什么是整數(shù)_整數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用
什么是整數(shù)_整數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用
整數(shù)可分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。那么你對(duì)整數(shù)了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于什么是整數(shù)的內(nèi)容，希望大家喜歡!
整數(shù)的概念
整數(shù)(integer)就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等這樣的數(shù)。
整數(shù)的全體構(gòu)成整數(shù)集，整數(shù)集是一個(gè)數(shù)環(huán)。在整數(shù)系中，零和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)。-1、-2、-3、…、-n、…(n為非零自然數(shù))為負(fù)整數(shù)。則正整數(shù)、零與負(fù)整數(shù)構(gòu)成整數(shù)系。整數(shù)不包括小數(shù)、分?jǐn)?shù)。
整數(shù)的分類
我們以0為界限，將整數(shù)分為三大類：
1° 正整數(shù)，即大于0的整數(shù)如，1，2，3······直到n。
2° 零，既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)，它是介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的數(shù)。
3° 負(fù)整數(shù)，即小于0的整數(shù)如，-1，-2，-3······直到-n。(n為正整數(shù))
注：現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教材(2005年)中規(guī)定：零和正整數(shù)統(tǒng)稱自然數(shù)。
整數(shù)也可分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。
正整數(shù)
它是從古代以來人類計(jì)數(shù)的工具?？梢哉f，從“1頭牛，2頭牛”或是“5個(gè)人，6個(gè)人”抽象化成正整數(shù)的過程是相當(dāng)自然的。
零
零不僅表示“沒有”(“無”)，更是表示空位的符號(hào)。中國古代用算籌計(jì)算數(shù)并進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，空位不放算籌，雖無空 位記號(hào)，但仍能為位值記數(shù)與四則運(yùn)算創(chuàng)造良好的條件。印度-阿拉伯命數(shù)法中的零(zero)來自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。
負(fù)整數(shù)
中國最早引進(jìn)了負(fù)數(shù)。《九章算術(shù).方程》中論述的“正負(fù)數(shù)”，就是整數(shù)的加減法。減法的需要也促進(jìn)了負(fù)整數(shù)的引入。減法運(yùn)算可看作求解方程a - b=c，如果a、b是自然數(shù)，則所給方程未必有自然數(shù)解。為了使它恒有解，就有必要把自然數(shù)系擴(kuò)大為整數(shù)系。
奇偶
整數(shù)中，能夠被2整除的數(shù)，叫做偶數(shù)。不能被2整除的數(shù)則叫做奇數(shù)。即當(dāng)n是整數(shù)時(shí)，偶數(shù)可表示為2n(n為整數(shù));奇數(shù)則可表示為2n+1(或2n-1)。
偶數(shù)包括正偶數(shù)(亦稱雙數(shù))、負(fù)偶數(shù)和0。所有整數(shù)不是奇數(shù)，就是偶數(shù)。
在十進(jìn)制里，我們可用看個(gè)位數(shù)的方式判斷該數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)：個(gè)位為1,3,5,7,9的數(shù)為奇數(shù);個(gè)位為0,2,4,6,8的數(shù)為偶數(shù)。
整數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
如果不加特殊說明，我們所涉及的數(shù)都是整數(shù)，所采用的字母也表示整數(shù)。
定義
設(shè)a,b,c是給定的數(shù)，b≠0，若存在整數(shù)c，使得a=bc,則稱b整除a，記作b|a，并稱b是a的一個(gè)約數(shù)(因子)，稱a是b的一個(gè)倍數(shù)，如果不存在上述c，則稱b不能整除a。
整數(shù)整除性的一些數(shù)碼特征(即常見結(jié)論)
1與0的特性
1是任何數(shù)的約數(shù)，即對(duì)于任何整數(shù)a，總有1|a。
0是任何非零數(shù)的倍數(shù)，a≠0,a為整數(shù)，則a|0。
整除特征
1° 若一個(gè)數(shù)的末位是單偶數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2整除。
2° 若一個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個(gè)整數(shù)能被3整除。
3° 若一個(gè)數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個(gè)數(shù)能被4整除。
4° 若一個(gè)數(shù)的末位是0或5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。
5° 若一個(gè)數(shù)能被2和3整除，則這個(gè)數(shù)能被6整除。
6° 若一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13-3×2=7，所以133是7 的倍數(shù);又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。
7° 若一個(gè)數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個(gè)數(shù)能被8整除。
8° 若一個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個(gè)整數(shù)能被9整除。
9° 若一個(gè)數(shù)的末位是0，則這個(gè)數(shù)能被10整除。
10° 若一個(gè)數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個(gè)數(shù)能被11整除。11的倍數(shù)檢驗(yàn)法也可用上述檢查7的「割尾法」處理!過程唯一不同的是：倍數(shù)不是2而是1!
11° 若一個(gè)數(shù)能被3和4整除，則這個(gè)數(shù)能被12整除。
12° 若一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的4倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，則重復(fù)「截尾、倍大、相減、驗(yàn)差」的過程，直到能清楚判斷為止。
13° 若一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，同樣重復(fù)之前的過程，直到能清楚判斷為止。
14° 若一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，加上個(gè)位數(shù)的2倍，如果差是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，同樣重復(fù)之前的計(jì)算思路，直到能清楚判斷為止。
15° 若一個(gè)數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個(gè)數(shù)能被17整除。
16° 若一個(gè)數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個(gè)數(shù)能被19整除。
17° 若一個(gè)數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23(或29)整除，則這個(gè)數(shù)能被23整除
奇偶性
1° 奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù);即任意多個(gè)偶數(shù)的和、差、積仍為偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、差為奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、差為偶數(shù);
2° 奇數(shù)的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶數(shù)的平方可以表示為8m或(8m+4)的形式;
3° 若有限個(gè)整數(shù)之積為奇數(shù)，則其中每個(gè)整數(shù)都是奇數(shù);若有限個(gè)整數(shù)之積為偶數(shù)，則這些整數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù);兩個(gè)整數(shù)的和與差具有相同的奇偶性;一個(gè)整數(shù)的平方根若是整數(shù)，則兩者具有相同的奇偶性。
完全平方數(shù)
完全平方數(shù)及其性質(zhì)
能表示為某整數(shù)的平方的數(shù)稱為完全平方數(shù)，簡(jiǎn)稱平方數(shù)。平方數(shù)有以下性質(zhì)與結(jié)論：
(1)平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只可能是0,1，4,5，6,9;
(2)偶數(shù)的平方數(shù)是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方數(shù)被8除余1，即任何平方數(shù)被4除的余數(shù)只有可能是0或1;
(3)奇數(shù)平方的十位數(shù)字是偶數(shù);
(4)十位數(shù)字是奇數(shù)的平方數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是6;
(5)不能被3整除的數(shù)的平方被3除余1，能被3整除的數(shù)的平方能被3整除。因而，平方數(shù)被9也合乎的余數(shù)為0,1，4,7，且此平方數(shù)的各位數(shù)字的和被9除的余數(shù)也只能是0,1，4,7;
(6)平方數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù);
(7)任何四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1，必定是一個(gè)平方數(shù)。
(8)設(shè)正整數(shù)a,b之積是一個(gè)正整數(shù)的k次方冪(k≥2)，若(a,b)=1，則a,b都是整數(shù)的k次方冪。一般地，設(shè)正整數(shù)a,b,c……之積是一個(gè)正整數(shù)的k次方冪(k≥2)，若a,b,c……兩兩互素，則a,b,c……都是正整數(shù)的k次方冪。
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