魔方中的數(shù)學(xué)知識
魔方中的數(shù)學(xué)知識
風(fēng)靡全球的魔方也蘊藏著數(shù)學(xué)，那么你對魔方中的數(shù)學(xué)知識了解多少呢?以下是由學(xué)習(xí)啦小編整理關(guān)于魔方中的數(shù)學(xué)知識的內(nèi)容，希望大家喜歡!
魔方中的數(shù)學(xué)知識
通常所說的魔方，其國際標(biāo)準(zhǔn)稱呼是魯比克魔方，由匈牙利布達(dá)佩斯應(yīng)用藝術(shù)學(xué)院的建筑學(xué)教授魯比克—艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明! 關(guān)于魯比克發(fā)明魔方的初衷，流傳甚廣的一個說法是為了發(fā)明一種教具，以幫助學(xué)生理解、認(rèn)識立體空間的構(gòu)造。
魯比克一開始并沒有意識到他發(fā)明了一個極其具有挑戰(zhàn)性的益智玩具，當(dāng)他第一次將自己發(fā)明的魔方打亂，才發(fā)現(xiàn)了這個后來被無數(shù)人反復(fù)證明的事實：原始狀態(tài)的魔方一旦被打亂，想要將其復(fù)原是一件極其困難的事情。
1980年初，一家玩具公司將魔方帶至在巴黎、倫敦和美國召開的國際玩具博覽會展出。此后不久，隨著魔方制造技術(shù)的改進，魔方迅速風(fēng)靡全球。到1982年，短短的3年間魔方在全球就售出了200多萬只，而到今天，全世界售出了數(shù)億只魔方，魔方已經(jīng)成為全球最為流行的玩具之一。
魔方核心是三個相互垂直的軸，保證魔方的順利轉(zhuǎn)動。外觀上，由26個小正方體組成一個正方體。其中包括與中心軸相連的中心方塊6個，相對位置固定不動，僅一面涂有顏色;棱塊12個，兩面有顏色;角塊8個，三面有色。復(fù)原狀態(tài)下，魔方每面都涂有相同的顏色，六個面的顏色各不相同。魔方每個面都可以自由轉(zhuǎn)動，從而打亂魔方，形成變化多端的組合。
魔方組合的數(shù)量可以按照如下方式計算：8個角塊可以互換位置，存在8!種組合(8=8*7*6*5*4*3*2*1)，又可以翻轉(zhuǎn)，每個角塊可以具有’種空間位置，但因為不能單獨翻轉(zhuǎn)一個角塊，需要除以3，總共存在8!* 37種組合;12個棱塊可以互換位置，得到12!，又可以翻轉(zhuǎn)，得到212，但因為不能單獨翻轉(zhuǎn)一個棱塊，也不能單獨交換任意兩個棱塊的位置，需要分別除以2，得到12!*212/(2*2)種組合。綜上，得到魔方的所有可能組合數(shù)為：8!*37*12!*212/(2*2)=43,252,003,274,489,856,000≈4.33*1019
這是一個天文數(shù)字，如果某位玩家想要嘗試所有的組合，哪怕不吃不喝不睡，每秒鐘轉(zhuǎn)出十種不同的組合，也要花上千億年的時間才能如愿，這約是當(dāng)前宇宙年齡的10倍。
實際上，如果將魔方拆開隨意組合，其組合情況將多達(dá)5.19*1020種。也就是說，如果拆散魔方，再隨意安裝，有11/12的幾率無法恢復(fù)原狀。所以如果魔方被拆散，安裝時應(yīng)按復(fù)原狀態(tài)安裝，否則極可能會無法復(fù)原。
魔方復(fù)原的另一個困難來自于我們只能按特定的方式復(fù)原，即反復(fù)旋轉(zhuǎn)某一面，一面上的9個方塊必須整體參與運動，這樣我們在復(fù)原過程中總是會打亂已經(jīng)復(fù)原的部分，這種限制大大加大了復(fù)原魔方的難度。
很顯然，任意組合的魔方都可以在有限步驟內(nèi)復(fù)原，那么，問題來了，是否存在復(fù)原任意組合魔方所需的最少轉(zhuǎn)動次數(shù)N?也即，如果至多進行N次轉(zhuǎn)動便可以將任意魔方復(fù)原，這個N具體為多少?這個數(shù)字N被稱為上帝數(shù)字，從魔方剛剛流行的1982年便被提了出來。
當(dāng)然，對任意的魔方，尋找最少的轉(zhuǎn)動步驟是極其困難的，需要針對每種情況尋找特定的步驟。一般的，還是利用本文前面所述的復(fù)原辦法，只需學(xué)習(xí)記憶少量的套路或公式，如CFOP法，需要學(xué)習(xí)記憶119個公式，平均只需55次轉(zhuǎn)動便可復(fù)原魔方。
數(shù)學(xué)是一門充滿魅力的學(xué)科，在它復(fù)雜表面的背后，隱藏著大量極其簡單、漂亮的規(guī)律。有趣的游戲、手頭的玩具，往往在簡單中蘊藏著深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律。而復(fù)雜的數(shù)學(xué)經(jīng)常以極其簡單、漂亮的形式展現(xiàn)。
魔方以及其數(shù)學(xué)原理
對于魔方，我們應(yīng)該都不陌生，近兩年來,魔方初級玩法，稍微細(xì)心一點的人都可以發(fā)現(xiàn)，魔方作為益智玩具的一種，已經(jīng)被越來越多的擺上了貨架，被越來越多的人所喜愛。不久以前，我因為無聊，也就拿了一個魔方來，準(zhǔn)備學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)。(其實是因為同學(xué)說，許許多多數(shù)學(xué)牛人魔方都玩得很好，所以就虛榮心作祟了)然后又有一個同學(xué)和我說：\"玩魔方?jīng)]有意思，一看到魔方我就想起小學(xué)那些奧賽題了。\"其實在研究了之后，我不認(rèn)同這一點，我認(rèn)為魔方作為一個特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)，還是有其相當(dāng)大的存在價值和研究價值的。這篇文章主要是由一些魔方的入門知識(科普版)和數(shù)學(xué)原理(數(shù)學(xué)版)組成的?？破瞻嬷饕獙懩Х降幕局R，以及其玩法，啟發(fā)公式的重要性。數(shù)學(xué)版主要是對魔方的數(shù)學(xué)原理進行探究，其中包含群論的一些內(nèi)容。
科普版：
魔方(Rubik's Cube)是匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院魯比克教授在1974年發(fā)明的。他發(fā)明魔方的目的是考察建筑學(xué)院學(xué)生的空間建構(gòu)能力。具體地說，魔方由26塊組成，具有12個棱塊，8個角塊，6個中心塊組成，魔方中心那一塊是中空的。同時6個中心塊是無法移動的。那么，其實，一個魔方只有12個棱塊，8個角塊可以移動。(其實，拆過魔方的人都清楚，我就是一個拆魔方狂熱分子。。。)。轉(zhuǎn)動魔方只有一種操作，那就是，將一個面順時針轉(zhuǎn)90度。其他所有操作，都是這個操作復(fù)合而成的。那么，這一個操作，可以將魔方變出多少種不同的狀態(tài)呢?答案是4.3*10^19。如此復(fù)雜的一個狀態(tài)集合，也難怪大家難以把一個魔方復(fù)原了。
我佩服那些沒有通過學(xué)習(xí)魔方玩法而自己把魔方復(fù)原出來的人。我自己就沒有，(其實是我一位同學(xué)太壞了!他把我的魔方拆下來，又裝上，于是那個是一個永不可復(fù)原的魔方，害得我后來白弄了半個月，只復(fù)原成只有一個角塊不對，當(dāng)然我也感謝這位同學(xué)，他讓我思考了到底把魔方拆了再拼上，是一個正確魔方的概率有多大，詳見數(shù)學(xué)版)這些沒有自己把魔方復(fù)原的人大都付出了大量的努力。我非常敬佩這些人的毅力。正是他們，發(fā)現(xiàn)了一個又一個的魔方公式，才使我們還原魔方的速度變得越來越快。
普通玩法，也就是各種愛好者啦，他們滿足于復(fù)原一個魔方，而不作更高的要求。
競速玩法，為了追求更高的速度的玩法，這些復(fù)原方法是萬能方法，而且他們運用的是復(fù)原方法中比較快的一種。我在這里寫幾種復(fù)原方法：
1. 層進法(入門方法)：將魔方的一層一層進行還原，每一層進行還原，最后復(fù)原整個魔方，這種方法如果有一個好魔方1min之內(nèi)可以輕松完成。
2. CFOP法(主流方法)：分為4步完成，C=cross(底層十字)F=first 2 layers(前兩層)O=orient last layer(頂層定位)P=position last layer(頂層定向)。這個方法可以在30S內(nèi)輕松完成。
這些方法大都和CFOP方法屬于一個系統(tǒng)的。一般只是稍微的改變一下。
時間上的節(jié)省是用記憶力換得的，層進法只需要記憶不過20種情況，不到10個公式即可，而CFOP法則需要記憶上百種情況，及其所對應(yīng)公式。所以為了比別人快，記憶很多東西是不可避免的。層進法需要大約120步，而CFOP法需要大約60步。關(guān)于群論上理論證明，復(fù)原任意一個魔方，只需要最多26步(這個界不是緊的)，那么我們可以設(shè)想，如果一個人大腦有足夠的容量，記憶足夠多的公式，那最多26步就可以完成了，肯定是一個創(chuàng)造吉尼斯紀(jì)錄的成績。不過，我覺得，比速度。。至少對于我來說，記憶不了那么多吧。所以這種玩法其實是記憶公式。
盲擰：蒙著眼睛把一個魔方復(fù)原，是不是一件很神奇的事情呢?如果按照CFOP法，這可不可能呢?答案是否定的，從盲擰和正常擰的世界紀(jì)錄就可以看出它們用的方法不是一種，至今沒有一個人成為這樣的記憶奇才。因為百余種情況不是鬧著玩的，而且每完成一步以后需要觀察再進行下一步，蒙著眼睛是做不到的。這就需要一個神奇的公式 三輪換公式，通過這個公式，不僅僅使我們變換的塊數(shù)最少，而且還減小了它們之間的相互影響，這也使盲擰變成了一種可能。只需要記住4個公式就可以完成。當(dāng)然同時，更讓人頭疼的可能是記住20塊的位置朝向了。所以說，盲擰與其說是神奇，倒不如說是記憶位置。這個在CCTV科學(xué)探索中播出過。
最小步數(shù)復(fù)原：這個很NB。。應(yīng)該是通過記公式算公式吧，我不太了解原理了。就把記錄寫在這里。。。目前的世界紀(jì)錄是28步還原，耗時2個半小時。
還有單擰(單手?jǐn)Q)腳擰。。。當(dāng)然我認(rèn)為這些是無聊的。。
數(shù)學(xué)版：
曾經(jīng)有個人發(fā)表了一個一篇關(guān)于三輪換的文章，結(jié)果。。有人欽佩，有人諷刺，只有極少數(shù)的人和作者進行了討論。魔友大部分只是記住公式，其實也不用知道原理。他們也許是對的，不過，我在這里說一句，我覺得中國對于數(shù)學(xué)至少是不重視的，數(shù)學(xué)只是作為一種升學(xué)手段應(yīng)用于應(yīng)試教育中。尤其是奧數(shù)，其實數(shù)學(xué)當(dāng)中哪里有那么多的技巧??奧數(shù)中絕大部分的題目來源于同年齡段更高等的數(shù)學(xué)之中。很多人都說奧數(shù)題又偏又難，為什么，因為他們沒有學(xué)過相關(guān)知識而去做題，不習(xí)慣那些思考方式，怎么會不覺得難?為什么陶哲軒12歲拿到奧數(shù)金牌并且成為數(shù)學(xué)大師而中國本土出了那么多奧數(shù)金牌卻都平平庸庸?因為陶哲軒不是做題做出來的，他在12歲前就把微積分學(xué)完了而且學(xué)得很好。再者中國為什么那么多人痛恨數(shù)學(xué)?做題做的。數(shù)學(xué)是很直觀的東西，每一個概念都對應(yīng)一個直觀，從生活中抽象出來，只要用心看就有收獲。
符號：u=upper, f=front, b=back,魔方站論壇, r=right, d=down, l=left
我們將魔方面對右面(r面)，看到右面一層如下左圖，轉(zhuǎn)動Y3后如右圖，就可得出各塊的變動。
類似分析Z3，
二者復(fù)合為
其中對角方塊，右上角的正號表示此塊順時針轉(zhuǎn)2π/3 ，負(fù)號表示反時針轉(zhuǎn)。對棱方塊表示有一個方向的翻轉(zhuǎn)。 上面分析說明，經(jīng)過Y3,Z3兩個轉(zhuǎn)動，上右前角塊回到原地，但順時針轉(zhuǎn)了2π/3 。還有5個角方塊做了一個輪換，各反時針轉(zhuǎn)了2π/3 ，或說順時針轉(zhuǎn)了4π/3 。7個棱方塊做了一個輪換。
可以看出這是一個置換群，它是全部狀態(tài)的一個子群，但它不是一個普通的20階群，因為其棱塊角塊的朝向問題，魔方的群結(jié)構(gòu)比一般的20階群更復(fù)雜。而且它有另一個特點 更為特殊。
特殊之處在于兩個三輪換公式(分別是對棱塊，角塊)，這個公式我首先是直觀認(rèn)識到的，是我在學(xué)習(xí)層進法中眾多公式的一個，它的意義在于我們可以把3個棱塊(角塊)互換，相當(dāng)于(123)->(231)，而且在確定位置的情況下，這3塊的朝向是確定的。我本來沒有打算去證明這個結(jié)論，因為我們線性代數(shù)老師說過：\"如果你不信這件事情的話，親自去做做不就行了。
我們證明對于棱塊的三輪換公式是存在的。設(shè)想有兩個輪換t1, t2, 它們分別代表一個對于魔方的置換。這兩個輪換有一個特點，他們變換了一個相同的棱塊記為a，t1中a1->a,魔方高級玩法公式，t2中b1->a,下面我們做一個共軛變換t=(t1')(t2)(t1)，t是什么呢?t是一個近似t2的變換，只不過t1的a1變到t2的\"軌道\"里去了，而a還在原來的位置，下面我們做(t2')(t),就有a1,a,b1互換位置。
我們有圖解如下：
其實證明中有一個小小的問題，因為只有8個角塊，所以說我們要找兩個共用一個角塊的四輪換才可以，我們可以利用上述方法繼續(xù)找，方法不詳述了。
推論：我們能找到任意三輪換公式(即任何3個棱塊(角塊)都存在三輪換)。
對棱塊進行說明，記6個棱塊，123456，首先我們能找到兩個三輪換(123),(345),我們作一個共軛變換(345)(123)(345)'=(124)，這樣我們就從一個三輪換推到了另一個三輪換。我們再找一個關(guān)于6的棱塊，把(124)共軛成(164)，這樣，164三個棱塊都是任選的了，證畢。
三輪換公式完全說明了魔方中角塊和邊塊是互不影響的!也就是我們可以把魔方的20塊拆成12個角塊和8個邊塊分別進行研究。下面我有些?。。我應(yīng)該說明二輪換公式是不存在的，不過我沒有證明出來，但它確實是不存在的。也許哪位高人可以幫我。其實計算機搜索應(yīng)該是可以解決的。。但一個純數(shù)學(xué)的證明會更好些。
下面討論如果把一個魔方拆了之后再拼上，正確概率有多大?我們知道一個好的魔方和一個不好的魔方只是不在一個\"軌道\"里，但是他們變出的狀態(tài)時一樣多的，因為他們同構(gòu)。所以說我們只需要算出魔方不同軌道個數(shù)即可。
我們首先計算出隨便拼出的魔方有多少種狀態(tài)，這是可以由初等數(shù)學(xué)的排列組合解決的。
12!*8!*2^12*3^8=519024039293878272000
然后我們利用上面的結(jié)果，把角塊和棱塊分開考慮。對于棱塊，全部正確是一種情況，如果我們把一塊棱塊朝向改變，其余都正確，是不可復(fù)原的。而這一個棱塊可以在任意位置，它們都在一個軌道內(nèi)(這個用任意三輪換公式可以證明)。還有一種是兩個棱塊調(diào)換位置，注意調(diào)換位置之后再改變朝向也是可以化到這種情況里的，而3個棱塊及以上的調(diào)換，都可以用三輪換公式約簡到2個棱塊及以下的調(diào)換。所以對于棱塊來說，只有3種情況。同樣，由于角塊多了一種朝向，所以是4種，那么，我們一共有3*4=12個軌道。
在這12個軌道里，我們只有一個是正確的，所以我們隨意拼上正確的概率為1/12。
由此，我們可以計算魔方的狀態(tài)數(shù)：12!*8!*2^12*3^8*1/12=43252003274489856000
后記：
其實我有更深的思考，魔方只是群論中的一個具體例子，但它已經(jīng)如此繁復(fù)，有限群的研究不是那么簡單的事情。而23步就一定能復(fù)原一個魔方給了計算機科學(xué)更大的挑戰(zhàn)。如何搜索，能不能出現(xiàn)更新的技術(shù)都是小魔方能引入的大問題。實際上，把魔方用群的語言表示出來，最后找到復(fù)原解，是一個純粹符號的計算，它只涉及到置換群的乘法，要找到復(fù)原魔法的最小步驟解，只需把分解成最少次乘法。研究這個搜索技術(shù)應(yīng)該對研究置換群的運算是有很大好處的。
將魔方符號化是有好處的，它直接允許我們用計算機來研究魔方。
把魔方當(dāng)作數(shù)學(xué)看，真的是一件很有趣的事情，也是學(xué)習(xí)群論的一種手段吧。
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