初中數(shù)學(xué)幾何證明論文
在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,幾何知識(shí)是許多學(xué)生都倍感頭痛的問題,尤其是幾何證明。下文是學(xué)習(xí)啦小編為大家搜集整理的關(guān)于初中數(shù)學(xué)幾何證明論文的內(nèi)容,歡迎大家閱讀參考!
初中數(shù)學(xué)幾何證明論文篇1
論初中數(shù)學(xué)幾何證明過程書寫的教學(xué)策略
【摘要】書寫完整的幾何證明過程,不單是教師教學(xué)的重點(diǎn),也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。很多學(xué)生對(duì)幾何證明無從下手,問題日積月累,不堪重負(fù),最后失去學(xué)幾何的信心。本文從“樹立學(xué)生的自信,調(diào)整教師教學(xué)策略”五個(gè)方面來闡述幾何證明過程的書寫。
【關(guān)鍵詞】自信心 幾何語言 搭架子 引路 分析
近幾年的中考數(shù)學(xué)試題的分值分布,一般是數(shù)與代數(shù)占45%,空間與圖形占40%,統(tǒng)計(jì)與概率占5%。學(xué)生失分較嚴(yán)重的是空間與圖形這部分內(nèi)容,而這部分內(nèi)容中學(xué)生主要是對(duì)幾何證明過程的書寫掌握不了,有些同學(xué)會(huì)說過程,而寫出來的過程就漏洞百出,不嚴(yán)密。有的同學(xué)腦袋里思路很清楚,老師要他說過程時(shí),他一個(gè)字也答不出,等別的同學(xué)把證明過程寫出來后,就會(huì)說:“我就是這樣想的”。還有的同學(xué)看見成績(jī)比自己好的同學(xué)都不會(huì)寫幾何證明過程就開始放棄學(xué)幾何這門學(xué)科。在我們農(nóng)村學(xué)校一個(gè)班能真正掌握幾何證明過程書寫的學(xué)生只有5-6個(gè),針對(duì)這些現(xiàn)象,本文談?wù)勅绾螘鴮懞贸踔袛?shù)學(xué)幾何證明過程的教學(xué)策略。
一 、樹立學(xué)生的自信心
初中生具有可塑性,特別是初一的學(xué)生,他們的心理是易改變的,教師要抓住他們的心理特征,肯定他們的成績(jī),樹立學(xué)習(xí)的自信心。在課堂上要多提問學(xué)生,只要學(xué)生答對(duì)了一點(diǎn)都要及時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生,讓學(xué)生感覺到自己是好樣的。在批改學(xué)生的作業(yè)時(shí),學(xué)生答題正確的,我會(huì)在他的作業(yè)本上批上“你真棒,你的答案跟標(biāo)準(zhǔn)答案一樣”的鼓勵(lì)性語言,從而增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)的自信心。對(duì)于答題不完整的學(xué)生,我會(huì)把不完整的或錯(cuò)的地方用波浪線畫出來,并個(gè)別指導(dǎo)這些學(xué)生,輔導(dǎo)他們寫對(duì)為止,讓這些學(xué)生感覺到老師是愛他們的、關(guān)心他們的,從而增強(qiáng)這類學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心。同時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)初中幾何的學(xué)習(xí)方法,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,消除學(xué)生怕學(xué)習(xí)幾何的心理障礙,樹立學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心。
二、注重幾何語言的教學(xué)
在小學(xué),學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一部分幾何知識(shí),但沒有書寫格式上的要求,只要能看懂圖形,根據(jù)圖形回答問題即可。也就是說初一是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的關(guān)鍵期,寫好幾何證明過程要從初一抓起。
首先,要讓學(xué)生理解并掌握一些規(guī)范性的幾何語句,并要求學(xué)生識(shí)記。如:“線段m和n相交于點(diǎn)P”,“延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C,使AC=2AB”,“ 延長(zhǎng)線段AB是指按從端點(diǎn)A到B的方向,反向延長(zhǎng)線段AB是指按從端點(diǎn)B到A的方向 ”,“過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為點(diǎn)D”,“過點(diǎn)A作AB∥CD”等常用的幾何語句,目的是使學(xué)生能看懂幾何證明題的題意。
其次,在幾何入門教學(xué)時(shí),課本里的性質(zhì)和判定都要求學(xué)生能用幾何語言來表達(dá),并要求學(xué)生記住這些性質(zhì)和判定的幾何語言。例如:平行線的性質(zhì)1是“兩直線平行,同位角相等”。
它的幾何語言表達(dá)是:∵a∥b ∴∠1=∠2
學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過程的訓(xùn)練是為以后正確書寫推理過程做準(zhǔn)備的,就好比語文要寫出一篇好文章,學(xué)生必須平時(shí)要積累好詞好句一樣。
三、教師搭架子,學(xué)生填依據(jù)
幾何證明過程的書寫格式與代數(shù)解題格式有很大的差異,因此,在幾何入門教學(xué)時(shí),應(yīng)讓學(xué)生明白最基本的幾何證明過程的格式,由老師給出證明過程,也就是搭架子,讓學(xué)生填依據(jù)。這樣一方面可以使學(xué)生鞏固前面學(xué)過的定義、公理、性質(zhì)及判定,另一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。例如:如圖,E為DF上的點(diǎn),B為AC 上的點(diǎn),∠ 1=∠2,∠C= ∠D,試說明AC∥DF,在每步后面填上依據(jù)。(注:紅色部分由學(xué)生填寫)
四、教師引路,學(xué)生補(bǔ)充證明過程
經(jīng)過第三個(gè)環(huán)節(jié)后,學(xué)生已經(jīng)牢牢記住了課本的定義、公理、性質(zhì)及判定,同時(shí)也掌握了書寫證明過程的格式要求。接下來我就訓(xùn)練學(xué)生完成由老師給出條件,學(xué)生寫出結(jié)論的這種題型,這樣學(xué)生對(duì)證明過程書寫格式和證明思路有足夠的感性認(rèn)識(shí),并逐步發(fā)展到能夠獨(dú)立完成書寫證明過程。例如,完成下面的證明:(注:紅色部分由學(xué)生填寫)
如圖,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠1+∠2=90?,求證:AB∥CD
五、培養(yǎng)學(xué)生分析證明題
學(xué)生已明確了證明過程必須要有理有據(jù),但要學(xué)生獨(dú)自完成證明過程,還是有很多學(xué)生不知從何處著手去分析,因此要正確的書寫證明過程,必須要有一個(gè)清晰的證明思路。要做好這一步,教學(xué)時(shí)要著重這方面的訓(xùn)練,我是按下面的方法來訓(xùn)練學(xué)生的。例如,“已知:如圖,AD∥EF, ∠ 1=∠2。求證:AB∥DG”
首先,要求學(xué)生結(jié)合圖形來看題目,在圖中把題目給出的條件找出來。
此題的條件是AD∥EF。
然后,讓學(xué)生寫出由AD∥EF,得出的結(jié)論(要求學(xué)生用幾何語言書寫結(jié)論),這時(shí)學(xué)生就會(huì)聯(lián)想到平行線的性質(zhì),從而得出角相等或互補(bǔ)。再提問學(xué)生:“AD與EF是被什么直線所截”,學(xué)生從圖中很容易發(fā)現(xiàn)是被AB和BC所截,再讓學(xué)生觀察圖,此題是要被AB截出的角呢?還是要被BC截出的角,鼓勵(lì)學(xué)生大膽用幾何語言說出來,或者叫學(xué)生把答案在黑板上板書。學(xué)生寫出的答案有以下幾種:“∵AD∥EF,∴∠ 1=∠BAD”, “∵AD∥EF,∴∠ FEA+∠BAD=180?”, “∵AD∥EF,∴∠ BFE=∠BDA”, “∵AD∥EF,∴∠ BFE+∠BDA=180?”等結(jié)果,再讓學(xué)生看題目,題目還有一個(gè)條件∠ 1=∠2,接著提問學(xué)生:上面的結(jié)論哪個(gè)與∠ 1=∠2有聯(lián)系,這時(shí)學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)∠ 1=∠BAD與∠ 1=∠2有聯(lián)系,再提問學(xué)生:由這兩個(gè)條件能得出什么結(jié)論呢?學(xué)生很快說出答案:“∠BAD=∠2”。再讓學(xué)生觀察圖中∠BAD與∠2,提問學(xué)生:“∠BAD與∠2是哪兩條直線被哪一條直線所截成的”。學(xué)生的答案是直線AB,DG被直線AD所截,再啟發(fā)學(xué)生回憶平行線的判定,學(xué)生很快就可以由內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行證得AB∥DG
最后,鼓勵(lì)學(xué)生把剛剛的過程寫出來,寫完后,把部分學(xué)生的答案用投影示范出來,寫得好的,給予表?yè)P(yáng)。寫得不足的,幫助他更正。
總之,要教會(huì)學(xué)生寫好幾何證明過程,還需要學(xué)生多觀察,多練習(xí),多歸納,這樣就可以熟能生巧,見的多了、寫的多了思維就開拓了。
初中數(shù)學(xué)幾何證明論文篇2
淺談初中數(shù)學(xué)幾何證明的三種思維
摘 要:幾何證明在初中數(shù)學(xué)中屬于較為重要的科目,嚴(yán)重影響著數(shù)學(xué)成績(jī),因此,在幾何證明的學(xué)習(xí)過程中,掌握必要的解題方法與思維方式是非要有必要的。主要對(duì)幾何證明中使用的三種思維進(jìn)行了探討,分別為正向思維、逆向思維、正逆結(jié)合。
關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);幾何證明;正向思維;逆向思維;正逆結(jié)合
在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,最為困擾學(xué)生的難題就是幾何證明,這是令很多學(xué)生都很頭疼和焦慮的問題。其實(shí),對(duì)于幾何證明題目,只要認(rèn)真分析題中已知條件,清楚地掌握解題的技巧與方法,幾何證明并沒有那么可怕,以下主要對(duì)初中數(shù)學(xué)幾何證明中三種思維進(jìn)行淺談,作為今后學(xué)習(xí)的參考。
一、正向思維
在一般幾何證明題中,對(duì)于一些簡(jiǎn)單題目,正向思維方式應(yīng)用得比較多,求證過程相對(duì)簡(jiǎn)單、容易,從已知條件入手,向著證明結(jié)果進(jìn)行逐步推理即可,比如,證明:等腰三角形兩底角的角平分線相等。正向思維過程:根據(jù)題意可知在等腰三角形ABC中,AB=AC,角平分線分別為BD和CE,最終結(jié)果就是求證:BD=CE,如圖1所示。
■
圖1 等腰三角形ABC
求證過程:已知:AB=AC,
由等邊對(duì)等角得:∠ABC=∠ACB.
已知:角平淺談初中數(shù)學(xué)幾何證明的三種思維
張祥飛
(新疆阿克蘇市第三中學(xué))分線分別為BD和CE,由角平分線定義可知:∠1=∠A+∠ACE,∠2=∠A+∠ABD
∠ACE=∠ABD
等量代換:∠1=∠2
在三角形BEC和三角形CDB中,可得:∠1=∠2,CB=BC,∠DBC=∠ECB.
因此,角邊角定理可知:三角形BEC和三角形CDB全等。
由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得:BD=CE。
二、逆向思維
在解題過程中,學(xué)生在思考問題時(shí),可以選擇不同的方法、不同的角度,對(duì)解題方法進(jìn)行探索,有助于學(xué)生解題思路的拓展。比如,在講授勾股定律一課時(shí),有這樣一道證明題:
求證:■+■=■
在講解過程中,應(yīng)該利用逆向思維,從結(jié)論入手,這樣可以消除不必要的運(yùn)算,即,對(duì)結(jié)論進(jìn)行變形,此方法簡(jiǎn)單方便。
證明如下:■+■=■
將等式左邊兩項(xiàng)進(jìn)行合并:■=■,在直角三角形ABC中,有AC2+AB2=BC2
因此,原式可以變形為:■=■
交叉相乘可得:AB2・AC2=BC2・CD2
使用積的乘方的逆運(yùn)算可得:(AB・AC)2=(BC・CD)2
因此,AB、BC、AC、CD均為三角形的邊,都是正數(shù),由上式可得:AB・AC=BC・CD
進(jìn)而,便可求得證明結(jié)果:■+■=■
三、正逆結(jié)合
在一些幾何證明題目中,從結(jié)論很難找到突破口,此時(shí)學(xué)生可以對(duì)已知條件和結(jié)論進(jìn)行充分分析。在初中數(shù)學(xué)中,題目中所給出的已知條件,多數(shù)在解題過程中都要使用,因此,從已知條件入手,尋找新的解題思路,比如,已知三角形某邊中點(diǎn),此時(shí)可以想到輔助線有中位線,或是使用中點(diǎn)倍長(zhǎng)法。在梯形中,如果已知中點(diǎn)的話,就要想到作高線、補(bǔ)形結(jié)合、平移對(duì)角、平移腰等,總之,在解題中,充分使用正逆結(jié)合思維,效果往往不錯(cuò)。比如,如圖2所示,在梯形ABCD中,已知AE垂直于DC,AB平行于CD,點(diǎn)E為垂足,其中AC邊等于20,BD邊等于15,AE邊等于12,求梯形ABCD的面積?
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圖2 梯形ABCD
解題過程如下:作AM平行于BD,交點(diǎn)M在CD的延長(zhǎng)線上,可得到平行四邊形AMDB,即AM=BD,由于三角形ADM與三角形ADB的面積相等,再加上AB平行于CD,可知三角形ABC與三角形ADB的面積相等,所以,梯形ABCD的面積等于三角形AMC的面積。
因此,在三角形AME中,ME=■=9
在三角形AEC中,EC=■=16
即,梯形ABCD的面積等于三角形AMC:S△AMC=12×(9+16)×■=150
四、在初中數(shù)學(xué)幾何證明中應(yīng)用三種思維方式的重要性
隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的逐步推進(jìn),初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和應(yīng)用能力。在實(shí)際教學(xué)中,通過實(shí)例,將三種思維方式融入解題中,充分拓展學(xué)生的思維,對(duì)幾何證明題目進(jìn)行觀察、分析、歸納和操作。在解題過程中,體驗(yàn)幾何證明題的挑戰(zhàn)性和探索性,在思考過程中,感受幾何證明的條理性和結(jié)論的確定性,不斷培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性與靈活性,進(jìn)而開拓學(xué)生的邏輯思維能力。
在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,學(xué)生對(duì)幾何證明題感到困難是普遍存在的問題,尤其對(duì)于一些較為復(fù)雜且難度較大的題目,更是無從下手。在幾何證明中,不論是正向思維還是逆向思維,都需要正確的證明思路,經(jīng)過不同思維方式的應(yīng)用,便可對(duì)題目中的已知條件進(jìn)行充分利用。正逆結(jié)合通常又稱為綜合法,在解題過程中應(yīng)用得比較多,多數(shù)證明題目都需要正向思維與逆向思維的結(jié)合,使用單一思維方式的題目比較少。正逆結(jié)合是指從題目的已知條件出發(fā),確定相應(yīng)的定理、定義,即尋找解題的依據(jù),進(jìn)而進(jìn)行逐步推理,直到得出證明的結(jié)論為止。
逆向思維是指從題目的結(jié)論出發(fā),對(duì)結(jié)論成立的條件進(jìn)行探索,經(jīng)過逐步推理,找出所需的條件,直到已知條件出現(xiàn)為止。正逆結(jié)合的缺點(diǎn)在于進(jìn)行推理的思路過多,題目中需要的定理也比較多,學(xué)生往往感到無從下手。而逆向思維法,首先認(rèn)定結(jié)論,在倒推的過程中,啟發(fā)思考,針對(duì)明確的目的進(jìn)行相應(yīng)的推理,便可了解推理的依據(jù),進(jìn)而使人了解到整個(gè)思維過程。對(duì)于一些較為復(fù)雜的證明題,“兩頭湊”的思維方式應(yīng)用得也比較多,首先從已知條件出發(fā),對(duì)多種結(jié)論進(jìn)行推理,再?gòu)囊阎}目中的結(jié)論出發(fā),對(duì)所需的條件進(jìn)行推理,進(jìn)而尋找兩者之間的差距,便可得到相應(yīng)的證明思路,達(dá)到求解目的。
綜上所述,在求證幾何題目之前,對(duì)于題目給出的已知條件應(yīng)該詳細(xì)分析,對(duì)題目中的已知圖形進(jìn)行詳細(xì)觀察,針對(duì)題目的具體情況,選擇合適的解題思維,探尋新的證明思路,不斷提升自身的解題能力。
參考文獻(xiàn)
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