什么是線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)的簡(jiǎn)介
線性系統(tǒng)是一數(shù)學(xué)模型，是指用線性運(yùn)算子組成的系統(tǒng)。那么你對(duì)線性系統(tǒng)了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是線性系統(tǒng)的內(nèi)容，希望大家喜歡!
線性系統(tǒng)的簡(jiǎn)介
狀態(tài)變量和輸出變量對(duì)于所有可能的輸入變量和初始狀態(tài)都滿(mǎn)足疊加原理的系統(tǒng)。疊加原理是指：如果系統(tǒng)相應(yīng)于任意兩種輸入和初始狀態(tài)(u1(t),x01)和(u2(t),x02)時(shí)的狀態(tài)和輸出分別為(x1(t),y1(t))和(x2(t),y2(t)), 則當(dāng)輸入和初始狀態(tài)為(C1u1(t)+C2u2(t),C1x01+C2x02)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出必為(C1x1(t)+C2x2(t),C1y1(t)+C2y2(t)),其中x表示狀態(tài)，y表示輸出，u表示輸入，C1和C2為任意實(shí)數(shù)。一個(gè)由線性元部件所組成的系統(tǒng)必是線性系統(tǒng)。但是，相反的命題在某些情況下可能不成立。線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量(或輸入變量)與輸出變量間的因果關(guān)系可用一組線性微分方程或差分方程來(lái)描述，這種方程稱(chēng)為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。作為疊加性質(zhì)的直接結(jié)果，線性系統(tǒng)的一個(gè)重要性質(zhì)是系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為兩個(gè)部分：零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。前者指由非零初始狀態(tài)所引起的響應(yīng);后者則指由輸入引起的響應(yīng)。兩者可分別計(jì)算。這一性質(zhì)為線性系統(tǒng)的分析和研究帶來(lái)很大方便。
嚴(yán)格地說(shuō)，實(shí)際的物理系統(tǒng)都不可能是線性系統(tǒng)。但是，通過(guò)近似處理和合理簡(jiǎn)化，大量的物理系統(tǒng)都可在足夠準(zhǔn)確的意義下和一定的范圍內(nèi)視為線性系統(tǒng)進(jìn)行分析。例如一個(gè)電子放大器，在小信號(hào)下就可以看作是一個(gè)線性放大器，只是在大范圍時(shí)才需要考慮其飽和特性即非線性特性。線性系統(tǒng)的理論比較完整，也便于應(yīng)用，所以有時(shí)對(duì)非線性系統(tǒng)也近似地用線性系統(tǒng)來(lái)處理。例如在處理輸出軸上的摩擦力矩時(shí)，常將靜摩擦當(dāng)作與速度成比例的粘性摩擦來(lái)處理，以便于得出一些可用來(lái)指導(dǎo)設(shè)計(jì)的結(jié)論。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，線性系統(tǒng)是一類(lèi)得到廣泛應(yīng)用的系統(tǒng)。
線性的概念
線性linear，指量與量之間按比例、成直線的關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可以理解為一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的函數(shù);非線性non-linear則指不按比例、不成直線的關(guān)系，一階導(dǎo)數(shù)不為常數(shù)。
如問(wèn)：兩個(gè)眼睛的視敏度是一個(gè)眼睛的幾倍?很容易想到的是兩倍，可實(shí)際是 6-10倍!這就是非線性。激光也是非線性的!天體運(yùn)動(dòng)存在混沌;電、光與聲波的振蕩，會(huì)突陷混沌;地磁場(chǎng)在400萬(wàn)年間，方向突變16次，也是由于混沌。甚至人類(lèi)自己，原來(lái)都是非線性的：與傳統(tǒng)的想法相反，健康人的腦電圖和心臟跳動(dòng)并不是規(guī)則的，而是混沌的，混沌正是生命力的表現(xiàn)，混沌系統(tǒng)對(duì)外界的刺激反應(yīng)，比非混沌系統(tǒng)快。
雙線性的介紹
式中分別是狀態(tài)向量和控制向量，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置;A，Pi和B均為常系數(shù)矩陣;dx/dt表示x對(duì)時(shí)間t的微商。這類(lèi)狀態(tài)方程的特點(diǎn)是，它相對(duì)于狀態(tài)或控制在形式上分別是線性的，雙線性的名稱(chēng)即源于此。但同時(shí)相對(duì)于狀態(tài)和控制來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)則不是線性的。它實(shí)際上是一類(lèi)具有比較簡(jiǎn)單形式的特殊非線性系統(tǒng)。雙線性系統(tǒng)模型是對(duì)線性系統(tǒng)模型的推廣，它能更準(zhǔn)確地描述一類(lèi)實(shí)際過(guò)程。生物繁殖過(guò)程就是一個(gè)典型的例子，用狀態(tài)變量x表示種群中生物體的數(shù)量，控制變量u表示可人為控制的凈增殖率,則控制種群中生物體數(shù)量的繁殖過(guò)程可用形式為dx/dt=ux的一個(gè)雙線性系統(tǒng)來(lái)描述。雙線性系統(tǒng)模型已被廣泛用于工程、生物、人體、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)問(wèn)題的研究。例如，化學(xué)反應(yīng)中的催化作用問(wèn)題;人體內(nèi)的水平衡過(guò)程、體溫調(diào)節(jié)過(guò)程、呼吸中氧和二氧化碳交換過(guò)程、心血管調(diào)節(jié)過(guò)程等問(wèn)題;細(xì)胞內(nèi)的某些生物化學(xué)反應(yīng)問(wèn)題;社會(huì)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的人口問(wèn)題，動(dòng)力資源問(wèn)題，鋼鐵、煤炭、石油產(chǎn)品生產(chǎn)問(wèn)題等。
雙線性系統(tǒng)的研究始于60年代，70年代以來(lái)得到了廣泛的重視和迅速的發(fā)展，成為非線性系統(tǒng)研究中比較成熟的分支之一。雙線性系統(tǒng)理論中已有的主要結(jié)果為：
?、佟‰p線性系統(tǒng)具有變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的一些特征，因而有一定的自適應(yīng)性(見(jiàn)適應(yīng)控制系統(tǒng))。
?、凇?duì)于控制變量受限制(即控制變量的大小必須在一定的界限內(nèi))的情況，已經(jīng)找到用頻率域語(yǔ)言表達(dá)的穩(wěn)定性條件。
?、邸‰p線性系統(tǒng)具有比線性系統(tǒng)更好的能控性。即使控制變量受限制，系統(tǒng)仍可能是完全能控的。已經(jīng)獲得系統(tǒng)完全能控的一些充分條件。
?、堋∮美钛牌罩Z夫穩(wěn)定性理論能夠求得雙線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制解,即可找到一個(gè)反饋控制律u=u(x)使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)全局穩(wěn)定。這種控制函數(shù)是開(kāi)關(guān)型或飽和型的，開(kāi)關(guān)曲面(或曲線)對(duì)狀態(tài)變而言是二次曲面(或曲線)。
?、荨〔捎脛?dòng)態(tài)規(guī)劃或極大值原理已能解決雙線性系統(tǒng)的一些最優(yōu)控制問(wèn)題,如最速控制，最省燃料控制,以及離散雙線性系統(tǒng)和隨機(jī)雙線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制等。
雙線性系統(tǒng)理論已有不少實(shí)際應(yīng)用的例子。例如核電站、核動(dòng)力裝置中核裂變和熱交換過(guò)程的最優(yōu)控制，人口預(yù)測(cè)和控制等。
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