什么是最大公因數_具體的求法
什么是最大公因數_具體的求法
最大公因數指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。那么你對最大公因數了解多少呢?以下是由學習啦小編整理關于什么是最大公因數的內容，希望大家喜歡!
最大公因數的介紹
a，b的最大公約數記為(a，b)，同樣的，a，b，c的最大公約數記為(a，b，c)，多個整數的最大公約數也有同樣的記號。求最大公約數有多種方法，常見的有質因數分解法、短除法、輾轉相除法、更相減損法。與最大公約數相對應的概念是最小公倍數，a，b的最小公倍數記為[a，b]。如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。約數和倍數都表示一個整數與另一個整數的關系，不能單獨存在。如只能說16是某數的倍數，2是某數的約數，而不能孤立地說16是倍數，2是約數。
"倍"與"倍數"是不同的兩個概念，"倍"是指兩個數相除的商，它可以是整數、小數或者分數。"倍數"只是在數的整除的范圍內，相對于"約數"而言的一個數字的概念，表示的是能被某一個自然數整除的數。
幾個整數，公有的約數，叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。例如：12、16的公約數有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數，一般記為(12，16)=4。12、15、18的最大公約數是3，記為(12，15，18)=3。
幾個自然數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個自然數，叫做這幾個數的最小公倍數。例如：4的倍數有4、8、12、16，……，6的倍數有6、12、18、24，……，4和6的公倍數有12、24，……，其中最小的是12，一般記為[4，6]=12。12、15、18的最小公倍數是180。記為[12，15，18]=180。若干個互質數的最小公倍數為它們的乘積的絕對值。
最大公因數的求法
質因數分解法
質因數分解法：把每個數分別分解質因數，再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最大公約數。
例如：求24和60的最大公約數，先分解質因數，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質因數是2、2、3，它們的積是2×2×3=12，所以，(24，60)=12。
把幾個數先分別分解質因數，再把各數中的全部公有的質因數和獨有的質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最小公倍數。
例如：求6和15的最小公倍數。先分解質因數，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質因數是3，6獨有質因數是2，15獨有的質因數是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部質因數2和3，還包含了15的全部質因數3和5，且30是6和15的公倍數中最小的一個，所以[6，15]=30。
短除法
短除法：短除法求最大公約數，先用這幾個數的公約數連續(xù)去除，一直除到所有的商互質為止，然
后把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾個數的最大公約數。
短除法求最小公倍數，先用這幾個數的公約數去除每個數，再用部分數的公約數去除，并把不能整除的數移下來，一直除到所有的商中每兩個數都是互質的為止，然后把所有的除數和商連乘起來，所得的積就是這幾個數的最小公倍數，例如，求12、15、18的最小公倍數。
短除法的本質就是質因數分解法，只是將質因數分解用短除符號來進行。
短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數的地方寫兩個數共有的質因數，然后落下兩個數被公有質因數整除的商，之后再除，以此類推，直到結果互質為止(兩個數互質)。
而在用短除計算多個數時，對其中任意兩個數存在的因數都要算出，其它沒有這個因數的數則原樣落下。直到剩下每兩個都是互質關系。
求最大公因數便乘一邊，求最小公倍數便乘一圈。
無論是短除法，還是分解質因數法，在質因數較大時，都會覺得困難。這時就需要用新的方法。
最大公因數的常用結論
在解有關最大公約數、最小公倍數的問題時，常用到以下結論：
(1)如果兩個自然數是互質數，那么它們的最大公約數是1，最小公倍數是這兩個數的乘積。
例如8和9，它們是互質數，所以(8，9)=1，[8，9]=72。
(2)如果兩個自然數中，較大數是較小數的倍數，那么較小數就是這兩個數的最大公約數，較大數就是這兩個數的最小公倍數。
例如18與3，18÷3=6，所以(18，3)=3，[18，3]=18。
(3)兩個整數分別除以它們的最大公約數，所得的商是互質數。
例如8和14分別除以它們的最大公約數2，所得的商分別為4和7，那么4和7是互質數。
(4)兩個自然數的最大公約數與它們的最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。
例如12和16，(12，16)=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即(12，16)× [12，16]=12×16。
(5)GCD(a,b) is the smallest positive linear combination of a and b. a與b的最大公約數是最小的a與b的正線性組合,即對于方程xa+yb=c來說,若x,a,y,b都為整數,那么c的最小正根為gcd(a,b).
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