高中數(shù)學不等式的證明教案有哪些
高中數(shù)學不等式的證明教案有哪些
教學設(shè)計是根據(jù)課程標準的要求和教學對象的特點，將教學諸要素有序安排，確定合適的教學方案的設(shè)想和計劃。下面是學習啦小編分享給大家的高中數(shù)學不等式的證明教案，希望大家喜歡!
高中數(shù)學不等式的證明教案一
一、本節(jié)課在本章中的地位
綜合法是不等式證明的一種方法，這種方法是：根據(jù)不等式的性質(zhì)和已經(jīng)證明過的不等式來進行。 綜合法.從已知(已經(jīng)成立)的不等式或定理出發(fā)，逐步推出(由因?qū)Ч?所證的不等式成立.例如要證 ，我們從 ，得 ，移項得 .綜合法的證明過程表現(xiàn)為一連串的“因為……所以……”，可用一連串的“ ”來代替.
綜合法的證明過程是下一節(jié)課學習的不等式的證明的又一必須掌握的方法——分析法的思考過程的逆推，而分析法的證明過程恰恰是綜合法的思考過程。 實際上在前面兩個重要的不等式平方不等式和均值定理的證明及不等式的性質(zhì)證明當中，我們已經(jīng)運用了綜合法，但當時只是沒有提出或采用這個名字而已。本節(jié)課是不等式的證明的每第二節(jié)課，由于立方不等式已移至閱讀材料當中，故例題只有一個，是運用平方不等式來作為基礎(chǔ)工具。
二、本節(jié)課的教學重、難點
本節(jié)課的教學重點是運用綜合法證明不等式。
教學難點是如何正確運用綜合法證明不等式。用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：(已知)——(逐步推演不等式成立的必要條件)(——結(jié)論) 即 由此可見，綜合法是“由因?qū)Ч?rdquo;，即由已知條件出發(fā)，推導出所要證明的不等式成立。 難點突破方法：由于綜合法不象比較法，它必須從某個不等式的性質(zhì)和已經(jīng)證明過的不等式出發(fā)，運用不等式的性質(zhì)進行一系列的恒等變形，直到得出結(jié)論。 因此要求學生對所學習的不等式的5個定理，4個推論和不等式平方不等式和均值定理必須熟悉，在進行教學時，首先要與學生一起回顧前面所學不等式性質(zhì)、定理，并板書在黑板上，便于學生直接運用，從而節(jié)約學習時間;其次，用綜合法進行不等式的證明時，通常要觀察所證的不等式的結(jié)構(gòu)，找出它與前面所學不等式性質(zhì)、定理在結(jié)構(gòu)上的某些相似之處，所以又要注意引導學生學會從結(jié)構(gòu)上進行觀察，大膽猜測，小心求證，并以此為契機，復習掌握前面所學不等式性質(zhì)、定理。 三、教學過程設(shè)計 ①復習不等式的性質(zhì)、平方不等式[如果 ]、均值定理[如果a,b是正數(shù)，那么 ]、比較法證明不等式的步驟。
(說明復習兩個不等式是為了例1的解決)
②提出問題：例1已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：
讓學生思考，本題如何證明?用比較法?
(提出問題讓學生感知比較法進行證明時，作差后的變形是難點，有沒有其他更快的證明方法?當學生難于判斷差與0的關(guān)系時，認識到學習新方法的必要性，從而激發(fā)學生的求知欲。)
出示本節(jié)課課題“不等式的證明(2)——綜合法”
?、垡龑W生觀察所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，思維來自觀察，培養(yǎng)學生的觀察能力，而這正是綜合法的要點，由結(jié)構(gòu)大膽猜測。 引導學生：從所要證的不等式的左邊看，有三個單元結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)都有平方不等式的左邊一樣的結(jié)構(gòu)，但右邊系數(shù)是6，且為三個字母之積，又如何變出來?能否試試給出證明? 讓學生通過自己運用所學知識，嘗試，在嘗試中學會知識，實踐出真知。 ④引導學生通過證明，總結(jié)這種方法與差比法證明不等式的區(qū)別在哪里?
證明：∵ ≥2bc,a>0,
∴ ≥2abc ①
同理 ≥2abc ②
≥2abc ③
因為a，b，c不全相等，所以 ≥2bc, ≥2ca, ≥2ab三式不能全取“=”號，從而①、②、③三式也不能全取“=”號
注意：A、對于“①、②、③三式也不能全取“=”號”一定要給出，否則結(jié)論應(yīng)為 ;
B、要提問學生“a，b，c是的正數(shù)”的含義。這是一個重要的條件，“不全相等”與“全不相等”不一樣，如全(都)不相等，則三個不等式中都沒有“=”號。
C、本題的關(guān)鍵在哪里?
從已知(已經(jīng)成立)的不等式或定理出發(fā)，逐步推出(由因?qū)Ч?所證的不等式成立。用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：(已知)——(逐步推演不等式成立的必要條件)(——結(jié)論) 即 由此可見，綜合法是“由因?qū)Ч?rdquo;，即由已知條件出發(fā)，推導出所要證明的不等式成立。 ⑤課堂練習。 “學而時習之，不亦樂乎”，通過再一次實踐，完成課本練習，在證明時，提醒學生首先要觀察不等式的結(jié)構(gòu)，選擇出發(fā)點，一步一步向目標靠近。抽學生到黑板上板演，通過學生的解答發(fā)現(xiàn)問題，總結(jié)經(jīng)驗。 ⑥補充例題。由于課本上例題以及練習都比較單一，用簡單的綜合法即可得到，但在不等式的證明中，有時要綜合運用幾種方法才可證明，而不是只用單一的方法。因此補充是必要的。 例2 已知a，b，c都是正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，
求證：
分析：本題所要證明的不等式的結(jié)構(gòu)與例1不一樣，右邊也看不到平方不等式的相同結(jié)構(gòu)之處。可以先考慮作差;如何判斷，差的結(jié)果與0的關(guān)系?注意“a，b，c成等比數(shù)列”可以得出什么信息? 。
證明：左-右= (需證明差與0的關(guān)系)
∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴ (說明： ，關(guān)鍵要證明 )
又∵a，b，c都是正數(shù)，所以 ≤ (又用到成等比數(shù)列和均值定理的變形)
反思：此題在證明過程中運用了差比法、基本不等式、等比中項性質(zhì)，體現(xiàn)了綜合法證明不等式的特點，還告訴我們在證明不等式時，并不一定只用到一種單一的方法，而是要采用所學知識，將理由說明清楚。
?、哒n堂小結(jié)：通過本節(jié)學習，要求熟練掌握并應(yīng)用已學的重要不等式及不等式性質(zhì)推出所證不等式成立，進而掌握綜合法證明不等式。
⑧課外作業(yè)：
教學中的注意點：啟發(fā)、引導學生觀察、讓學生多動手、動腦;先做后說，學習總結(jié)經(jīng)驗，上升理論，升華思維。
高中數(shù)學不等式的證明教案二
1.二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域
(1)判斷不等式Ax+By+C>0所表示的平面區(qū)域，可在直線Ax+By+C=0的某一側(cè)的半平面內(nèi)選取一個特殊點，如選原點或坐標軸上的點來驗證Ax+By+C的正負.當C≠0時，常選用原點(0,0).
對于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)，無論B為正值還是負值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù)，當B>0時，
?、貯x+By+C>0表示直線Ax+By+C=0________的區(qū)域;
?、贏x+By+C<0表示直線Ax+By+C=0________的區(qū)域.
(2)畫不等式Ax+By+C>0表示的平面區(qū)域時，其邊界直線應(yīng)為虛線;畫不等式Ax+By+C≥0表示的平面區(qū)域時，邊界直線應(yīng)為實線.畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域，常用的方法是：直線定“界”、原點定“域”.
2.線性規(guī)劃的有關(guān)概念
(1)線性約束條件——由條件列出一次不等式(或方程)組.
(2)線性目標函數(shù)——由條件列出一次函數(shù)表達式.
(3)線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在約束條件下的最大值或最小值問題.
(4)可行解：滿足____________的解(x，y).
(5)可行域：所有________組成的集合.
(6)最優(yōu)解：使____________取得最大值或最小值的可行解.
3.利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：
(1)在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域.
(2)作出目標函數(shù)的等值線.
(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標函數(shù)等值線，從而確定__________.
高中數(shù)學不等式的證明教案三
整體設(shè)計
教學分析
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中，將讓學生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習， 讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學生的學習興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實數(shù)與數(shù)軸上 點的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.
三維目標
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關(guān)系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發(fā)學生的學習興趣，體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
重點難點
教學重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍.
教學難點：準確比較兩個代數(shù)式的大小.
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望，自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學 生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課.
1、回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2、在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
3、數(shù)軸上的任意兩 點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4、任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系，可用符號“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a>b”“a
教師與學生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA
實例3：若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零.
實例4：兩點之間線段最短.
實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進一步點撥：能夠發(fā)現(xiàn)身 邊的數(shù)學當然很好，這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科，但作為我們研究數(shù)學的人來說，能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數(shù)，則x≥0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以.
實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應(yīng)點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)論.
討論結(jié)果：
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中，右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b，在a=b，a>b，a應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1和例2)
活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法.
點評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學生熟練掌握.
變式訓練
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動：比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點.
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.
∴a4-b4<4a3(a-b).
點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)?ldquo;積”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用.
變式訓練
已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小.
活動：要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，∴x-y>0.
當y<0時，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;
當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積， 住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由.
活動：解題關(guān)鍵首先是把文 字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.
點評：一般地，設(shè)a、b為正實數(shù)，且a
變式訓練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
課堂小結(jié)
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛，點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
作業(yè)
習題3—1A組3;習題3—1B組2.
設(shè)計感想
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法 的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學 過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷 來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學教師直面的重要課題，也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.
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