2017年鄂州中考數(shù)學模擬試題解析(2)
∴AC= = =12，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF= AC=6，
∴點C關(guān)于DE的對稱點是A，故E點與P點重合時△BCP的周長最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，即 = ，解得AE= ，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽Rt△CBA，
∴ = ，即 = ，解得DE=12.5，即DP=12.5.
故答案為：12.5.
三、解答題
16.計算：( )﹣2﹣6sin30°﹣( )0+ +| ﹣ |
【考點】二次根式的混合運算;零指數(shù)冪;負整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】先算負指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，0指數(shù)冪，以及絕對值，再算乘法，最后算加減，由此順序計算即可.
【解答】解：原式=4﹣6× ﹣1+ ﹣ +
=4﹣3﹣1+
= .
17.化簡： ，然后請自選一個你喜歡的x值，再求原式的值.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把x=1代入計算即可求出值.
【解答】解：原式=[ ﹣ ]•
= •
= •
= ，
當x=1時，原式=1.
18.，線段AB繞某一點逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到線段A'B'，利用尺規(guī)確定旋轉(zhuǎn)中心.(不寫作法，保留作圖痕跡)
【考點】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換.
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點連線段的垂直平分線上.
【解答】解：點O為所求作，
19.蘭州市某中學對本校初中學生完成家庭作業(yè)的時間做了總量控制，規(guī)定每天完成家庭作業(yè)的時間不超過1.5小時，該校數(shù)學課外興趣小組對本校初中學生回家完成作業(yè)的時間做了一次隨機抽樣調(diào)查，并繪制出頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖()的一部分.
時間(小時) 頻數(shù)(人數(shù)) 頻率
0≤t<0.5 4 0.1
0.5≤t<1 a 0.3
1≤t<1.5 10 0.25
1.5≤t<2 8 b
2≤t<2.5 6 0.15
合計 1
(1)在圖表中，a= 12 ，b= 0.2 ;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)請估計該校1400名初中學生中，約有多少學生在1.5小時以內(nèi)完成了家庭作業(yè).
【考點】頻數(shù)(率)分布直方圖;用樣本估計總體;頻數(shù)(率)分布表.
【分析】(1)根據(jù)每天完成家庭作業(yè)的時間在0≤t<0.5的頻數(shù)和頻率，求出抽查的總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)乘以每天完成家庭作業(yè)的時間在0.5≤t<1的頻率，求出a，再用每天完成家庭作業(yè)的時間在1.5≤t<2的頻率乘以總?cè)藬?shù)，求出b即可;
(2)根據(jù)(1)求出a的值，可直接補全統(tǒng)計圖;
(3)用每天完成家庭作業(yè)時間在1.5小時以內(nèi)的人數(shù)所占的百分比乘以該校的總?cè)藬?shù)，即可得出答案.
【解答】解：(1)抽查的總的人數(shù)是： =40(人)，
a=40×0.3=12(人)，
b= =0.2;
故答案為：12，0.2;
(2)根據(jù)(1)可得：每天完成家庭作業(yè)的時間在0.5≤t<1的人數(shù)是12，補圖如下：
(3)根據(jù)題意得： ×1400=910(名)，
答：約有多少910名學生在1.5小時以內(nèi)完成了家庭作業(yè).
20.，在正方形ABCD和正方形ECGF中，連接BE，DG.求證：BE=DG.
【考點】正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，求出∠BCE=∠DCG，根據(jù)全等三角形的判定得出△EBC≌△GDC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可.
【解答】證明：∵在正方形ABCD和正方形ECGF中，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCE=∠DCG=90°﹣∠ECD，
在△EBC和△GDC中，
∴△EBC≌△GDC(SAS)，
∴BE=DG.
21.，一枚運載火箭從地面O處發(fā)射，當火箭到達A點時，從地面C處的雷達站測得AC的距離是6km，仰角是43°，1s后，火箭到達B點，此時測得仰角為45.5°，這枚火箭從點A到點B的平均速度是多少?(結(jié)果精確到0.01)
【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題.
【分析】在Rt△AOC中，求出OA、OC，在Rt△BOC中求出OB，即可解決問題.
【解答】解：在Rt△OCA中，OA=AC•tan43°≈4.092，
OC=AC•cos43°
在Rt△OCA中，OB=OC•tan45.5°≈4.375，
v=(OB﹣OA)÷t=(4.375﹣4.092)÷1≈0.28(km/s)
答：火箭從A點到B點的平均速度約為0.28km/s.
22.我市某工藝品廠生產(chǎn)一款工藝品、已知這款工藝品的生產(chǎn)成本為每件60元.
經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：該款工藝品每天的銷售量y(件)與售價x(元)之間存在著如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
售價x(元) … 70 90 …
銷售量y(件) … 3000 1000 …
(利潤=(售價﹣成本價)×銷售量)
(1)求銷售量y(件)與售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)你認為如何定價才能使工藝品廠每天獲得的利潤為40000元?
【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用;一元二次方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)一次函數(shù)的一般式y(tǒng)=kx+b，將(70，3000)(90，1000)代入即可求得;
(2)按照等量關(guān)系“利潤=(定價﹣成本)×銷售量”列出利潤關(guān)于定價的函數(shù)方程，求解即可.
【解答】解：(1)設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，根據(jù)題意得
解之得k=﹣100，b=10000
所以所求一次函數(shù)關(guān)系式為y=﹣100x+10000(x>0)
(2)由題意得(x﹣60)(﹣100x+10000)=40000
即x2﹣160x+6400=0，所以(x﹣80)2=0
所以x1=x2=80
答：當定價為80元時才能使工藝品廠每天獲得的利潤為40000元.
23.，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C(0，3)，頂點D的坐標為(﹣1，4).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M為線段AB上一點(點M不與點A、B重合)，過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊，當矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G(點G在點F的上方).若FG=2 DQ，請直接寫出點F的坐標.
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)設(shè)出二次函數(shù)頂點式，將C(0，3)代入解析式得到a=﹣1，從而求出拋物線解析式.
(2)設(shè)M點橫坐標為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周長d=﹣2m2﹣8m+2，將﹣2m2﹣8m+2配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出m的值，然后求得直線AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的邊長，從而求得三角形的面積.
(3)設(shè)F(n，﹣n2﹣2n+3)，根據(jù)已知若FG=2 DQ，即可求得.
【解答】解：(1)設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+1)2+4，
將C(0，3)代入解析式得，a(0+1)2+4=3，
a=﹣1，
可得，拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3;
(2)由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，對稱軸為x=﹣1，
設(shè)M點的橫坐標為m，則PM=﹣m2﹣2m+3，MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周長=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10，
∴當m=﹣2時矩形的周長最大.
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
解得k=1，b=3，
∴解析式y(tǒng)=x+3，當x=﹣2時，則E(﹣2，1)，
∴EM=1，AM=1，
∴S= •AM•EM= ×1×1= .
(3)∵M點的橫坐標為﹣2，拋物線的對稱軸為x=﹣1，
∴N應(yīng)與原點重合，Q點與C點重合，
∴DQ=DC，
把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，
∴D(﹣1，4)
∴DQ=DC= ，
∵FG=2 DQ，
∴FG=4，
設(shè)F(n，﹣n2﹣2n+3)，
則G(n，n+3)，
∵點G在點F的上方，
∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)=4，
解得：n=﹣4或n=1.
∴F(﹣4，﹣5)或(1，0).
24.，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面積為25，點D為AB邊上的任意一點(D不與A、B重合)，過點D作DE∥BC，交AC于點E.設(shè)DE=x，以DE為折線將△ADE翻折(使△ADE落在四邊形DBCE所在的平面內(nèi))，所得的△A'DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y.
(1)用x表示△ADE的面積;
(2)求出0
(3)求出5
(4)當x取何值時，y的值最大，最大值是多少?
【考點】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)由于DE∥BC，可得出三角形ADE和ABC相似，那么可根據(jù)面積比等于相似比的平方用三角形ABC的面積表示出三角形ADE的面積.
(2)由于DE在三角形ABC的中位線上方時，重合部分的面積就是三角形ADE的面積，而DE在三角形ABC中位線下方時，重合部分就變成了梯形，因此要先看0
(3)根據(jù)(2)可知5
(4)根據(jù)(2)(3)兩個不同自變量取值范圍的函數(shù)關(guān)系式，分別得出各自的函數(shù)最大值以及對應(yīng)的自變量的值，然后找出最大的y的值即可.
【解答】解：(1)∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
即S△ADE= x2;
(2)∵BC=10，
∴BC邊所對的三角形的中位線長為5，
∴當0
(3)5
∵S△A′DE=S△ADE= x2，
∴DE邊上的高AH=A'H= x，
由已知求得AF=5，
∴A′F=AA′﹣AF=x﹣5，
由△A′MN∽△A′DE知 =( )2，S△A′MN=(x﹣5)2.
∴y= x2﹣(x﹣5)2=﹣ x2+10x﹣25.
(4)在函數(shù)y= x2中，
∵0
∴當x=5時y最大為： ，
在函數(shù)y=﹣ x2+10x﹣25中，
當x=﹣ = 時y最大為： ，
∵ < ，
∴當x= 時，y最大為： .
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