高考數(shù)學(xué)填空題技巧
鑒于高考數(shù)學(xué)中選擇題占的比重較大,學(xué)習(xí)啦小編下面介紹幾種解答選擇題的技巧，希望大家能喜歡。
高考數(shù)學(xué)填空題技巧：直接法
這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結(jié)果。
例1設(shè) 其中i，j為互相垂直的單位向量，又 ，則實數(shù)m = 。
解： ∵ ，∴ ∴ ，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得 ∴ 。
例2已知函數(shù) 在區(qū)間 上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 。
解： ，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知， 在 上為增函數(shù)，∴ ，∴ 。
例3現(xiàn)時盛行的足球彩票，其規(guī)則如下：全部13場足球比賽，每場比賽有3種結(jié)果：勝、平、負，13長比賽全部猜中的為特等獎，僅猜中12場為一等獎，其它不設(shè)獎，則某人獲得特等獎的概率為 。
解：由題設(shè)，此人猜中某一場的概率為 ，且猜中每場比賽結(jié)果的事件為相互獨立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎的概率為 。
高考數(shù)學(xué)填空題技巧：特殊化法
當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果。
例4 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數(shù)列，則 。
解：特殊化：令 ，則△ABC為直角三角形， ，從而所求值為 。
例5 過拋物線 的焦點F作一直線交拋物線交于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長分別為p、q，則 。
分析：此拋物線開口向上，過焦點且斜率為k的直線與拋物線均有兩個交點P、Q，當(dāng)k變化時PF、FQ的長均變化，但從題設(shè)可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數(shù)和應(yīng)為定值，所以可以針對直線的某一特定位置進行求解，而不失一般性。
解：設(shè)k = 0，因拋物線焦點坐標(biāo)為 把直線方程 代入拋物線方程得 ，∴ ，從而 。
例6 求值 。
分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令 ，得結(jié)果為 。
高考數(shù)學(xué)填空題技巧：數(shù)形結(jié)合法
對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果。
例7 如果不等式 的解集為A，且 ，那么實數(shù)a的取值范圍是 。
解：根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù) 和
函數(shù) 的圖象(如圖)，從圖上容易得出實數(shù)a的取
值范圍是 。
例8 求值 。
解： ，
構(gòu)造如圖所示的直角三角形，則其中的角 即為 ，從而
所以可得結(jié)果為 。
例9 已知實數(shù)x、y滿足 ，則 的最大值是 。
解： 可看作是過點P(x，y)與M(1，0)的直線的斜率，其中點P的圓 上，如圖，當(dāng)直線處于圖中切線位置時，斜率 最大，最大值為 。
高考數(shù)學(xué)填空題技巧：等價轉(zhuǎn)化法
通過“化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果。
例10 不等式 的解集為(4，b)，則a= ，b= 。
解：設(shè) ，則原不等式可轉(zhuǎn)化為： ∴a 0，且2與 是方程 的兩根，由此可得： 。
例11 不論k為何實數(shù)，直線 與曲線 恒有交點，則實數(shù)a的取值范圍是 。
解：題設(shè)條件等價于點(0，1)在圓內(nèi)或圓上，或等價于點(0，1)到圓 ，∴ 。
例12 函數(shù) 單調(diào)遞減區(qū)間為 。
解：易知 ∵y與y2有相同的單調(diào)區(qū)間，而 ，∴可得結(jié)果為 。
總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準確地解數(shù)學(xué)填空題的關(guān)鍵。
高考數(shù)學(xué)填空題考點梳理
一、題型特點
填空題和選擇題同屬客觀性試題，它們有許多共同特點：其形態(tài)短小精悍，考查目標(biāo)集中，答案簡短、明確、具體，不必填寫解答過程，評分客觀、公正、準確等等。
不過填空題和選擇題也有質(zhì)的區(qū)別。首先，表現(xiàn)為填空題沒有備選項。因此，解答時既有不受誘誤的干擾之好處，又有缺乏提示的幫助之不足，對考生獨立思考和求解，在能力要求上會高一些，長期以來，填空題的答對率一直低于選擇題的答對率，也許這就是一個重要的原因。其次，填空題的結(jié)構(gòu)，往往是在一個正確的命題或斷言中，抽去其中的一些內(nèi)容(既可以是條件，也可以是結(jié)論)，留下空位，讓考生獨立填上，考查方法比較靈活。在對題目的閱讀理解上，較之選擇題，有時會顯得較為費勁。當(dāng)然并非常常如此，這將取決于命題者對試題的設(shè)計意圖。
填空題與解答題比較，同屬提供型的試題，但也有本質(zhì)的區(qū)別。首先，解答題應(yīng)答時，考生不僅要提供出最后的結(jié)論，還得寫出或說出解答過程的主要步驟，提供合理、合法的說明。填空題則無此要求，只要填寫結(jié)果，省略過程，而且所填結(jié)果應(yīng)力求簡練、概括和準確。其次，試題內(nèi)涵，解答題比起填空題要豐富得多。填空題的考點少，目標(biāo)集中，否則，試題的區(qū)分度差,課前預(yù)習(xí)，其考試信度和效度都難以得到保證。這是因為：填空題要是考點多，解答過程長，影響結(jié)論的因素多，那么對于答錯的考生便難以知道其出錯的真正原因。有的可能是一竅不通，入手就錯了，有的可能只是到了最后一步才出錯，但他們在答卷上表現(xiàn)出來的情況一樣，得相同的成績，盡管它們的水平存在很大的差異。對于解答題，則不會出現(xiàn)這個情況，這是因為解答題成績的評定不僅看最后的結(jié)論，還要看其推演和論證過程，分情況評定分數(shù)，用以反映其差別，因而解答題命題的自由度，較之填空題大得多。由此可見，填空題這種題型介于選擇題與解答題這兩種題型之間，而且確實是一種獨立的題型，有其固有的特點。
二、考查功能
1.填空題的考查功能大體上與選擇題的考查功能相當(dāng)。
同選擇題一樣，要真正發(fā)揮好填空題的考查功能，同樣要群體效應(yīng)。但是，由于填空題的應(yīng)答速度難以追上選擇題的應(yīng)答速度，因此在題量的使用上，難免又要受到制約。從這一點看，一組好的填空題雖然也能在較大的范圍內(nèi)考查基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法，但在范圍的大小和測試的準確性方面填空題的功能要弱于選擇題。不過，在考查的深入程度方面，填空題要優(yōu)于選擇題。作為數(shù)學(xué)填空題，絕大多數(shù)是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題，應(yīng)答時必須按規(guī)則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷，幾乎沒有間接方法可言，更是無從猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，難有虛假，因而考查的深刻性往往優(yōu)于選擇題。但與解答題相比其考查的深度還是差得多。就計算和推理來說，填空題始終都是控制在低層次上的。
2.填空題的另一個考查功能，就是有效地考查閱讀能力、觀察和分析能力。
在高考數(shù)學(xué)考試中，由于受到考試時間和試卷篇幅的限制，在權(quán)衡各種題型的利弊和考查功能的互補時，填空題由于其特點和功能的限制，往往被放在較輕的位置上，題量不多。
三、思想方法
同選擇題一樣，填空題也屬小題，其解題的基本原則是“小題不能大做”。解題的基本策略是：巧做。解題的基本方法一般有：直接求解法，圖像法和特殊化法(特殊值法，特殊函數(shù)法，特殊角法，特殊數(shù)列法，圖形特殊位置法，特殊點法，特殊方程法，特殊模型法)等。
【例題解析】
一、直接求解法??直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用定義、性質(zhì)、定理、公式等，經(jīng)過變形、推理、計算、判斷得到結(jié)論的方法，稱之為直接求解法。它是解填空題的常用的基本方法。使用直接法解填空題，要善于透過現(xiàn)象抓本質(zhì)，自覺地、有意識地采取靈活、簡捷的解法。
例1 已知數(shù)列{an}、{bn}都是等差數(shù)列，a1=0、b1= -4，用Sk、S′k、分別表示數(shù)列{an}、{bn}的前k項和(k是正整數(shù))，若Sk+S′k =0，則ak+bk的值為 。
解 法一 直接應(yīng)用等差數(shù)列求和公式Sk= ，得 + =0，又a1+b1= -4, ∴ak+bk=4。
法二 由題意可取k=2(注意：k≠1，為什么?)，于是有a1+a2+b1+b2=0，因而a2+b2=4,即ak+bk=4。
例2 乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽。3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有種(用數(shù)字作答)。
解 三名主力隊員的排法有 種，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置上有 種排法，故共有排法數(shù)A33A72=252種。
例3 如圖14-1，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是 (要求：把可能的圖的序號都填上)。
解 正方體共有3 組對面，分別考察如下：(1)四邊形BFD1E在左右一組面上的射影是圖③。因為B點、F點在面AD1上的射影分別是A點、E點。(2)四邊形BFD1E在上下及前后兩組面上的射影是圖②。因為D1點、E點、F點在面AC上的射影分別是D點、AD的中點、BC的中點;B點、E點、F點在面DC1上的射影分別是C點、DD1的中點、CC1的中點。故本題答案為②③。
例4 已知拋物線的焦點坐標(biāo)為F(2,1)，準線方程為2x+y=0，則其頂點坐標(biāo)為 。
解 過焦點F(2,1)作準線的垂線段，由解幾知識可得拋物線頂點為垂線段的中點。又由于準線的斜率k= -2,kOF= ，∴O為垂足，從而易得OF的中點，即頂點為(1, )。
例5 老師給出一個函數(shù)y=f(x)，四個學(xué)生甲、乙、丙、丁各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì)：
甲：對于x∈R，都有f(1+x)=f(1-x) 乙：在 (-∞,0 上函數(shù)遞減
丙：在(0,+∞)上函數(shù)遞增 ?。篺(0)不是函數(shù)的最小值
如果其中恰有三人說得正確，請寫出一個這樣的函數(shù) 。
解 由題意知，以甲、乙、丙、丁四個條件中任意三個為一組條件，寫出符合條件的一個函數(shù)即可。例如同時具備條件甲、乙、丁的一個函數(shù)為y=(x-1)2。
例6 若 - =1，則sin2θ的值等于 。
解 由 - =1得sinθ-cosθ=sinθcosθ ①
令sin2θ=t，則①式兩邊平方整理得t2+4t-4=0，解之得t=2 -2。
例7 已知z1=3+4i,z2= -2-5i,則arg( )= 。
解 將z1=3+4i,z2= -2-5i代入 整理得 =3i，故arg( )= 。
例8 若( + )n展開式中的第5項為常數(shù)，則n= 。
解 由Tr+1=Cnr( )n-r( )r=Cnr2rx 及題意可知，當(dāng)r=4時，n-3r=0，∴n=12。
二、圖像法??借助圖形的直觀形，通過數(shù)形結(jié)合，迅速作出判斷的方法稱為圖像法。文氏圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖像及方程的曲線等，都是常用的圖形。
例9 若關(guān)于x的方程 =k(x-2)有兩個不等實根，則實數(shù)k的取值范圍是 。
解 令y1= ,y2=k(x-2),由圖14-3可知kAB
例10 已知兩點M(0,1),N(10,1) ，給出下列直線方程
?、?x-3y-22=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0;④4x-y-14=0。在直線上存在點P滿足|MP|=|NP|+6的所有直線方程的序號是 。
解 由|MP|=|NP|+6可知，點P的軌跡是以M(0，1)，N(10，1)為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，其方程為 - =1，(x5)。本題實質(zhì)上可轉(zhuǎn)化為考察所給直線與雙曲線的右支有無交點的問題，結(jié)合圖形判斷，易得②③直線與雙曲線的右支有交點。
例11 點P(x,y)是曲線C： (θ為參數(shù)，0≤θπ)上任意一點，則 的取值范圍是 。
解 曲線C的普通方程為(x+2) 2 +y2=1(y≥0)，則 可視為P點與原點O連線的斜率，結(jié)合圖形14-4判斷易得 的取值范圍是[- ，0]。
三、特殊化法
當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或其值為定值時，我們只須把題中的參變量用特殊值(或特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、圖形特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到結(jié)論。
1.特殊值法
例12 設(shè)a1，則logab,logba,logabb的大小關(guān)系是 。
解 考慮到三個數(shù)的大小關(guān)系是確定的，不妨令a=4,b=2，則logab= ,logba=2,logabb= ,
∴logabb
2.特殊函數(shù)法
例13 如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c對任意實數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小關(guān)系是 。
解 由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的對稱軸是x=2?？扇√厥夂瘮?shù)f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)
3.特殊角法
例14 cos2α+cos2(α+120°)+cos2(α+240°)的值為 。
解 本題的隱含條件是式子的值為定值，即與α無關(guān)，故可令α=0°，計算得上式值為 。
例15 已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則 的值是 。
解 考慮到a1,a3,a9的下標(biāo)成等比數(shù)列，故可令an=n，又易知它滿足題設(shè)條件，于是 = 。
5.圖形特殊位置法
例16 已知SA，SB，SC兩兩所成角均為60°，則平面SAB與平面SAC所成的二面角為 。
解 取SA=SB=SC，將問題置于正四面體中研究，不難得平面SAB與平面SAC所成的二面角為arccos 。
6.特殊點法
例17 橢圓 + =1的焦點為F1、F2，點P為其上的動點，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標(biāo)的取值范圍是 。
解 設(shè)P(x,y)，則當(dāng)∠F1PF2=90°時，點P的軌跡方程為x2+y2=5，由此可得點P的橫坐標(biāo)x=± ，又當(dāng)點P在x軸上時，∠F1PF2=0;點P在y軸上時，∠F1PF2為鈍角，由此可得點P橫坐標(biāo)的取值范圍是-
7.特殊方程法
例18 直線l過拋物線y2=a(x+1)(a0)的焦點，并且與x軸垂直，若l被拋物線截得的線段長為4，則a= 。
解 ∵拋物線y2=a(x+1)與拋物線y2=ax具有相同的垂直于對稱軸的焦點弦長，故可用標(biāo)準方程y2=ax替換一般方程y2=a(x+1)求解，而a值不變。由通徑長公式得a=4。
8.特殊模型法
例19 已知m,n是直線，α、β、γ是平面，給出下列命題：
?、偃?alpha;⊥γ，β⊥γ，則α∥β;
②若n⊥α，n⊥β，則α∥β;
?、廴?alpha;內(nèi)不共線的三點到β的距離都相等，則α∥β;
?、苋鬾 α，m α，且n∥β,m∥β，則α∥β;
?、萑鬽,n為異面直線，n∈α，n∥β，m∈β,m∥α,則α∥β;
則其中正確的命題是 。(把你認為正確的命題序號都填上)
解 依題意可構(gòu)造正方體AC1，如圖14-5，在正方體中逐一判斷各命題易得正確命題的是②⑤。
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