初中二年級數(shù)學(xué)教案
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初中二年級數(shù)學(xué)教案一
勾股定理(一)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。
2.培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識和能力。
3.介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，促其勤奮學(xué)習(xí)。
二、重點、難點
1.重點：勾股定理的內(nèi)容及證明。
2.難點：勾股定理的證明。
3.難點的突破方法：幾何學(xué)的產(chǎn)生，源于人們對土地面積的測量需要。在古埃及，尼羅河每年要泛濫一次;洪水給兩岸的田地帶來了肥沃的淤積泥土，但也抹掉了田地之間的界限標(biāo)志。水退了，人們要重新畫出田地的界線，就必須再次丈量、計算田地的面積。幾何學(xué)從一開始就與面積結(jié)下了不解之緣，面積很早就成為人們認(rèn)識幾何圖形性質(zhì)與爭鳴幾何定理的工具。本節(jié)課采用拼圖的方法，使學(xué)生利用面積相等對勾股定理進行證明。其中的依據(jù)是圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。
三、例題的意圖分析
例1(補充)通過對定理的證明，讓學(xué)生確信定理的正確性;通過拼圖，發(fā)散學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的動手實踐能力;這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。
例2使學(xué)生明確，圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。進一步讓學(xué)生確信勾股定理的正確性。
四、課堂引入
目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前，是非常了不起的成就。
讓學(xué)生畫一個直角邊為3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的長。
以上這個事實是我國古代3000多年前有一個叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說：“把一根直尺折成直角，兩段連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五。”這句話意思是說一個直角三角形較短直角邊(勾)的長是3，長的直角邊(股)的長是4，那么斜邊(弦)的長是5。
再畫一個兩直角邊為5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的長。
你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關(guān)系，52+122和132的關(guān)系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎?
五、例習(xí)題分析
例1(補充)已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。
求證：a2+b2=c2。
分析：⑴讓學(xué)生準(zhǔn)備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓學(xué)生拼擺不同的形狀，利用面積相等進行證明。
?、破闯扇鐖D所示，其等量關(guān)系為：4S△+S小正=S大正
4× ab+(b-a)2=c2，化簡可證。
⑶發(fā)揮學(xué)生的想象能力拼出不同的圖形，進行證明。
?、?勾股定理的證明方法，達300余種。這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛國情懷。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。
求證：a2+b2=c2。
分析：左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形的面積相等。
左邊S=4× ab+c2
右邊S=(a+b)2
左邊和右邊面積相等，即
4× ab+c2=(a+b)2
化簡可證。
六、課堂練習(xí)
1.勾股定理的具體內(nèi)容是： 。
2.如圖，直角△ABC的主要性質(zhì)是：∠C=90°，(用幾何語言表示)
?、艃射J角之間的關(guān)系： ;
⑵若D為斜邊中點，則斜邊中線 ;
⑶若∠B=30°，則∠B的對邊和斜邊： ;
?、热呏g的關(guān)系： 。
3.△ABC的三邊a、b、c，若滿足b2= a2+c2，則 =90°; 若滿足b2>c2+a2，則∠B是 角; 若滿足b2
4.根據(jù)如圖所示，利用面積法證明勾股定理。
七、課后練習(xí)
1.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三邊，則
?、與= 。(已知a、b，求c)
?、芶= 。(已知b、c，求a)
?、莃= 。(已知a、c，求b)
2.如下表，表中所給的每行的三個數(shù)a、b、c，有a
3.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC= cm，一動點P從B向C以每秒2cm的速度移動，問當(dāng)P點移動多少秒時，PA與腰垂直。
4.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延長線上。
求證：⑴AD2-AB2=BD·CD
?、迫鬌在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論。
八、參考答案
課堂練習(xí)
1.略;
2.⑴∠A+∠B=90°;⑵CD= AB;⑶AC= AB;⑷AC2+BC2=AB2。
3.∠B，鈍角，銳角;
4.提示：因為S梯形ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，又因為S梯形ACDG= (a+b)2，
S△BCE= S△EDA= ab，S△ABE= c2, (a+b)2=2× ab+ c2。
課后練習(xí)
1.⑴c= ;⑵a= ;⑶b=
2. ;則b= ，c= ;當(dāng)a=19時，b=180，c=181。
3.5秒或10秒。
4.提示：過A作AE⊥BC于E。
初中二年級數(shù)學(xué)教案二
勾股定理(二)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.會用勾股定理進行簡單的計算。
2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。
二、重點、難點
1.重點：勾股定理的簡單計算。
2.難點：勾股定理的靈活運用。
3.難點的突破方法：
?、艛?shù)形結(jié)合，讓學(xué)生每做一道題都畫圖形，并寫出應(yīng)用公式的過程或公式的推倒過程，在做題過程中熟記公式，靈活運用。
⑵分類討論，讓學(xué)生畫好圖后標(biāo)圖，從不同角度考慮條件和圖形，考慮問題要全面，在討論的過程中提高學(xué)生的靈活應(yīng)用能力
⑶作輔助線，勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的條件，要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法，在做輔助線的過程中，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。
?、葍?yōu)化訓(xùn)練，在不條件、不同環(huán)境中反復(fù)運用定理，使學(xué)生達到熟練使用，靈活運用的程度。
三、例題的意圖分析
例1(補充)使學(xué)生熟悉定理的使用，剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。并學(xué)會利用不同的條件轉(zhuǎn)化為已知兩邊求第三邊。
例2(補充)讓學(xué)生注意所給條件的不確定性，知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。
例3(補充)勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做法。讓學(xué)生把前面學(xué)過的知識和新知識綜合運用，提高綜合能力。
四、課堂引入
復(fù)習(xí)勾股定理的文字?jǐn)⑹?勾股定理的符號語言及變形。學(xué)習(xí)勾股定理重在應(yīng)用。
五、例習(xí)題分析
例1(補充)在Rt△ABC，∠C=90°
?、乓阎猘=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2, 求b。
⑶已知c=17,b=8, 求a。
?、纫阎猘：b=1：2,c=5, 求a。
?、梢阎猙=15，∠A=30°，求a，c。
分析：剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。⑴已知兩直角邊，求斜邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過前三題讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學(xué)生明確已知一邊和兩邊關(guān)系，也可以求出未知邊，學(xué)會見比設(shè)參的數(shù)學(xué)方法，體會由角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想。
例2(補充)已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊。
分析：已知兩邊中較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進形計算。讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。
例3(補充)已知：如圖，等邊△ABC的邊長是6cm。
?、徘蟮冗叀鰽BC的高。
⑵求S△ABC。
分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要
創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做
法。欲求高CD，可將其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，
但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求AD=CD= AB=3cm，則此題可解。
六、課堂練習(xí)
1.填空題
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，則c= 。
?、圃赗t△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，則c= 。
?、窃赗t△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，則a= ，b= 。
?、纫粋€直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為 。
?、梢阎苯侨切蔚膬蛇呴L分別為3cm和5cm，，則第三邊長為 。
⑹已知等邊三角形的邊長為2cm，則它的高為 ，面積為 。
2.已知：如圖，在△ABC中，∠C=60°，AB= ，AC=4，AD是BC邊上的高，求BC的長。
3.已知等腰三角形腰長是10，底邊長是16，求這個等腰三角形的面積。
七、課后練習(xí)
1.填空題
在Rt△ABC，∠C=90°，
?、湃绻鸻=7，c=25，則b= 。
⑵如果∠A=30°，a=4，則b= 。
⑶如果∠A=45°，a=3，則c= 。
?、热绻鹀=10，a-b=2，則b= 。
?、扇绻鸻、b、c是連續(xù)整數(shù)，則a+b+c= 。
?、嗜绻鸼=8，a：c=3：5，則c= 。
2.已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，
AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的長。
八、參考答案
課堂練習(xí)
1.17; ; 6，8; 6，8，10; 4或 ; ， ;
2.8; 3.48。
課后練習(xí)
1.24; 4 ; 3 ; 6; 12; 10; 2.
初中二年級數(shù)學(xué)教案三
勾股定理(三)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.會用勾股定理解決簡單的實際問題。
2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想。
二、重點、難點
1.重點：勾股定理的應(yīng)用。
2.難點：實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。
3.難點的突破方法：
數(shù)形結(jié)合，從實際問題中抽象出幾何圖形，讓學(xué)生畫好圖后標(biāo)圖;在實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件，教師要向?qū)W生交代清楚，解釋明白;優(yōu)化訓(xùn)練，在不條件、不同環(huán)境中反復(fù)運用定理，使學(xué)生達到熟練使用，靈活運用的程度;讓學(xué)生深入探討，積極參與到課堂中，發(fā)揮學(xué)生的積極性和主動性。
三、例題的意圖分析
例1(教材P74頁探究1)明確如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注意條件的轉(zhuǎn)化;學(xué)會如何利用數(shù)學(xué)知識、思想、方法解決實際問題。
例2(教材P75頁探究2)使學(xué)生進一步熟練使用勾股定理，探究直角三角形三邊的關(guān)系：保證一邊不變，其它兩邊的變化。
四、課堂引入
勾股定理在實際的生產(chǎn)生活當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使用解決了許多生活中的問題，今天我們就來運用勾股定理解決一些問題，你可以嗎?試一試。
五、例習(xí)題分析
例1(教材P74頁探究1)
分析：⑴在實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件，即門框為長方形，四個角都是直角。⑵讓學(xué)生深入探討圖中有幾個直角三角形?圖中標(biāo)字母的線段哪條最長?⑶指出薄木板在數(shù)學(xué)問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過?⑷轉(zhuǎn)化為勾股定理的計算，采用多種方法。⑸注意給學(xué)生小結(jié)深化數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣。
例2(教材P75頁探究2)
分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理計算OB。 ⑵ 在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理計算OD。
則BD=OD-OB，通過計算可知BD≠AC。
?、沁M一步讓學(xué)生探究AC和BD的關(guān)系，給AC不同的值，計算BD。
六、課堂練習(xí)
1.小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹的離地面的高度是 米。
2.如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4 米，則這兩株樹之間的垂直距離是
米，水平距離是 米。
2題圖 3題圖 4題圖
3.如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是 。
4.如圖，原計劃從A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公路，后因技術(shù)攻關(guān)，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價為300萬元，隧道總長為2公里，隧道造價為500萬元，AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省工程費用是多少?
七、課后練習(xí)
1.如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B、C兩點，在江對岸取一點A，使AC垂直江岸，測得BC=50米，
∠B=60°，則江面的寬度為 。
2.有一個邊長為1米正方形的洞口，想用一個圓形蓋去蓋住這個洞口，則圓形蓋半徑至少為 米。
3.一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在P、Q兩點，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，則RQ= 厘米。
4.如圖，鋼索斜拉大橋為等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分別為BD、CD中點，試求B、C兩點之間的距離，鋼索AB和AE的長度。
(精確到1米)
八、參考答案：
課堂練習(xí)：
1. ; 2.6， ;
3.18米; 4.11600;
課后練習(xí)
1. 米; 2. ;
3.20; 4.83米，48米，32米;
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