以數(shù)學概念教學為基礎系統(tǒng)學好數(shù)學方法
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摘要:在平時的教學中應特別注意把不同的概念聯(lián)系在一起,進行比較,并從不同側(cè)面加深對概念的理解,使它系統(tǒng)化,就不會造成學生對概念理解的模糊,有利于學生對知識的貯藏,有利于產(chǎn)生“牽一發(fā)而動全身”之功效。因此,研究概念教學意義重大。 關鍵詞:理解概念;探究性教學;情境教學;教學過程
事實證明:只要求學生解習題,而不給學生講透數(shù)學概念、實質(zhì)問題,等于只是給了學生一把對號開鎖的鑰匙,而不是教給學生解剖鎖的結(jié)構(gòu)原理。不交給學生一把萬能鑰匙,學生是很難找到竅門的。因此有必要進行系統(tǒng)而又嚴肅的概念教學,事實上數(shù)學知識都是以概念為基礎的。要使學生獲得系統(tǒng)的數(shù)學知識,首先必須獲得清晰明確的數(shù)學概念。
一、理解概念的邏輯性
數(shù)學概念可分為兩個重要方面:一是概念的“質(zhì)”,也就是概念的內(nèi)涵(概念的本質(zhì)屬性);二是概念的“量”,也就是概念的外延(概念的所有對象的和)。假如把一個概念當作一個集合,那么概念的內(nèi)涵就是這個集合里的元素的所有的共同屬性的總和,而概念的外延則是這個集合中所有元素的全體。內(nèi)涵和外延是不可分割的兩部分,揭示概念的內(nèi)涵就不能不涉及到概念的外延的問題。同時,概念的外延還有大小之分,外延大的叫做種概念,外延小的則叫做屬概念。當然,種概念與屬概念也并不是絕對的,有理數(shù)對實數(shù)來說是屬概念,但它對整數(shù)來說又是種概念。一個概念,可能有許多的屬概念。一個屬概念與其他的屬概念本質(zhì)上的差別又稱為屬差。要想給某一概念下定義,首先應先向?qū)W生指出與被定義的概念最接近的概念是什么,再緊接著指出被定義概念的屬差,即概念定義=種概念+屬差。如:為了定義菱形,我們教學時可以先利用“平行四邊形”這一學過的概念,其主要原因是“平行四邊形”是菱形最接近的種概念,它規(guī)定了菱形所屬的類別,但菱形不是一般的平行四邊形,它以“有一組鄰邊相等”這一特征與平行四邊形的另一屬概念——矩形區(qū)別開,這樣就可以得到:菱形=平行四邊形+有一組鄰邊相等。 為了使學生能明確被定義的概念,教師就得先做到心中有數(shù),準確地找到與其最鄰近的種概念及其屬差,抓住概念的本質(zhì)特征,把握定義中的關鍵字句,弄清概念間的區(qū)別和它們的內(nèi)在聯(lián)系,把握概念的內(nèi)涵,加深對概念外延的理解。
二、數(shù)學概念的探究性教學
探究性學習是一種在教師引導下的體現(xiàn)學生主動學習的一種學習方式,它往往模擬數(shù)學家發(fā)現(xiàn)新的概念和命題的探究過程。簡言之,探究學習是對數(shù)學探究的模擬,有別于學生好奇心驅(qū)動下所從事的那種自發(fā)、盲目、低效或無效的探究活動。事實上,學生探究活動過程所涉及的觀察、思考、推理等活動不全是他們能獨自完成的,需要教師在關鍵時候給予必要的啟發(fā)、引導?! ?br/> 例如在《相反意義的量》的教學上先用多媒體演示:“一個人向東走3步,向西走4步;一小蟲在樹干上先向上爬20cm,再向下爬回到出發(fā)點,再向下爬10cm;在一個裝有蘋果的盤子里增加4個蘋果,再取走5個蘋果等。”然后引導學生觀察每一事例在數(shù)量上的變化情況,并要學生用語言描述以上3個事例,引導學生概括出其中數(shù)量上的變化情況,并板書,再請同學思考:(1)事例中什么在發(fā)生變化?(2)怎樣變化?(3)變化的意義是否相同?(4)三個不同事例變化的共同之處是什么?經(jīng)過討論、交流,學生認識到它們的共同之處在于數(shù)量的變化都是相反的。在明確考察的對象是事物數(shù)量對應性變化這個問題后,請同學們列舉類似的事例以進一步理解概念。然后再任選學生的舉例提問:“向南走3步,向北走4步;贏利200元,再贏利300元;向上8cm,向東10cm。三句話中兩個量變化有何區(qū)別。
引導學生關注量所反映的方向,進而引導學生在比較中關注量的相對性質(zhì),最后由學生來思考概括所有相關例子中共同的東西,即他們都是相反意義的量,而非“相同意義的量”或“不同意義的量”?! ?br/> 在堂課里,通過學生對相對具體事物的直接觀察、感知、分析、比較,進而抽象概括出概念,整個過程引導學生成為“相反意義的量”概念本質(zhì)的“發(fā)現(xiàn)者”,親自參與了由表及里的不斷深入的理解過程,從而品嘗了發(fā)現(xiàn)所帶來的快樂,實踐了抽取實際事物量的關系而舍棄其他一切表面現(xiàn)象的一種思維活動。這樣的探究教學活躍了學生的思維,數(shù)學變得親近,學生樂于接受?! ?br/> 三、數(shù)學概念的情境性教學
數(shù)學教學中一個好的問題情境能大大激發(fā)學生的學習興趣和探究的欲望。如在《平面直角坐標系》概念的教學中,情境引入:“如今索馬里海盜對國際航運和海上安全構(gòu)成嚴重威脅。一艘途經(jīng)索馬里海域的輪船怎樣來確定自己的位置?”學生一般都能回答是用經(jīng)度和緯度來確定它們的位置。再問:“那么單獨用經(jīng)度或緯度一個量來確定它們的位置行嗎?”“不行。”“為什么?”學生通過思考交流相互補充舉反例的方法體驗用一對數(shù)確定一個物體位置的合理性。然后問:“同學們那么你們現(xiàn)在的位置怎么確定下來?”學生:“我在第3小組第4排。”“很好,那么單獨用小組數(shù)或排數(shù)能否確定你的位置?”“不能。”然后讓第3小組的學生站起來,第4排的學生也站一下,通過實際情境進一步體驗用一對數(shù)來確定平面上一點位置的正確性。然后再問:“把教室的右墻角的兩條墻角線分別看作是0排0組,請同學們分別說出自己的位置。”用(x,y)表示,x表示組數(shù),y表示排數(shù),在這過程中學生鞏固了用一對有序?qū)崝?shù)來確定平面上一點的方法。然后要同學們考慮這時隔壁班的同學的位置該怎樣確定,通過學生自己的交流、討論得到了“平面直角坐標系”的基本框架。 整堂課的教學基本上在具體的情境中進行。學生情緒高漲、思維活躍,積極參與。在不知不覺中掌握了“平面直角坐標系”的概念??梢姾玫那榫硨Ω拍罱虒W有著不可忽視的作用?! ?br/> 在數(shù)學概念教學中,用得比較多的還有正例和反例教學,特別是在數(shù)學概念理解的深化階段,反例發(fā)揮著重要作用。因此,既可以利用概念之間的區(qū)別和聯(lián)系進行概念教學,也可以利用數(shù)學概念之間的邏輯聯(lián)系,多方面聯(lián)系實際,靈活運用概念進行概念教學。
四、注重概念的形成過程
許多數(shù)學概念都是從現(xiàn)實生活中抽象出來的。講清它們的來源,既會讓學生感到不抽象,而且有利于形成生動活潑的學習氛圍。一般說來,概念的形成過程包括:引入概念的必要性,對一些感性材料的認識、分析、抽象和概括,注重概念形成過程,符合學生的認識規(guī)律。在教學過程中,如果忽視概念的形成過程,把形成概念的生動過程變?yōu)楹唵蔚?ldquo;條文加例題”,就不利于學生對概念的理解。因此,注重概念的形成過程,可以完整地、本質(zhì)地、內(nèi)在地揭示概念的本質(zhì)屬性,使學生對理解概念具備思想基礎,同時也能培養(yǎng)學生從具體到抽象的思維方法。例如,負數(shù)概念的建立,展現(xiàn)知識的形成過程如下:①讓學生總結(jié)小學學過的數(shù),表示物體的個數(shù)用自然數(shù)1,2,3…表示;一個物體也沒有,就用自然數(shù)0表示:測量和計算有時不能得到整數(shù)的結(jié)果,這就用分數(shù)。②觀察兩個溫度計,零上3度。記作+3°,零下3度,記作-3°,這里出現(xiàn)了一種新的數(shù)——負數(shù)。③讓學生說出所給問題的意義,讓學生觀察所給問題有何特征。④引導學生抽象概括正、負數(shù)的概念。
針對概念形成的階段性、發(fā)展性和連貫性,我們教師教學中應當注意:在學生對某些預備概念模糊不清的情況下,千萬不要急于引入新概念,最好先復習涉及新概念的相關預備概念,尤其是對特別重要的、關鍵性的預備概念,教師要反復強調(diào),以求得學生較為徹底的理解,方可為新概念的導入作出良好的鋪墊。
事實證明:只要求學生解習題,而不給學生講透數(shù)學概念、實質(zhì)問題,等于只是給了學生一把對號開鎖的鑰匙,而不是教給學生解剖鎖的結(jié)構(gòu)原理。不交給學生一把萬能鑰匙,學生是很難找到竅門的。因此有必要進行系統(tǒng)而又嚴肅的概念教學,事實上數(shù)學知識都是以概念為基礎的。要使學生獲得系統(tǒng)的數(shù)學知識,首先必須獲得清晰明確的數(shù)學概念。
一、理解概念的邏輯性
數(shù)學概念可分為兩個重要方面:一是概念的“質(zhì)”,也就是概念的內(nèi)涵(概念的本質(zhì)屬性);二是概念的“量”,也就是概念的外延(概念的所有對象的和)。假如把一個概念當作一個集合,那么概念的內(nèi)涵就是這個集合里的元素的所有的共同屬性的總和,而概念的外延則是這個集合中所有元素的全體。內(nèi)涵和外延是不可分割的兩部分,揭示概念的內(nèi)涵就不能不涉及到概念的外延的問題。同時,概念的外延還有大小之分,外延大的叫做種概念,外延小的則叫做屬概念。當然,種概念與屬概念也并不是絕對的,有理數(shù)對實數(shù)來說是屬概念,但它對整數(shù)來說又是種概念。一個概念,可能有許多的屬概念。一個屬概念與其他的屬概念本質(zhì)上的差別又稱為屬差。要想給某一概念下定義,首先應先向?qū)W生指出與被定義的概念最接近的概念是什么,再緊接著指出被定義概念的屬差,即概念定義=種概念+屬差。如:為了定義菱形,我們教學時可以先利用“平行四邊形”這一學過的概念,其主要原因是“平行四邊形”是菱形最接近的種概念,它規(guī)定了菱形所屬的類別,但菱形不是一般的平行四邊形,它以“有一組鄰邊相等”這一特征與平行四邊形的另一屬概念——矩形區(qū)別開,這樣就可以得到:菱形=平行四邊形+有一組鄰邊相等。 為了使學生能明確被定義的概念,教師就得先做到心中有數(shù),準確地找到與其最鄰近的種概念及其屬差,抓住概念的本質(zhì)特征,把握定義中的關鍵字句,弄清概念間的區(qū)別和它們的內(nèi)在聯(lián)系,把握概念的內(nèi)涵,加深對概念外延的理解。
二、數(shù)學概念的探究性教學
探究性學習是一種在教師引導下的體現(xiàn)學生主動學習的一種學習方式,它往往模擬數(shù)學家發(fā)現(xiàn)新的概念和命題的探究過程。簡言之,探究學習是對數(shù)學探究的模擬,有別于學生好奇心驅(qū)動下所從事的那種自發(fā)、盲目、低效或無效的探究活動。事實上,學生探究活動過程所涉及的觀察、思考、推理等活動不全是他們能獨自完成的,需要教師在關鍵時候給予必要的啟發(fā)、引導?! ?br/> 例如在《相反意義的量》的教學上先用多媒體演示:“一個人向東走3步,向西走4步;一小蟲在樹干上先向上爬20cm,再向下爬回到出發(fā)點,再向下爬10cm;在一個裝有蘋果的盤子里增加4個蘋果,再取走5個蘋果等。”然后引導學生觀察每一事例在數(shù)量上的變化情況,并要學生用語言描述以上3個事例,引導學生概括出其中數(shù)量上的變化情況,并板書,再請同學思考:(1)事例中什么在發(fā)生變化?(2)怎樣變化?(3)變化的意義是否相同?(4)三個不同事例變化的共同之處是什么?經(jīng)過討論、交流,學生認識到它們的共同之處在于數(shù)量的變化都是相反的。在明確考察的對象是事物數(shù)量對應性變化這個問題后,請同學們列舉類似的事例以進一步理解概念。然后再任選學生的舉例提問:“向南走3步,向北走4步;贏利200元,再贏利300元;向上8cm,向東10cm。三句話中兩個量變化有何區(qū)別。
引導學生關注量所反映的方向,進而引導學生在比較中關注量的相對性質(zhì),最后由學生來思考概括所有相關例子中共同的東西,即他們都是相反意義的量,而非“相同意義的量”或“不同意義的量”?! ?br/> 在堂課里,通過學生對相對具體事物的直接觀察、感知、分析、比較,進而抽象概括出概念,整個過程引導學生成為“相反意義的量”概念本質(zhì)的“發(fā)現(xiàn)者”,親自參與了由表及里的不斷深入的理解過程,從而品嘗了發(fā)現(xiàn)所帶來的快樂,實踐了抽取實際事物量的關系而舍棄其他一切表面現(xiàn)象的一種思維活動。這樣的探究教學活躍了學生的思維,數(shù)學變得親近,學生樂于接受?! ?br/> 三、數(shù)學概念的情境性教學
數(shù)學教學中一個好的問題情境能大大激發(fā)學生的學習興趣和探究的欲望。如在《平面直角坐標系》概念的教學中,情境引入:“如今索馬里海盜對國際航運和海上安全構(gòu)成嚴重威脅。一艘途經(jīng)索馬里海域的輪船怎樣來確定自己的位置?”學生一般都能回答是用經(jīng)度和緯度來確定它們的位置。再問:“那么單獨用經(jīng)度或緯度一個量來確定它們的位置行嗎?”“不行。”“為什么?”學生通過思考交流相互補充舉反例的方法體驗用一對數(shù)確定一個物體位置的合理性。然后問:“同學們那么你們現(xiàn)在的位置怎么確定下來?”學生:“我在第3小組第4排。”“很好,那么單獨用小組數(shù)或排數(shù)能否確定你的位置?”“不能。”然后讓第3小組的學生站起來,第4排的學生也站一下,通過實際情境進一步體驗用一對數(shù)來確定平面上一點位置的正確性。然后再問:“把教室的右墻角的兩條墻角線分別看作是0排0組,請同學們分別說出自己的位置。”用(x,y)表示,x表示組數(shù),y表示排數(shù),在這過程中學生鞏固了用一對有序?qū)崝?shù)來確定平面上一點的方法。然后要同學們考慮這時隔壁班的同學的位置該怎樣確定,通過學生自己的交流、討論得到了“平面直角坐標系”的基本框架。 整堂課的教學基本上在具體的情境中進行。學生情緒高漲、思維活躍,積極參與。在不知不覺中掌握了“平面直角坐標系”的概念??梢姾玫那榫硨Ω拍罱虒W有著不可忽視的作用?! ?br/> 在數(shù)學概念教學中,用得比較多的還有正例和反例教學,特別是在數(shù)學概念理解的深化階段,反例發(fā)揮著重要作用。因此,既可以利用概念之間的區(qū)別和聯(lián)系進行概念教學,也可以利用數(shù)學概念之間的邏輯聯(lián)系,多方面聯(lián)系實際,靈活運用概念進行概念教學。
四、注重概念的形成過程
許多數(shù)學概念都是從現(xiàn)實生活中抽象出來的。講清它們的來源,既會讓學生感到不抽象,而且有利于形成生動活潑的學習氛圍。一般說來,概念的形成過程包括:引入概念的必要性,對一些感性材料的認識、分析、抽象和概括,注重概念形成過程,符合學生的認識規(guī)律。在教學過程中,如果忽視概念的形成過程,把形成概念的生動過程變?yōu)楹唵蔚?ldquo;條文加例題”,就不利于學生對概念的理解。因此,注重概念的形成過程,可以完整地、本質(zhì)地、內(nèi)在地揭示概念的本質(zhì)屬性,使學生對理解概念具備思想基礎,同時也能培養(yǎng)學生從具體到抽象的思維方法。例如,負數(shù)概念的建立,展現(xiàn)知識的形成過程如下:①讓學生總結(jié)小學學過的數(shù),表示物體的個數(shù)用自然數(shù)1,2,3…表示;一個物體也沒有,就用自然數(shù)0表示:測量和計算有時不能得到整數(shù)的結(jié)果,這就用分數(shù)。②觀察兩個溫度計,零上3度。記作+3°,零下3度,記作-3°,這里出現(xiàn)了一種新的數(shù)——負數(shù)。③讓學生說出所給問題的意義,讓學生觀察所給問題有何特征。④引導學生抽象概括正、負數(shù)的概念。
針對概念形成的階段性、發(fā)展性和連貫性,我們教師教學中應當注意:在學生對某些預備概念模糊不清的情況下,千萬不要急于引入新概念,最好先復習涉及新概念的相關預備概念,尤其是對特別重要的、關鍵性的預備概念,教師要反復強調(diào),以求得學生較為徹底的理解,方可為新概念的導入作出良好的鋪墊。