的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。如果將誤差記為v?i≡a?i-λ?0-?Kk=1b?ikλ?k，則當(dāng)不存在漸進(jìn)套利機(jī)會(huì)時(shí)，有l(wèi)imn→∞1n?ni=1v?2?i=0。?
　　建立套利定價(jià)模型的關(guān)鍵在于因素的篩選。然而，一種風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率受多方面因素的影響，同時(shí)我們也不知道究竟需要多少個(gè)因素來構(gòu)造APT。假設(shè)有n個(gè)因素對(duì)證券的收益率有影響，則可能有?nm=1C?m?n種因素的組合。要從如此眾多的因素組合中篩選出最優(yōu)的因素組合，其計(jì)算量可想而知。?
　　一般來說，因子的辨識(shí)和確定有兩種基本的方法：統(tǒng)計(jì)方法和推理方法。統(tǒng)計(jì)方法涉及從一個(gè)全面的資產(chǎn)收益集（通常遠(yuǎn)超過用來估計(jì)和檢驗(yàn)的樣本資產(chǎn)收益）來確定因子，采用這些收益的樣本數(shù)據(jù)來構(gòu)造表示因子的資產(chǎn)組合，如Connor 和 Korajczyk（1988）、Lehmann 和 Modest（1988），前者使用因子分析方法，后者利用主元分析方法。推理方法是基于捕捉經(jīng)濟(jì)的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)原則來辨識(shí)因子的，例如Fama 和 French（1988，1996）使用公司特征來構(gòu)建因子資產(chǎn)組合。?
　　在這類研究中，Roll 和 Ross (1986）的論文是一篇經(jīng)典文獻(xiàn)，其研究方法為后來的眾多學(xué)者所采用。在將股票分組后，對(duì)每一組股票首先采用因子分析方法來估計(jì)影響股票收益率的因子數(shù)目，并估計(jì)每只股票的因子載荷；然后，利用股票收益率數(shù)據(jù)和已估計(jì)出的因子載荷做橫截面回歸，估計(jì)因子的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，進(jìn)而檢驗(yàn)多因子模型的適用性。此外，由于APT認(rèn)為股票收益率的風(fēng)險(xiǎn)可以分為可分散風(fēng)險(xiǎn)和不可分散風(fēng)險(xiǎn)，其中可分散風(fēng)險(xiǎn)部分的均值為零，在大樣本中可忽略不計(jì)，而不可分散風(fēng)險(xiǎn)部分由K個(gè)共同因子決定，并通過K個(gè)因子系數(shù)反映股票收益率與每個(gè)非零風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)之間的關(guān)系。但是，現(xiàn)實(shí)中可能某一變量本身與不可分散風(fēng)險(xiǎn)不相關(guān)（即不應(yīng)當(dāng)作為因子出現(xiàn)），但在APT模型中卻被不恰當(dāng)定價(jià)，成為一個(gè)共同因子。雖然由實(shí)際數(shù)據(jù)生成的因子模型通過了顯著性檢驗(yàn)，但卻無法肯定這些因子就是不可分散風(fēng)險(xiǎn)的溢價(jià)，也無法排除可分散風(fēng)險(xiǎn)成為共同因子的可能。鑒于此，我們有必要對(duì)APT進(jìn)行“自方差”檢驗(yàn)這里用“自方差”只是一種強(qiáng)調(diào)性說法，其實(shí)質(zhì)就是該項(xiàng)資產(chǎn)收益率的方差。。從長(zhǎng)期來看，證券收益率的自方差與收益率均值之間總是保持很高的相關(guān)性，而自方差又是每一種證券所特有的，屬于可分散風(fēng)險(xiǎn)。如果APT有效，那么單個(gè)證券的自方差就不應(yīng)當(dāng)對(duì)期望收益率起作用，因?yàn)锳PT認(rèn)為只有不可分散的風(fēng)險(xiǎn)才對(duì)定價(jià)起作用，才可以成為定價(jià)因子。 “自方差”檢驗(yàn)就是要證明單個(gè)股票收益率的自方差是否為共同因子，可否用于定價(jià)，要接受還是否定APT。鑒于此，他們也利用 “自方差”檢驗(yàn)來對(duì)多因子模型做了補(bǔ)充研究。?
　　到目前為止，我國(guó)在套利定價(jià)理論因素確定方面的研究并不多，主要是利用多元線性回歸構(gòu)造套利定價(jià)模型，這一方法的計(jì)算量大，其包含的因素要么過多要么不全面，而且因素之間的關(guān)聯(lián)程度較高。?
　　而因子分析是一種常用的統(tǒng)計(jì)降維技術(shù)，能夠利用原始指標(biāo)變量中某些指標(biāo)之間的相關(guān)性對(duì)多變量的面板數(shù)據(jù)進(jìn)行最佳綜合和簡(jiǎn)化，將為數(shù)眾多的指標(biāo)綜合為少數(shù)幾個(gè)公共因子，以較少的幾個(gè)公共因子變量反映原始指標(biāo)變量的大部分信息，從而大大降低了分析問題的難度。?
　　另外，因子分析法具有兩個(gè)獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)：?
　?。?）公共因子變量是根據(jù)原始指標(biāo)變量的信息進(jìn)行綜合簡(jiǎn)化得到的。一方面大大減少了變量數(shù)目，將為數(shù)眾多的原始指標(biāo)變量縮減為極少數(shù)幾個(gè)公共因子變量；另一方面又盡可能保留了大部分原始指標(biāo)變量的信息，是對(duì)某些原始指標(biāo)變量信息的綜合和反映，仍然具有命名解釋性。?
　?。?）通過對(duì)原始指標(biāo)變量進(jìn)行綜合和簡(jiǎn)化得到的公共因子變量之間基本上不存在線性相關(guān)性，更利于對(duì)變量進(jìn)行分析。?
　　正是因子分析的這些特點(diǎn)以及APT對(duì)因子組合的要求決定了因子分析適合對(duì)APT的因素進(jìn)行綜合和簡(jiǎn)化。因此，本文引入了因子分析法對(duì)APT的因素進(jìn)行篩選。?
　　
　　二、用因子分析法確定APT中的因素組合?
　　
　　在已有的研究中，一般認(rèn)為APT中至少包含有三類不同的因素：反映總體經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的指標(biāo)、通貨膨脹率以及某些類型的利率因素。鑒于此，本文將國(guó)民生產(chǎn)總值、工業(yè)生產(chǎn)總值、第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值、第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值、全國(guó)居民消費(fèi)水平、通貨膨脹率、全社會(huì)固定資產(chǎn)投資增長(zhǎng)速度、社會(huì)消費(fèi)品零售總額、貨幣供應(yīng)總量、年凈出口貿(mào)易總額、利率期限結(jié)構(gòu)等11個(gè)因素作為原始指標(biāo)變量，利用我國(guó)1980年到2003年《統(tǒng)計(jì)年鑒》中的數(shù)據(jù)進(jìn)行因子分析。?
　　
　?。ㄒ唬?對(duì)原始指標(biāo)變量進(jìn)行相關(guān)性分析?
　　因子分析從眾多的原始指標(biāo)變量中構(gòu)造出少數(shù)幾個(gè)具有代表意義的公共因子變量，它要求原始指標(biāo)變量之間要具有比較強(qiáng)的相關(guān)性，否則就無法從中綜合出能反映某些變量共同特性的少數(shù)公共因子變量來，原始指標(biāo)變量就不適于進(jìn)行因子分析。因此，在因子分析之前需要對(duì)原始指標(biāo)變量進(jìn)行相關(guān)性分析。?
　　本文采用的是KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）檢驗(yàn)和Bartlett球度檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)量KMO的值為0.771，大于0.6，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Kaiser給出的標(biāo)準(zhǔn)，原始指標(biāo)變量適合做因子分析；Bartlett球度檢驗(yàn)給出的自由度為55的卡方近似值為780.924，相伴概率為 0.000，小于顯著水平0.05，適合進(jìn)行因子分析。由KMO檢驗(yàn)和Bartlett球度檢驗(yàn)結(jié)果可知，原始指標(biāo)變量適合做因子分析。?
　與此同時(shí)，本文還對(duì)11個(gè)原始指標(biāo)變量進(jìn)行了反映像相關(guān)矩陣檢驗(yàn)，在反映像相關(guān)矩陣中，所有偏相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值均小于0.05，說明所有的原始指標(biāo)變量都適于進(jìn)行因子分析。?
　　
　　（二） 構(gòu)造公共因子變量?
　　構(gòu)造公共因子變量是因子分析的一個(gè)核心問題。因子分析中確定公共因子變量的方法很多，本文采取的是主元分析法。?
　　1.確定保留公共因子變量的數(shù)目?
　　根據(jù)公共因子變量與其特征值的散點(diǎn)圖（圖1）可以看出，前面4個(gè)公共因子變量的特征值變化非常明顯，從8.744到0.126，而從第5個(gè)公共因子變量開始，特征值的變化趨于平穩(wěn)。這說明提取前4個(gè)公共因子變量對(duì)原始指標(biāo)變量的信息描述有顯著作用。為了能夠得到更精確的APT，本文確定保留4個(gè)公共因子變量。?
　　2.因子分析效果（見表1） ?
　　因子分析的最終解解釋了每個(gè)原始指標(biāo)變量99.5％以上的方差，每個(gè)原始指標(biāo)變量的共同度幾乎都在98％以上，與1非常接近，也就是說，原始指標(biāo)變量所攜帶的信息不能被公共因子變量解釋的部分不到2％。這說明提取出的公共因子變量基本上已經(jīng)反映了原始指標(biāo)變量所有的信息，只有極少數(shù)信息丟失。可見，因子分析的效果非常好。?
　　3.因子提取和因子旋轉(zhuǎn)的結(jié)果（表略） ?
　　根據(jù)公共因子變量與其特征值的散點(diǎn)圖的判斷，本文提取了四個(gè)公共因子變量對(duì)原始指標(biāo)變量總體進(jìn)行描述。這4個(gè)公共因子變量的方差貢獻(xiàn)（特征值）分別為 8.744、1.348、0.729和0.126。由11個(gè)公共因子變量構(gòu)成的初始解中，前四個(gè)公共因子變量解釋了原始指標(biāo)變量總方差的99.522％，尤其是第一個(gè)公共因子變量，解釋了11個(gè)原始指標(biāo)變量總方差的79.490％。?
　　在進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)以后，這四個(gè)公共因子變量的特征值分別為8.444、1.231、1.102和0.171，分別可以解釋原始指標(biāo)變量的76.192％、11.194％、10.014％和1.552％，共解釋了11個(gè)原始指標(biāo)變量總方差的99.522％。?
　　可見，提取的四個(gè)公共因子變量反映了原始指標(biāo)變量的幾乎所有信息，能夠代替11個(gè)原始指標(biāo)變量構(gòu)造多因素線性模型。?
　　 （三） 公共因子變量的命名解釋?
　　公共因子變量的命名解釋是因子分析法的又一核心問題。原始指標(biāo)變量都是具有具體經(jīng)濟(jì)含義的變量，經(jīng)過主成分分析以后，對(duì)這些變量進(jìn)行了線性變換，得到的新的公共因子變量對(duì)原始指標(biāo)變量進(jìn)行了綜合和簡(jiǎn)化。因此，有必要對(duì)新的公共因子變量進(jìn)行解釋，以進(jìn)一步說明影響原始指標(biāo)變量系統(tǒng)構(gòu)成的主要因素和系統(tǒng)特征。本文采用方差極大法對(duì)因子負(fù)荷矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到公共因子變量和原始指標(biāo)變量之間的關(guān)系。?
　　1.旋轉(zhuǎn)前后因子負(fù)荷矩陣（見表2） ?
　　從表2可以看出，在進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)前，除了通貨膨脹率、全社會(huì)固定資產(chǎn)投資增長(zhǎng)速度和利率期限結(jié)構(gòu)三個(gè)原始指標(biāo)變量外，其他8個(gè)反映一個(gè)國(guó)家總體經(jīng)濟(jì)狀況情況的原始指標(biāo)變量對(duì)第一個(gè)公共因子變量的荷載都很大，絕對(duì)值均在0.9以上；年凈出口貿(mào)易總額、通貨膨脹率、全社會(huì)固定資產(chǎn)投資增長(zhǎng)速度和利率期限結(jié)構(gòu)對(duì)第二個(gè)公共因子變量的荷載都比較大；而通貨膨脹率、全社會(huì)固定資產(chǎn)投資增長(zhǎng)速度則同時(shí)對(duì)第三個(gè)公共因子變量有較大的荷載；通貨膨脹率、年凈出口貿(mào)易總額和利率期限結(jié)構(gòu)同時(shí)對(duì)第四個(gè)公共因子的荷載比較大?？梢姡膫€(gè)因子中有一些信息重合了，一個(gè)公共因子變量在很多原始指標(biāo)變量上都有較高的荷載，不易于對(duì)公共因子變量進(jìn)行解釋并找到各個(gè)公共因子的經(jīng)濟(jì)含義。因此，有必要對(duì)此結(jié)果進(jìn)行轉(zhuǎn)換。?
　　因子旋轉(zhuǎn)則可以使因子負(fù)荷矩陣更加簡(jiǎn)單，每個(gè)公共因子變量在相應(yīng)的原始指標(biāo)變量上的荷載盡可能多地為零，而每個(gè)原始指標(biāo)變量在對(duì)應(yīng)的公共因子變量上的荷載的絕對(duì)值大的盡可能少。這樣，每個(gè)公共因子變量盡可能包含不同的信息，不同的原始指標(biāo)變量盡可能地包含在不同的公共因子變量中，從而，每個(gè)公共因子變量的含義更加明晰。?
　　本文采用方差極大法對(duì)因子荷載矩陣進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)之后，幾乎每個(gè)公共因子變量都具有了比較明確的經(jīng)濟(jì)含義。?
　　第一個(gè)公共因子變量主要反映了社會(huì)消費(fèi)品零售總額、工業(yè)總產(chǎn)值、第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值、全國(guó)居民消費(fèi)水平、國(guó)民生產(chǎn)總值、第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值、貨幣供應(yīng)總量和年凈出口貿(mào)易總額等8個(gè)反映一個(gè)國(guó)家總體經(jīng)濟(jì)水平的原始指標(biāo)變量的信息；第二個(gè)公共因子變量主要反映通貨膨脹率的相關(guān)信息；第三個(gè)公共因子變量反映的是全社會(huì)固定資產(chǎn)投資增長(zhǎng)速度的信息；第四個(gè)公共因子變量則是反映利率期限結(jié)構(gòu)的狀況?；旧厦總€(gè)原始指標(biāo)變量已經(jīng)被歸于某一個(gè)公共因子變量中?？梢哉f，旋轉(zhuǎn)的效果還是不錯(cuò)的。?
　　2.公共因子變量的命名解釋?
　　由上面的分析可知，第一個(gè)公共因子變量主要反映一個(gè)國(guó)家總體經(jīng)濟(jì)水平，第二個(gè)公共因子變量主要反映通貨膨脹率，第三個(gè)公共因子變量反映了全社會(huì)固定資產(chǎn)投資增長(zhǎng)速度，第四個(gè)公共因子變量反映了利率期限結(jié)構(gòu)。由此可以看出，風(fēng)險(xiǎn)證券的預(yù)期收益率主要與國(guó)家的總體經(jīng)濟(jì)水平有關(guān)，同時(shí)還與國(guó)內(nèi)的通貨膨脹率、全社會(huì)固定資產(chǎn)投資增長(zhǎng)速度、利率期限結(jié)構(gòu)這三個(gè)因素有關(guān)。?
　　統(tǒng)計(jì)分析表明，這四個(gè)公共因子變量都是均值為0，方差為1的隨機(jī)變量，同時(shí)兩兩之間完全不相關(guān)。因此很適合作為APT的因素。?
　　
　　三、APT的實(shí)證檢驗(yàn)?
　　
　　經(jīng)由以上分析，確定了國(guó)家總體經(jīng)濟(jì)水平、通貨膨脹率、全社會(huì)固定資產(chǎn)投資增長(zhǎng)速度和利率期限結(jié)構(gòu)四個(gè)公共因子變量，并通過公共因子得分由11個(gè)原始指標(biāo)變量1980-2003年的年數(shù)據(jù)計(jì)算出了這四個(gè)公共因子變量相應(yīng)的值。為了構(gòu)造套利定價(jià)模型，本文首先根據(jù)式（1），選取了廣電電子、愛使股份、華源制藥、方正科技等十只股票1995年到2005年的年收益率分別作為被解釋變量，以四個(gè)公共因子變量相應(yīng)的1995年到2005年的數(shù)據(jù)為解釋變量進(jìn)行了多元線性回歸，得到每只股票的a?i、b?i1、b?i2、b?i3和b?i4；然后根據(jù)式（2），以a?i為被解釋變量，b?ik(k=1,2,3,4)為解釋變量再次進(jìn)行多元線性回歸，得到套利定價(jià)模型：?
　　a?i=0.189-1.051λ?1+0.02067λ?2-0.0233λ?3-0.238λ?4（3）?
　　在式（3）中，我們注意到：一方面，風(fēng)險(xiǎn)證券i只是對(duì)通貨膨脹率的敏感性為正數(shù)，即風(fēng)險(xiǎn)證券i對(duì)通貨膨脹率的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)越大，該證券的期望收益率也就越大；另一方面，風(fēng)險(xiǎn)證券i對(duì)國(guó)家總體經(jīng)濟(jì)水平、全社會(huì)固定資產(chǎn)投資增長(zhǎng)速度和利率期限結(jié)構(gòu)的敏感性均為負(fù)數(shù)，即風(fēng)險(xiǎn)證券i對(duì)通貨膨脹率等的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)越大，該證券的期望收益率也就越小。?
　　為了檢驗(yàn)本文得到的套利定價(jià)模型的效果，本文另外選取ST興業(yè)、豫園商城、金杯汽車、深達(dá)聲、ST億安等10只股票，利用式（3）對(duì)其進(jìn)行定價(jià)，以模型預(yù)測(cè)值和實(shí)際平均收益率的差異作為評(píng)價(jià)模型的標(biāo)準(zhǔn)。由于APT只是一個(gè)近似的定價(jià)模型，應(yīng)用于個(gè)別股票可能存在較大誤差，所以常用來對(duì)投資組合進(jìn)行定價(jià)。因此本文構(gòu)造以上十只股票的簡(jiǎn)單等權(quán)組合，用y=1n?ni=1(r?i預(yù)測(cè)-r?i?實(shí)際)?2度量誤差，計(jì)算結(jié)果為y=0.129。?
　　實(shí)證檢驗(yàn)表明，本文得到的套利定價(jià)模型（3）具有較好的定價(jià)效果，但仍存在12.9％的定價(jià)誤差。本文認(rèn)為可能是由于如下原因造成的：?
　　我國(guó)對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)起步較晚，很多宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的數(shù)據(jù)不齊全，統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)也不太一致，而且2000年以前的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)基本上只有年數(shù)據(jù)，由此造成可供利用的樣本數(shù)據(jù)太少。與此同時(shí)，由于宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)采用年數(shù)據(jù)，為了與之對(duì)應(yīng)，股票的收益率也只能采用年數(shù)據(jù)，但我國(guó)股票市場(chǎng)只有12年左右的歷史，這進(jìn)一步造成樣本容量最多只可能為12。在構(gòu)建APT時(shí)，為了盡可能地?cái)U(kuò)大樣本容量，本文只選取了有10年左右歷史的股票，造成股票數(shù)目較少，類別比較單一。因此在回歸分析中可能導(dǎo)致回歸方程的顯著性和擬合優(yōu)度不高（本文在利用回歸分析得到APT的過程中，確實(shí)發(fā)現(xiàn)有一些回歸方程的顯著性和擬合優(yōu)度不高），最終導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果存在較大誤差。本文相信，如果有更好的樣本數(shù)據(jù)，我們能夠進(jìn)一步減小APT的定價(jià)誤差。?
　四、結(jié)論?
　　
　　本文通過引入因子分析法，對(duì)國(guó)民生產(chǎn)總值、全國(guó)居民消費(fèi)水平、全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額、通貨膨脹率、利率期限結(jié)構(gòu)等11個(gè)因素進(jìn)行了綜合和簡(jiǎn)化，提取了 4個(gè)具有明確經(jīng)濟(jì)意義的公共因子，分別反映了國(guó)家總體經(jīng)濟(jì)水平、通貨膨脹率、全社會(huì)固定資產(chǎn)投資增長(zhǎng)速度和利率狀況。有關(guān)的統(tǒng)計(jì)分析說明因子分析法提取的這四個(gè)公共因子變量效果非常好。本文利用這四個(gè)公共因子變量構(gòu)建了套利定價(jià)模型，并對(duì)模型進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。實(shí)證檢驗(yàn)表明，本文通過因子分析法進(jìn)行因素篩選得到的套利定價(jià)模型具有較好的定價(jià)效果。?
　　?
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