高中數(shù)學(xué)不等式的證明復(fù)習(xí)教案設(shè)計
高中數(shù)學(xué)不等式的證明復(fù)習(xí)教案設(shè)計
教師在設(shè)計教案的時候，教案邏輯思路清晰，符合認(rèn)識規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力。這樣才能有效提高教學(xué)質(zhì)量。下面是學(xué)習(xí)啦小編分享給大家的高中數(shù)學(xué)不等式的證明復(fù)習(xí)教案，希望大家喜歡!
高中數(shù)學(xué)不等式的證明復(fù)習(xí)教案一
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握分析法證明不等式;
2.理解分析法實質(zhì)——執(zhí)果索因;
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學(xué)重點 分析法
教學(xué)難點 分析法實質(zhì)的理解
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動
(一)導(dǎo)入新課
(教師活動)教師提出問題，待回答和思考后點評.
(活動)回答和思考教師提出的問題.
[問題1]我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法?什么是比較法?什么是綜合法?
[問題 2]能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法.(板書課題)
設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發(fā)學(xué)習(xí)新的證明不等式知識的積極性，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式.
(二)新課講授
【嘗試探索、建立新知】
(教師活動)教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問題供學(xué)生研究，并點評.幫助建立分析法證明不等式的知識體系.投影分析法證明不等式的概念.
(活動)與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知.
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.
[問題1]我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢?
[問題2]當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時，說明了什么呢?
[問題3]說明要證明的不等式成立的理由是什么呢?
[點評]從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立.就是分析法的邏輯關(guān)系.
[投影]分析法證明不等式的概念.(見課本)
設(shè)計意圖：對比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問題，激發(fā)積極思考、研究.建立新的知識;分析法證明不等式.培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識.
【例題示范、學(xué)會應(yīng)用】
(教師活動)教師板書或投影例題，引導(dǎo)研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題.
(學(xué)生活動)在教師引導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 求證
[分析]此題用比較法和綜合法都很難入手，應(yīng)考慮用分析法.
證明：(見課本)
[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎(chǔ)上，分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此.
例2 已知： ，求證： (用分析法)請思考下列證法有沒有錯誤?若有錯誤，錯在何處?
[投影]證法一：因為 ，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.
證法二：欲證 ，因為
只需證 ，
即證 ，
即證
因為 成立，所以 成立.
(證法二正確，證法一錯誤.錯誤的原因是：雖然是從結(jié)論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤.)
[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
(結(jié)論)(步步尋找不等式成立的充分條件)(結(jié)論)
分析法是“執(zhí)果索因”，它與綜合法的證明過程(由因?qū)Ч?恰恰相反.②用分析法證明時要注意書寫格式.分析法論證“若a則b”這個命題的書寫格式是：
要證命題b為真，
只需證明 為真，從而有……
這只需證明 為真，從而又有……
……
這只需證明a為真.
而已知a為真，故命題b必為真.
要理解上述格式中蘊含的邏輯關(guān)系.
[投影] 例3 證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管截面(指橫截面，下同)的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
[分析]設(shè)未知數(shù)，列方程，因為當(dāng)水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長為 ，則周長為的圓的半徑為 ，截面積為 ;周長為 的正方形邊長為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：(見課本)
設(shè)計意圖：理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系，說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關(guān)系.靈活掌握分析法的應(yīng)用，培養(yǎng)應(yīng)用知識解決實際問題的能力.
【課堂練習(xí)】
(教師活動)打出字幕(練習(xí))，請甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正.點評練習(xí)中存在的問題.
(活動)在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
【字幕】練習(xí)1.求證
2.求證：
設(shè)計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
(教師活動)分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法.
(活動)與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.
1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當(dāng)證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的.
2.用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式.
設(shè)計意圖：培養(yǎng)分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.
(三)小結(jié)
(教師活動)教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識.
(活動)與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式.應(yīng)用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質(zhì).另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運用.理解分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面.有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成證明過程.
設(shè)計意圖：培養(yǎng)對所學(xué)知識進行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識.
(四)布置作業(yè)
1.課本作業(yè)：p17 4、5.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：已知函數(shù) ， ，若 、 ，且 證明
設(shè)計意圖：思考題供學(xué)有余力同學(xué)練習(xí)，研究性題供研究分析法證明有關(guān)問題.
高中數(shù)學(xué)不等式的證明復(fù)習(xí)教案二
●知識梳理
1.|x|>a x>a或x<-a(a>0);
|x|0).0)中的a>0改為a∈R還成立嗎?
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2.形如|x-a|+|x-b|≥c的不等式的求解通常采用“零點分段討論法”.
3.含參不等式的求解，通常對參數(shù)分類討論.
4.絕對值不等式的性質(zhì)：
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
思考討論
1.在|x|>a x>a或x<-a(a>0)、|x|
2.絕對值不等式的性質(zhì)中等號成立的條件是什么?
●點擊雙基
1.設(shè)a、b是滿足ab<0的實數(shù)，那么
A.|a+b|>|a-b|
B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b||
D.|a-b|<|a|+|b|
解析：用賦值法.令a=1，b=-1，代入檢驗.
答案：B
2.不等式|2x2-1|≤1的解集為
A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|0≤x≤2} D.{x|-2≤x≤0}
解析：由|2x2-1|≤1得-1≤2x2-1≤1.
∴0≤x2≤1，即-1≤x≤1.
答案：A
3.不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集為
A.(0，1) B.(1，+∞)
C.(0，+∞) D.(-∞，+∞)
解析：∵x>0，x與log3x異號，
∴log3x<0.∴0
答案：A
4.已知不等式a≤ 對x取一切負數(shù)恒成立，則a的取值范圍是____________.
解析：要使a≤ 對x取一切負數(shù)恒成立，
令t=|x|>0，則a≤ .
而 ≥ =2 ，
∴a≤2 .
答案：a≤2
5.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集為(- ， )，則t=____________.
解析：|2x-t|<1-t，t-1<2x-t<1-t，
2t-1<2x<1，t-
∴t=0.
答案：0
●典例剖析
【例1】 解不等式|2x+1|+|x-2|>4.
剖析：解帶絕對值的不等式，需先去絕對值，多個絕對值的不等式必須利用零點分段法去絕對值求解.令2x+1=0，x-2=0，得兩個零點x1=- ，x2=2.
解：當(dāng)x≤- 時，原不等式可化為
-2x-1+2-x>4，
∴x<-1.
當(dāng)-
2x+1+2-x>4，
∴x>1.又-
∴1
當(dāng)x>2時，原不等式可化為
2x+1+x-2>4，∴x> .
又x>2，∴x>2.
綜上，得原不等式的解集為{x|x<-1或1
深化拓展
若此題再多一個含絕對值式子.如：
|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4，你又如何去解?
分析：令2x+1=0，x-2=0，x-1=0，
得x1=- ，x2=1，x3=2.
解：當(dāng)x≤- 時，原不等式化為
-2x-1+2-x+1-x>4，∴x<- .
當(dāng)-
2x+1+2-x+1-x>4，4>4(矛盾).
當(dāng)1
2x+1+2-x+x-1>4，∴x>1.
又1
∴1
當(dāng)x>2時，原不等式可化為
2x+1+x-2+x-1>4，∴x> .
又x>2，∴x>2.
綜上所述，原不等式的解集為{x|x<- 或x>1}.
【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.
剖析：需先去絕對值，可按定義去絕對值，也可利用|x|≤a -a≤x≤a去絕對值.
解法一：原不等式 (1) 或(2)
不等式(1) x=-3或3≤x≤4;
不等式(2) 2≤x<3.
∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3｝.
解法二：原不等式等價于
或x≥2 x=-3或2≤x≤4.
∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3｝.
【例3】 (理)已知函數(shù)f(x)=x|x-a|(a∈R).
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)解關(guān)于x的不等式：f(x)≥2a2.
解：(1)當(dāng)a=0時，
f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，
∴f(x)是奇函數(shù).
當(dāng)a≠0時，f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.
故f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a).
∴f(x)是非奇非偶函數(shù).
(2)由題設(shè)知x|x-a|≥2a2，
∴原不等式等價于 ①
或 ②
由①得 x∈ .
由②得
當(dāng)a=0時，x≥0.
當(dāng)a>0時，
∴x≥2a.
當(dāng)a<0時，
即x≥-a.
綜上
a≥0時，f(x)≥2a2的解集為{x|x≥2a};
a<0時，f(x)≥2a2的解集為{x|x≥-a}.
(文)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+2，不等式| f(x)|<6的解集為(-1，2)，試求不等式 ≤1的解集.解：|ax+2|<6，
∴(ax+2)2<36，
即a2x2+4ax-32<0.
由題設(shè)可得
解得a=-4.
∴f(x)=-4x+2.
由 ≤1，即 ≤1可得 ≥0.
解得x> 或x≤ .
∴原不等式的解集為{x|x> 或x≤ }.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實基礎(chǔ)
1.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2}，B={x|3
A.{a|3
C.{a|3
解析：由題意知 得3≤a≤4.
答案：B
2.不等式|x2+2x|<3的解集為____________.
解析：-3
∴-3
答案：-3
3.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.
解法一：|x+2|≥|x| (x+2)2≥x2 4x+4≥0 x≥-1.
解法二： 在同一直角坐標(biāo)系下作出f(x)=|x+2|與g(x)=|x|的圖象，根據(jù)圖象可得x≥-1.
解法三：根據(jù)絕對值的幾何意義，不等式|x+2|≥|x|表示數(shù)軸上x到-2的距離不小于到0的距離，∴x≥-1.
答案：{x|x≥-1}
評述：本題的三種解法均為解絕對值不等式的基本方法，必須掌握.
4.當(dāng)0
解：由0x-2.
這個不等式的解集是下面不等式組①及②的解集的并集. ①
或 ②
解不等式組①得解集為{x| ≤x<2}，
解不等式組②得解集為{x|2≤x<5}，
所以原不等式的解集為{x| ≤x<5}.
5.關(guān)于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的兩實根為x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.
解：x1、x2為方程兩實根，
∴Δ=36(m-1)2-12(m2+1)≥0.
∴m≥ 或m≤ .
又∵x1•x2= >0，∴x1、x2同號.
∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m-1|.
于是有2|m-1|=2，∴m=0或2.
∴m=0.
培養(yǎng)能力
6.解不等式 ≤ .
解：(1)當(dāng)x2-2<0且x≠0，即當(dāng)-
(2)當(dāng)x2-2>0時，原不等式與不等式組 等價.
x2-2≥|x|，即|x|2-|x|-2≥0.
∴|x|≥2.∴不等式組的解為|x|≥2，
即x≤-2或x≥2.
∴原不等式的解集為(-∞，-2]∪(- ，0)∪(0， )∪[2，+∞).
7.已知函數(shù)f(x)= 的定義域恰為不等式log2(x+3)+log x≤3的解集，且f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍.
解：由log2(x+3)+log x≤3得
x≥ ，
即f(x)的定義域為[ ，+∞).
∵f(x)在定義域[ ，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x2>x1≥ 時，f(x1)-f(x2)>0恒成立，即有(ax1- +2)-(ax2- +2)>0 a(x1-x2)-( - )>0
(x1-x2)(a+ )>0恒成立.
∵x10
a+ <0.
∵x1x2> - >- ，
要使a<- 恒成立，
則a的取值范圍是a≤- .
8.有點難度喲!
已知f(x)=x2-x+c定義在區(qū)間[0，1]上，x1、x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：
(1)f(0)=f(1);
(2)| f(x2)-f(x1)|<|x1-x2|;
(3)| f(x1)-f(x2)|< ;
(4)| f(x1)-f(x2)|≤ .
證明：(1)f(0)=c，f(1)=c，
∴f(0)=f(1).
(2)| f(x2)-f(x1)|=|x2-x1||x2+x1-1|.
∵0≤x1≤1，∴0≤x2≤1，0
∴-1
∴| f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|.
(3)不妨設(shè)x2>x1，由(2)知
| f(x2)-f(x1)|
而由f(0)=f(1)，從而
| f(x2)-f(x1)|=| f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|≤| f(x2)-f(1)|+| f(0)-
f(x1)|<|1-x2|+|x1|<1-x2+x1. ②
?、?②得2| f(x2)-f(x1)|<1，
即| f(x2)-f(x1)|< .
(4)|f(x2)-f(x1)|≤fmax-fmin=f(0)-f( )= .
探究創(chuàng)新
9.(1)已知|a|<1，|b|<1，求證：| |>1;
(2)求實數(shù)λ的取值范圍，使不等式| |>1對滿足|a|<1，|b|<1的一切實數(shù)a、b恒成立;
(3)已知|a|<1，若| |<1，求b的取值范圍.
(1)證明：|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1).
∵|a|<1，|b|<1，∴a2-1<0，b2-1<0.
∴|1-ab|2-|a-b|2>0.
∴|1-ab|>|a-b|，
= >1.
(2)解：∵| |>1 |1-abλ|2-|aλ-b|2=(a2λ2-1)(b2-1)>0.
∵b2<1，∴a2λ2-1<0對于任意滿足|a|<1的a恒成立.
當(dāng)a=0時，a2λ2-1<0成立;
當(dāng)a≠0時，要使λ2< 對于任意滿足|a|<1的a恒成立，而 >1，
∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.
(3)| |<1 ( )2<1 (a+b)2<(1+ab)2 a2+b2-1-a2b2<0 (a2-1)(b2-1)<0.
∵|a|<1，∴a2<1.∴1-b2>0，即-1
●思悟小結(jié)
1.解含有絕對值的不等式的指導(dǎo)思想是去掉絕對值.常用的方法是：(1)由定義分段討論;(2)利用絕對值不等式的性質(zhì);(3)平方.
2.解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時與參數(shù)的取值范圍有關(guān)，就必須分類討論.注意：(1)要考慮參數(shù)的總?cè)≈捣秶?(2)用同一標(biāo)準(zhǔn)對參數(shù)進行劃分，做到不重不漏.
●教師下載中心
教學(xué)點睛
1.絕對值是歷年高考的重點，而絕對值不等式更是?？汲Ｐ?在教學(xué)中要從絕對值的定義和幾何意義來分析，絕對值的特點是帶有絕對值符號，如何去掉絕對值符號，一定要教給學(xué)生方法，切不可以題論題.
2.無理不等式在新課程書本并未出現(xiàn)，但可以利用不等式的性質(zhì)把其等價轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式.
3.指數(shù)、對數(shù)不等式能利用單調(diào)性求解.
拓展題例
【例1】 設(shè)x1、x2、y1、y2是實數(shù)，且滿足x12+x22≤1，證明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).
分析：要證原不等式成立，也就是證(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0.
證明：(1)當(dāng)x12+x22=1時，原不等式成立.
(2)當(dāng)x12+x22<1時，聯(lián)想根的判別式，可構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1)，其根的判別式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).
由題意x12+x22<1，函數(shù)f(x)的圖象開口向下.
又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0，
因此拋物線與x軸必有公共點.
∴Δ≥0.
∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0，
即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).
高中數(shù)學(xué)不等式的證明復(fù)習(xí)教案三
(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次項系數(shù)小于零的，同解變形為二次項系數(shù)大于零;注：要對進行討論：
(2)絕對值不等式：若，則;;
注意：
(1)解有關(guān)絕對值的問題，考慮去絕對值，去絕對值的方法有：
?、艑^對值內(nèi)的部分按大于、等于、小于零進行討論去絕對值;
(2).通過兩邊平方去絕對值;需要注意的是不等號兩邊為非負值。
(3).含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法來解。
(4)分式不等式的解法：通解變形為整式不等式;
(5)不等式組的解法：分別求出不等式組中，每個不等式的解集，然后求其交集，即是這個不等式組的解集，在求交集中，通常把每個不等式的解集畫在同一條數(shù)軸上，取它們的公共部分。
(6)解含有參數(shù)的不等式：
解含參數(shù)的不等式時，首先應(yīng)注意考察是否需要進行分類討論.如果遇到下述情況則一般需要討論：
?、俨坏仁絻啥顺顺粋€含參數(shù)的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性.
?、谠谇蠼膺^程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，則需對它們的底數(shù)進行討論.
?、墼诮夂凶帜傅囊辉尾坏仁綍r，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，對應(yīng)的一元二次方程根的狀況(有時要分析△)，比較兩個根的大小,設(shè)根為(或更多)但含參數(shù)，要討論。
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