正弦定理證明推導(dǎo)方法
正弦定理應(yīng)用的學(xué)科是數(shù)學(xué)，使用的領(lǐng)域范圍是幾何。下面是學(xué)習(xí)啦小編給大家整理的正弦定理證明推導(dǎo)方法，供大家參閱!
正弦定理證明推導(dǎo)方法
顯然，只需證明任意三角形內(nèi)，任一角的邊與它所對應(yīng)的正弦之比值為該三角形外接圓直徑即可。
現(xiàn)將△ABC，做其外接圓，設(shè)圓心為O。我們考慮∠C及其對邊AB。設(shè)AB長度為c。若
1 ∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c= 2R。
正弦定理∵
(特殊角正弦函數(shù)值)
正弦定理∴
2 若∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BC`'交 ⊙O于C`，連接C'A，顯然BC'= 2R。
∵在同圓或等圓中直徑所對的圓周角是直角。∴∠C'AB是直角。
2A 若∠C為銳角，則C'與C落于AB的同側(cè)，此時
∵在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等。
∴∠C'=∠C
正弦定理∴
，有
。
示意圖2B
若∠C為鈍角，則C'與C落于AB的異側(cè)，此時∠C'=180°-∠C，亦可推出
。
在△DAB中，應(yīng)用正弦函數(shù)定義，知
因此，對任意三角形的任一角及其對邊，均有上述結(jié)論。
考慮同一個三角形內(nèi)的三個角及三條邊，應(yīng)用上述結(jié)果，分別列式可得
。故對任意三角形，定理得證。
實際上該定理也可以用向量方法證明。
正弦定理定義
正弦定理(The Law of Sines)是三角學(xué)中的一個基本定理，它指出“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R為外接圓半徑)。正弦定理是解三角形的重要工具。正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦值之間的一個關(guān)系式。一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質(zhì)、鈍角三角形性質(zhì)進(jìn)行判斷。
正弦定理意義
正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦值之間的一個關(guān)系式。由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。
一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。
正弦定理實際應(yīng)用
1、在解三角形中，有以下的應(yīng)用領(lǐng)域：
已知三角形的兩角與一邊，解三角形。
已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形。
運用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。
注意：
銳角三角形解三角形時，已知兩角與一邊，三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時，其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由于該三角形具有不穩(wěn)定性，所以其解不確定，可結(jié)合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角，大角對大邊”定理和三角形內(nèi)角和定理去考慮解決問題。
一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質(zhì)、鈍角三角形性質(zhì)進(jìn)行判斷。若已知A、A的對邊a、A與a的夾邊C，則：
對于鈍角三角形，
若a≤b，則無解;
若a>b，則有一解;
對于銳角三角形，
若a
若a=bsinA，則有一解;
若bsinA
若a≥b，則有一解。
鈍角三角形2、三角形面積的計算。
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