形式邏輯的死穴:無窮問題
辯論是需要以思維帶動語言的,思維是要遵循一定邏輯規(guī)律的,哲學(xué)就是研究這種規(guī)律性問題的學(xué)科,系統(tǒng)的理論的邏輯關(guān)系是指導(dǎo)辯論活動的基本內(nèi)容。今天學(xué)習(xí)啦小編給大家分享一些辯論中形式邏輯的死穴,希望對大家有所幫助。
形式邏輯的死穴:無窮問題
1.芝諾悖論
跑得最快的阿基里斯永遠(yuǎn)追不上爬得最慢的烏龜。大意是說甲跑的速度遠(yuǎn)大于乙,但乙比甲先行一段距離,甲為了趕上乙,須超過乙開始的A點,但甲到了A點,則乙已進(jìn)到A1點,而當(dāng)甲再到A1點,則乙又進(jìn)到A2點,依次類推,直到無窮,兩者距離雖越來越近,但甲永遠(yuǎn)在乙后面而追不上乙。古希臘的理性傳統(tǒng)促生了柏拉圖和亞里士多德這樣的偉大的思想家,但芝諾悖論卻讓古希臘理性傳統(tǒng)受到了致命的挑戰(zhàn),芝諾使得世人只能陷入這樣的猶豫:邏輯,還是事實,這是個問題!
2.根號2悖論
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,這個曾今顯赫一時的融數(shù)學(xué)、哲學(xué)、宗教于一體學(xué)派結(jié)果卻是被一個名字叫作“根號2”的東西終結(jié)了。他們在做幾何測量的時候發(fā)現(xiàn)一個問題:當(dāng)?shù)妊苯侨切蔚闹苯沁叺扔?的時候,那么斜邊是多少?絞盡腦汁推理計算也無法算出這個數(shù)來,但事實上這個由直角邊為1的等腰直角三角形的斜邊的存在是不可否認(rèn)的。這個問題讓迷信數(shù)字的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派陷入了恐慌,為了保證學(xué)派的信仰的尊嚴(yán),他們于是封鎖消息,禁止成員向外泄露,據(jù)說一個泄露了這個秘密的人被無情地拋進(jìn)了大海。在我們今天看來,其實很好解釋,把畢達(dá)哥拉斯學(xué)派送上歸路的其實正是無窮問題。
3.休謨悖論
我們看到的天鵝都是白的,能否得到結(jié)論:所有的天鵝都是白的?太陽從來都是從東方升起,我們能否肯定明天太陽一定從東方升起?休謨認(rèn)為,不能。我們所得到的結(jié)論只能在我們的經(jīng)驗范圍內(nèi)有效,超出了我們的經(jīng)驗,我們完全不敢保證。休謨從經(jīng)驗主義原則出發(fā)得到了這樣的結(jié)論:由培根所開創(chuàng)的歸納法并沒有充足的理由得到任何全稱命題。歸納法破產(chǎn)了,經(jīng)驗主義破產(chǎn),歸納法和經(jīng)驗主義為什么會破產(chǎn),就是因為它們遭遇了無限的問題。
4.貝克萊悖論
十七世紀(jì)后期,牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分學(xué),成為解決眾多問題的重要而有力的工具,并在實際應(yīng)用中獲得了巨大成功,然而,微積分學(xué)產(chǎn)生伊始就遭到了懷疑,原因在于當(dāng)時的微積分主要建立在無窮小分析之上,而無窮小后來證明是包含邏輯矛盾的。1734年,大主教貝克萊寫了本《分析學(xué)家》的小冊子,在這本小冊子中,他十分有效地揭示了無窮小分析方法中所包含的這種邏輯矛盾。這就是所謂的“貝克萊悖論”?;\統(tǒng)地說,貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為零的問題”就實際應(yīng)用而言,它必須既是零,又不是零。而從形式邏輯角度而言,這無疑是一個矛盾。貝克萊悖論,動搖了人們對微積分正確性的信念,在當(dāng)時數(shù)學(xué)界引起了一定混亂,從而導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上所謂的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。微積分產(chǎn)生后,一方面在應(yīng)用中大獲成功,另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾,即貝克萊悖論,也就是說,正確的(尤其是在幾何應(yīng)用上是驚人的)結(jié)果卻是通過肯定不正確的數(shù)學(xué)途徑得出的。這把數(shù)學(xué)家們推到了尷尬境地。
5.傅立葉悖論
微積分產(chǎn)生之初,對基礎(chǔ)不牢的指責(zé),以及由此引發(fā)的爭論,一直就是微積分學(xué)奏出的光輝樂章中的不諧和音。然而在十八世紀(jì),它被微積分應(yīng)用中驚人的成功所贏得的震耳掌聲暫時掩蓋了。經(jīng)過數(shù)學(xué)發(fā)明的十八世紀(jì)后,數(shù)學(xué)建筑擴(kuò)大了,房子蓋得更高了,而基礎(chǔ)卻沒有補充適當(dāng)?shù)膹姸?。十八世紀(jì)粗糙的,不嚴(yán)密的工作導(dǎo)致謬誤越來越多的局面,不諧和音的刺耳開始震動了數(shù)學(xué)家們的神經(jīng)。
6.柯西與康托爾的努力
柯西于1820年研究了極限定義,并創(chuàng)造性地用極限理論把微積分學(xué)中的定理加以嚴(yán)格的系統(tǒng)的證明,使微積分學(xué)有了較堅實的理論基礎(chǔ),同時柯西也因之成為加固微積分學(xué)基礎(chǔ)的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在著兩點主要的不足。其一,他的極限定義用了描述性語言“無限的趨近”“隨意小”,不夠精確。這一點由德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出精確描述數(shù)列極限的“ε-δ ”方法和函數(shù)極限的“ε-δ”方法,把微積分奠基于算術(shù)概念的基礎(chǔ)上,獲得了圓滿解決。其二,他對單調(diào)有界定理的證明借助了幾何直覺。魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨立深入的研究,都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實數(shù)理論,并于七十年代各自建立了自己完整的實數(shù)體系,這樣數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸納為實數(shù)論的無矛盾性,從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。
康托爾以其集合論的成就被譽為對20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一。他從研究“收斂的傅立葉級數(shù)所表示的函數(shù)存在不連續(xù)”這一事實,提出無窮集合的概念,并以一一對應(yīng)關(guān)系為基本原則,尋求無窮集合的“多少”關(guān)系。他把兩個能一一對應(yīng)的集合稱為同勢,利用勢他將無限集進(jìn)行了分類,最小的無限集為可數(shù)集a,即指與自然數(shù)集等勢的無窮集。進(jìn)一步,康托爾證明實數(shù)集的勢c>a,一切實函數(shù)的勢f>c,并且對任何一個集合,均可造出一個具有更大勢的集合,即是說沒有最大的勢。鑒于此,1896年康托爾根據(jù)無窮性有無窮多學(xué)說,制訂了無限大算術(shù),對各種無窮大建立了一個完整序列,他用希伯來字母表中第一個字母阿列夫來表示這些數(shù)。于是, 直至無窮。無窮集合自身又構(gòu)成了一個無窮序列。這就是康托爾創(chuàng)立了超限數(shù)理論。康托爾的工作,在發(fā)表之初遭到許多人的嘲笑與攻擊。克羅內(nèi)克有句名言:上帝創(chuàng)造了自然數(shù),其它都是人為的。他完全否認(rèn)并攻擊康托爾的工作,稱“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”,更有人嘲笑康托爾關(guān)于無窮的等級的超限數(shù)理論純粹為“霧中之霧”。前后經(jīng)過20余年,康托的工作才最終獲世界公認(rèn),并贏得極大贊譽。羅素稱贊說:“Cantor的工作可能是這個時代所能夸耀的最偉大的成就。”希爾伯特稱其超限理論為“數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物,在純粹理性的范疇中人類智力的最美的表現(xiàn)之一。”康托集合論的提出標(biāo)志了近代數(shù)學(xué)的開端。他的觀點中,無窮集合是被看作一個現(xiàn)實的,完成的,存在著的整體,是可認(rèn)識,可抓住的東西。
7.羅素悖論
“集合論是有漏洞的!”正當(dāng)數(shù)學(xué)家們在無窮集合的伊甸園中優(yōu)哉游哉,并陶醉于數(shù)學(xué)絕對嚴(yán)格性的時候,一個驚人的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界,這就是1902年羅素提出的羅素悖論。
危機(jī)正是由康托爾研究的無限集合引發(fā)的。羅素構(gòu)造了一個集合U,U由所有不屬于自身的集合組成,U顯然存在,但U是否屬于自身呢?無論回答是否都將導(dǎo)致矛盾,這就是著名的羅素悖論。羅素悖論相當(dāng)簡明,以致幾乎沒有什么可以辯駁的余地動搖了整個數(shù)學(xué)大廈的基石:集合論。“絕對嚴(yán)密”“天衣無縫”的數(shù)學(xué),又一次陷入了自相矛盾與巨大裂縫的危機(jī)之中。
危機(jī)產(chǎn)生后,包括羅素本人在內(nèi)的眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去。1908年,策梅羅提出公理化集合論,后經(jīng)改進(jìn)形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng),簡稱ZF公理系統(tǒng),使原本直觀的集合概念建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上,從而避免了羅素悖論的產(chǎn)生,在表層上解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。
8.實無限與潛無限
認(rèn)真考察無窮在數(shù)學(xué)中的發(fā)展歷程,可以注意到在數(shù)學(xué)無窮思想中一直存在著兩種觀念:實無限思想與潛無限思想。所謂潛無限思想是指:“把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的,一種變化著成長著被不斷產(chǎn)生出來的東西來解釋。它永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中,永遠(yuǎn)完成不了,是潛在的,而不是實在。把無限看作為永遠(yuǎn)在延伸著的(即不斷在創(chuàng)造著的永遠(yuǎn)完成不了的)過程。所謂實無限思想是指:把無限的整體本身作為一個現(xiàn)成的單位,是已經(jīng)構(gòu)造完成了的東西,換言之,即是把無限對象看成為可以自我完成的過程或無窮整體。數(shù)學(xué)中無限的歷史實際上是兩者在數(shù)學(xué)中合理性的歷史。 在數(shù)學(xué)無窮發(fā)展歷程中,我們已經(jīng)看到征服無窮的路途中,悖論是一次次出現(xiàn):芝諾悖論、貝克萊悖論、羅素悖論的出現(xiàn)即為例證。雖說,歷經(jīng)幾百年,數(shù)代數(shù)學(xué)家的艱苦努力,建立的極限論、實數(shù)論、ZF公理系統(tǒng)解決了這些悖論及由此導(dǎo)致的危機(jī)。然而悖論的的清除,矛盾的回避也導(dǎo)致了數(shù)學(xué)確定性的一步步喪失。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)只是于表面上解決了,實質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。希爾伯特曾企圖用形式主義“一勞永逸地消除任何對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)可靠性的懷疑。”然而其一攬子解決方案在1930年哥德爾發(fā)現(xiàn)不完備定理后宣告付之東流了。哥德爾的工作使人們對無窮的認(rèn)識又上升了一個層次。人們開始更深刻地明白:任何想一勞永逸解決無窮問題的努力是烏托邦式工作不可能成功。認(rèn)識無窮、征服無窮之途本身就是個極限過程。