不定方程(丟番圖方程)是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制(如要求是有理數(shù)、整數(shù)或正整數(shù)等)的方程或方程組。以下是學(xué)習(xí)啦小編為你精心整理的不定方程的發(fā)明介紹，希望你喜歡。

　　不定方程簡(jiǎn)介

　　不定方程(indeterminate equation)是數(shù)論的一個(gè)分支，它有著悠久的歷史與豐富的內(nèi)容。所謂不定方程是指解的范圍為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)或代數(shù)整數(shù)的方程或方程組，其未知數(shù)的個(gè)數(shù)通常多于方程的個(gè)數(shù)。

　　古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖于三世紀(jì)初就研究過(guò)若干這類方程，所以不定方程又稱丟番圖方程，是數(shù)論的重要分支學(xué)科，也是歷史上最活躍的數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一。不定方程的內(nèi)容十分豐富，與代數(shù)數(shù)論、幾何數(shù)論、集合數(shù)論等等都有較為密切的聯(lián)系。1969年，莫德?tīng)栞^系統(tǒng)地總結(jié)了這方面的研究成果。

　　不定方程歷史

　　不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一。

　　古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就開(kāi)始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。Diophantus，古代希臘人，被譽(yù)為代數(shù)學(xué)的鼻祖，流傳下來(lái)關(guān)于他的生平事跡并不多。今天我們稱整系數(shù)的不定方程為「Diophantus方程」，內(nèi)容主要是探討其整數(shù)解或有理數(shù)解。他有三本著作，其中最有名的是《算術(shù)》，當(dāng)中包含了189個(gè)問(wèn)題及其答案，而許多都是不定方程組(變量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù))或不定方程式(兩個(gè)變數(shù)以上)。丟番圖只考慮正有理數(shù)解，而不定方程通常有無(wú)窮多解的。

　　研究不定方程要解決三個(gè)問(wèn)題：①判斷何時(shí)有解。②有解時(shí)決定解的個(gè)數(shù)。③求出所有的解。中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家，公元初的五家共井問(wèn)題就是一個(gè)不定方程組問(wèn)題，公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問(wèn)題標(biāo)志中國(guó)對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究。秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來(lái)。百雞問(wèn)題說(shuō)：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何?”。設(shè)x，y，z分別表雞翁、母、雛的個(gè)數(shù)，則此問(wèn)題即為不定方程組的非負(fù)整數(shù)解x，y，z，這是一個(gè)三元不定方程組問(wèn)題。

　　不定方程常見(jiàn)類型

　?、徘蟛欢ǚ匠痰恼麛?shù)解;

　　⑵判定不定方程是否有解;

　?、桥卸ú欢ǚ匠痰慕獾膫€(gè)數(shù)(有限個(gè)還是無(wú)限個(gè))。

　　一次不定方程

　　二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c。其中 a，b，c 是整數(shù)，ab ≠ 0。此方程有整數(shù)解的充分必要條件是a、b的最大公約數(shù)整除c。設(shè)、是該方程的一組整數(shù)解，那么該方程的所有整數(shù)解可表示為.

　　S(≥2)元一次不定方程的一般形式為a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n為整數(shù)，且a1…as≠0。此方程有整數(shù)解的充分必要條件是a1，…，as的最大公約數(shù)整除n。

　　埃拉托塞尼篩法產(chǎn)生的素?cái)?shù)普遍公式是一次不定方程　公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就發(fā)現(xiàn)了數(shù)論的本質(zhì)是素?cái)?shù)，他自己證明了有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)，公元前250年古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托塞尼發(fā)明了一種篩法：

　　一“要得到不大于某個(gè)自然數(shù)N的所有素?cái)?shù)，只要在2---N不大于√N的素?cái)?shù)的倍數(shù)全部劃去即可”。

　　二后來(lái)人們將上面的內(nèi)容等價(jià)轉(zhuǎn)換：“如果N是合數(shù)，則它有一個(gè)因子d滿足1上海科技出版社)..

　　三再將二的內(nèi)容等價(jià)轉(zhuǎn)換：“若自然數(shù)N不能被不大于(根號(hào))√N的任何素?cái)?shù)整除，則N是一個(gè)素?cái)?shù)”。見(jiàn)(代數(shù)學(xué)辭典[上海教育出版社]1985年。屜部貞世朗編。259頁(yè))。

　　四上面這句話的漢字可以等價(jià)轉(zhuǎn)換成為用英文字母表達(dá)的公式：

　　N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak。⑴

　　其中p1，p2，.....，pk表示順序素?cái)?shù)2，3，5，，，，，。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N

　　字母后面的數(shù)字或者i與k都是腳標(biāo)] ，則N是一個(gè)素?cái)?shù)。

　　五可以把(1)等價(jià)轉(zhuǎn)換成為用同余式組表示：

　　N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。⑵

　　例如，29，29不能夠被根號(hào)29以下的任何素?cái)?shù)2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一個(gè)素?cái)?shù)。

　　以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。

　　由于⑵的模p1，p2，....，pk 兩兩互素，根據(jù)孫子定理(中國(guó)剩余定理)知，⑵在p1p2.....pk范圍內(nèi)有唯一解。

　　例如k=1時(shí)，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了(3，3*)區(qū)間的全部素?cái)?shù)。

　　k=2時(shí)，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19; N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了(5，5*)區(qū)間的全部素?cái)?shù)。

　　k=3時(shí)，

　　---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|

　　---------------------|---------|----------|--------|---------|

　　n=2m+1=3m+1= |--31----|--7,37-|-13,43|--19----|

　　n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|

　　------------------------------------------------------------

　　求得了(7，7*)區(qū)間的全部素?cái)?shù)。仿此下去可以求得任意大的數(shù)以內(nèi)的全部素?cái)?shù)。

　　多元一次

　　關(guān)于整數(shù)多元一次不定方程，可以有矩陣解法、程序設(shè)計(jì)等相關(guān)方法輔助求解。

　　二次

　　二元二次不定方程本質(zhì)上可以歸結(jié)為求二次曲線(即圓錐曲線)的有理點(diǎn)或整點(diǎn)問(wèn)題。

　　一類特殊的二次不定方程是x^2+y^2=z^2，其正整數(shù)解稱商高數(shù)或勾股數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)，中國(guó)《周髀算經(jīng)》中有“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”之說(shuō)，已經(jīng)知道 (3，4，5)是一個(gè)解。劉徽在注《九章算術(shù)》中又給出了(5，12，13)，(8，15，17)， (7，24，25)，(20，21，29)幾組勾股數(shù)。它的全部正整數(shù)解已在16世紀(jì)前得到。這類方程本質(zhì)上就是求橢圓上的有理點(diǎn)。

　　另一類特殊的二次不定方程是所謂佩爾方程x2-Dy2=1，D是非平方的正整數(shù)。利用連分?jǐn)?shù)理論知此方程永遠(yuǎn)有解。這類方程就是求雙曲線上的有理點(diǎn)。

　　最后一類就是平方剩余問(wèn)題， 即求x^2-py=q的整數(shù)解， 用高斯的同余理論來(lái)描述，就是求x^2≡q(mod p)的剩余類解。高斯發(fā)現(xiàn)的著名二次互反律給出了次方程是否有解的判定方法。這類方程就相當(dāng)于求拋物線上的整點(diǎn)。

　　圓錐曲線對(duì)應(yīng)的不定方程求解可以看做橢圓曲線算術(shù)性質(zhì)的一種特例。

　　高次

　　對(duì)高于二次的不定方程，相當(dāng)復(fù)雜。當(dāng)n>2時(shí)，x^n+y^n=z^n沒(méi)有非平凡的整數(shù)解 ，即著名的費(fèi)馬大定理，歷經(jīng)3個(gè)世紀(jì) ，已由英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯 ·維爾斯證明完全可以成立。

　　有一些高次方程同樣無(wú)解：

　　多元高次不定方程

　　多元高次不定方程沒(méi)有一般的解法，任何一種解法都只能解決一些特殊的不定方程，如利用二次

　　域來(lái)討論一些特殊的不定方程的整數(shù)解.常用的解法

　?、糯鷶?shù)恒等變形：如因式分解、配方、換元等;

　　⑵不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變量的范圍，進(jìn)而求解;

　　⑶同余法：對(duì)等式兩邊取特殊的模(如奇偶分析)，縮小變量的范圍或性質(zhì)，得出不定方程的整數(shù)解或判定其無(wú)解;

　?、葮?gòu)造法：構(gòu)造出符合要求的特解，或構(gòu)造一個(gè)求解的遞推式，證明方程有無(wú)窮多解;

　?、蔁o(wú)窮遞推法。

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